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1、第5章 正弦稳态分析,5.1 基尔霍夫定律的相量式5.2 欧姆定律的相量式,阻抗及导纳5.3 简单交流电路的计算5.4 交流电路的功率5.5 正弦稳态的功率传输5.6 正弦电路中的谐振习题5,5.1 基尔霍夫定律的相量式,在交流电路中，对任何一瞬时而言，基尔霍夫定律都成立，用瞬时值表示为对图5.1中的节点A而言，应有 i1-i2+i3=0,（5.1）,图5.1 节点电流,由于在正弦交流电路中，所有激励和响应都是同频率的正弦时间函数，因此可以用相应的相量表示为根据复数运算法则可知：各正弦电流旋转相量的虚部的代数和等于所有旋转相量的代数和的虚部，于是上式可改写成,显然,上式就是节点电流瞬时值的相量
2、式。推广后的一般表示式为 式(5.2)表明流入电路中任一节点电流相量的代数和恒等于0。同理可得到基尔霍夫电压定律的相量式：（5.3）,（5.2）,5.2 欧姆定律的相量式,阻抗及导纳,1.单参数交流电路的欧姆定律及阻抗元件C和L上的电压电流瞬时值关系式为可见它们不存在类似电阻元件具有的欧姆定律的关系。R、L、C用相量式表示的欧姆定律为,（5.4）,上三式各分母项都具有阻碍电流通过的作用，它们的单位都是欧姆。为了统一表示上述关系，引入复数Z，称为复数阻抗，简称复阻抗。对于不同的电路，复阻抗具有不同的意义。例如对电阻元件有Z=R，对电容元件有Z=-jXC，对电感元件有Z=jXL，于是式(5.4)、
3、(5.5)和(5.6)可统一表示为,（5.7）,2.多参数交流电路的欧姆定律及阻抗实际电路往往由若干不同性质的元件组成。下面以图5.2所示的RLC串联电路为例，推导出它们的欧姆定律的相量式及阻抗表达式。,图5.2 RLC串联电路(a)电路图；(b)相量模型图,由KVL知 u=uR+uL+uC相量式为把式(5.4)、(5.5)和(5.6)代入上式，得到式中,（5.8）,（5.9）,有时需要把复阻抗写成指数形式：Z=R+jX=zej（5.10）式中,（5.11）,图5.3 阻抗三角形,由式(5.11)知,R、X及z 三者的关系可用直角三角形表示，如图5.3所示。该三角形称为阻抗三角形。这里小写字母
4、z表示复阻抗的模、简称阻抗；是复阻抗的辐角，或称为阻抗角。若电压相量是,电流相量是,则复阻抗,(5.10),式中,当电抗值不同时，电路呈现出以下三种不同的特征：(1)当X0时，表明感抗大于容抗，电路呈现电感性，0，此时电压相位超前于电流。(2)当X0时，表明容抗大于感抗，电路呈现电容性，0，此时电流相位超前于电压。(3)当 X=0时，表明感抗和容抗的作用相等，即XL=XC，电压与电流同相，=0，此时电路如同纯电阻电路一样，这样的情况称为谐振。有关谐振问题将在后面讨论。,（5.13）,例5.1电路如图5.2(b)所示，已知其中R=4，XL=3，XC=6，电源电压=1000V，试求电路的电流相量及
5、各元件上的电压，并画出相量图。解 复阻抗为Z=R+j(X L-X C)=4+j(3-6)=4-j3=5-36.9 电流为各元件上的分电压为,各元件的相量和为,图 5.4 例5.1相量图(a)电压电流相量关系；(b)各电压相量；(c)阻抗三角形,3.导纳 比较方便。下面按图5.5所示的RLC并联电路，引出导纳的概念及关系式。,图5.5 RCL并联电路,设外加正弦电压为 u=Um sin(t+u)若各支路电流分别为iR、iL和iC，则总电流i为 i=iR+iL+iC 上式对应的相量式为 因为,得到即,(5.14),(5.15),式(5.15)是欧姆定律的又一种相量表示式。式(5.14)中几个符号的
6、名称和关系如下，其单位都是西门子(S)。电导电感电纳电容电纳,电纳复导纳 Y=G-jB复导纳Y不是相量，所以符号上不加“”，只用大写字母表示。,复导纳的指数形式表示为式中,由式(5.17)可知，G、B和y三个量的关系也可用直角三角形表示，称为导纳三角形，如图5.6所示。,（5.16）,（5.17）,图5.6 导纳三角形,就一段无源支路而言，既可以用复阻抗表示，也可以用复导纳表示。一段无源支路在同样电压下取得相同电流时，复导纳与复阻抗互为倒数，即有从式(5.18)可以看出:=-（5.19）即阻抗角和导纳角等值异号。,5.3 简单交流电路的计算,1.阻抗串联电路如图5.7所示，有n个复阻抗串联。,
7、图5.7 阻抗串联电路,若每个阻抗元件的参数是 Z 1=R1+jX1 Z 2=R2+jX 2=Z n=Rn+jX n每个阻抗元件都应服从欧姆定律的相量形式，即有,从式(5.20)知总电阻、总电抗和总复阻抗分别为R=R 1+R 2+:+R n=X=X 1+X 2+:+X n=Z=Z 1+Z 2+:+Z n=串联电路中各元件上的电压分别是,（5.21）,（5.22）,例5.2 电路如图5.8所示，已知电流相量=50A，电容电压UC=25V，阻抗Z1=(7.07+j12.07)。求电路的总阻抗Z与端电压。解 电路中的容抗为电路中的总阻抗为电压相量为,图5.8 例5.2电路图,2.阻抗并联电路 有n个
8、阻抗并联，如图5.9所示。每个阻抗的参数分别是：Z 1=R 1+jX 1Z2=R2+jX 2 Zn=Rn+jX n每个阻抗元件上电压电流关系都应服从欧姆定律，即,图5.9 阻抗并联电路,由KCL知,式中的Y为并联电路总的复导纳：Y=Y1+Y2+:+Yn=当只有两个复阻抗并联时，有,（5.24）,（5.25）,3.阻抗串并联电路例5.3 如图5.10(a)所示电路中，L=20 mH，C=10 F，R1=50，R2=30，=1500V，=1000 rad/s。求各支路电流并画出相量图。,图 5.10 例5.3电路图(a)电路；(b)相量图,解 容抗和感抗为 X L=L=10002010-3=20
9、并联支路阻抗 Z2=R2+jL=30+j20 总阻抗 Z=Z1+Z 2=(40-j20)+(30+j20)=70,各支路电流为,4.相量分析法的一般解题步骤应用相量法分析正弦稳态电路的一般步骤如下：(1)将已知电压、电流写成相应的相量形式。为了运算或画图方便，一般选取初相为0的相量为参考相量；若相量中初相均不为0，则可根据题意任选一个相量为参考相量。(2)把电路参数写成相应的复阻抗或复导纳形式，并画出它们的相量模型电路图。,一般串联电路或仅含有两条支路的并联电路以复阻抗形式表示比较简便，多支路并联电路以复导纳形式表示比较简便。(3)根据相量模型电路图，应用基尔霍夫定律的相量式，列出相应的相量方
10、程进行相量运算。在运算中，若能画出它们的相量图，则可以帮助了解各相量之间的几何关系，从而简化计算过程。(4)将求解出的相量式变换成相应的正弦函数的瞬时值表达式。,5.复杂交流网络的分析 交流复杂网络的求解需要用第2章的所有定理和方法，例如支路电流法、网孔电流法、叠加原理、电压源与电流源的等效变换以及戴维南定理等等。,5.4 交流电路的功率,5.4.1 基本元件的功率1.电阻元件的功率设电阻元件R上的端电压u为 u=Um sin(t+)则流过R的电流为 i=Im sin(t+),那么，电阻R上的瞬时功率p为p=ui=UmIm sin+2(t+)=UI1-cos2(t+)=UI-UI cos(t+
11、)图5.11所示。由于u和i同相,因此瞬时功率恒为正，这表明电阻是个耗能元件。衡量电阻元件消耗功率的大小，用瞬时功率在一个周期的平均值，称为平均功率或有功功率，单位是瓦（W）或千瓦（kW），用大写字母P表示，即,（5.26）,（5.27）,图 5.11 电阻元件的功率(a)电路模型；(b)波形图,2.电感元件的功率 设电感元件中的电流和端电压分别为i=Im sint和u=Um sin(t+/2)，则电感元件的瞬时功率为如图5.12所示。,图 5.12 电感元件的功率(a)电路模型；(b)波形图,电感元件的平均功率（5.28）为了衡量能量交换的规模，取其瞬时功率的最大值来表示，称为无功功率，单位
12、是乏（var）或千乏（kvar），用字母QL表示，即,（5.29）,从第3章式(3.12)知电感的储能为平均储能为,（5.30）,3.电容元件的功率对电容元件的分析过程和电感元件相同。设电容元件中的电流和端电压分别为uC=UCm sint和iC=Imsin(t+/2)，则电容元件的瞬时功率为,如图5.13所示。,图 5.13 电容元件的功率(a)电路模型；(b)波形图,电容元件的平均功率为了衡量能量交换的规模，取其瞬时功率的最大值来表示，称为无功功率，单位也是乏（var），用字母QC表示，即,（5.31）,（5.32）,由第3章式(3.6)知电容的储能为平均储能为5.4.2 二端网络的功率和功
13、率因数图5.14(a)所示为一线性无源二端网络。,（5.33）,图 5.14 无源二端网络的功率(a)电路模型；(b)波形图,为讨论问题简便起见，设i=Im sint u=Um sin(t+)则二端网络的瞬时功率为p=ui=2UmIm sint sin(t+)=UIcos(1-cos2t)+sin sin2t=UI cos(1-cos2t)+UI sin(sin2t)（5.34）式(5.34)表明二端网络的瞬时功率为2个分量的叠加。第一项始终为正，它表示二端网络从电源吸取的功率(其实就是电路中所有电阻R上消耗的功率之和)，其平均值为,上式是计算正弦交流电路有功功率的一般公式。cos称为功率因数
14、;角称为功率因数角，其大小由电路的参数、频率和结构决定。对于纯电阻电路，=0，cos=1，P=UI；对于纯电容或纯电感电路，=/2，cos=0，P=0；一般情况下，01，cos1，PUI。式（5.34）的第二项表示二端网络中的电抗元件与电源之间能量交换的速率，其振幅为UI sin，它表示二端网络与外电路能量交换的规模，定义其为无功功率，用Q表示：,（5.35）,（5.36）,电路中总的无功功率等于各电感元件和各电容元件的无功功率的代数和，即在交流电路中，把电压有效值与电流有效值的乘积UI称为视在功率或设备容量，用字母S表示，单位是伏安(VA)或千伏安(kVA)，即 S=UI（5.38）,（5.
15、37）,二端网络的有功功率P与视在功率S的关系为 P=UI cos=S cos（5.39）一般交流用电设备，如发电机、变压器等都是按照安全运行规定的额定电压UN和额定电流IN运行的，所以把UN和IN的乘积称为额定视在功率，用SN表示，即S N=U NI N（5.41）,（5.40）,SN表示了电源设备可能提供的最大有功功率，该功率也称为额定容量，简称容量。有功功率P、无功功率Q、视在功率S之间的关系可用图5.15的三角形表示，该三角形称为功率三角形。,图5.15 功率三角形,从功率三角形可看出P=UI cos=S cosQ=UI sin=S sinS2=P 2+Q 2S=arctan,（5.4
16、2）,5.4.3 复功率把功率三角形放在复平面里，用复数来表示的功率称为复功率，用 表示:例5.4电路如图5.16所示，电源频率为50 Hz，电压为220 V，求：(1)电路的功率因数cos，电路消耗的有功功率P，无功功率Q；(2)在电路a,b端并入一个80 F的电容后，电路的功率因数。,（5.43）,图5.16 例5.4电路图,解(1)电路的阻抗为Z=4+16+j20=20+j20=20 45 功率因数为cos=cos45=0.707设电源电压相量=2200V,则电路的电流为有功功率P为P=IU cos=7.782200.707=1210 W无功功率Q为Q=UI sin=7.782200.7
17、07=1210 var,(2)并入一个80 F的电容后，电容的阻抗为电路的总阻抗变为功率因数cos为cos=cos11.3=0.98,5.5 正弦稳态的功率传输,如图5.17所示电路，设负载Z=R+jX，电源为=U 00，电源的内阻抗为Z 0=r 0+jX 0。,图5.17 电路模型图,由电路图知电流的有效值为负载获得的功率为,由上式可知，若r不变，仅改变X，则为了获得最大功率，应使X+X0=0即 X=-X0 这时电路变为纯电阻电路，其功率为在X=-X0的条件下，改变R使负载获得最大传输功率的条件应该是 从而可得出R=r0。,综上所述，负载获得最大功率的条件是 R=r 0 及X=-X0（5.4
18、4）用复数形式可以写成Z=Z*0（5.45）即负载阻抗为电源内阻抗的共轭值时（或称负载阻抗与电源或信号源相匹配，这种匹配也称为共轭匹配），负载可获得最大传输功率，其最大功率为,（5.46）,例5.5 如图5.18(a)所示，若ZL中的RL和XL均可改变，则ZL等于多少时，负载才能获得最大功率?最大功率为多少？,图 5.18 例5.5电路图,解 首先可求出ZL端口的戴维南等效电路，如图5.18(b)所示。等效内阻抗为等效电源为所以，ZL获得最大功率的条件是 ZL=Z*0=1.2-j0.4,ZL获得的最大功率为,5.6 正弦电路中的谐振,5.6.1 串联电路的谐振在图5.19所示的RLC串联电路中
19、，电路的总阻抗为,图5.19 RLC串联电路,当L-1/(C)=0时，Z=R，阻抗角=0，电压与电流同相。这种状态称为串联谐振，其特点如下：(1)阻抗为纯电阻，且为最小值。设谐振时的阻抗为Z0，则(2)电流为最大值。设谐振时的电流为，则,(3)谐振频率为谐振时有则,（5.47）,(4)电感和电容上的电压相等，且为激励源电压的Q倍。由于调谐时因此,（5.48）,其中,5.6.2 并联电路的谐振在图5.20所示的 RLC并联电路中，其回路导纳Y为,图5.20 RLC并联电路,(1)回路导纳为纯电阻性，且为最小值。设谐振时的导纳为Y0，则Y=Y 0=G-jB=由于Y0为最小值，因此Z0为最大值。当电
20、路的品质因数Q=很大时，有Z=Z 0=(2)电压为最大值。设谐振时的电压为U 0，则由于IS恒定，Z0为最大，因此U0为最大值。,(3)谐振频率为 由于谐振时 因此可求出,(4)电感和电容上的电流大小、相位相反，且为激励电流的Q倍。由于因此当Q值较大时，有,习题5,1.试求题图5.1所示各电路的输入阻抗Z和导纳Y。,题图 5.1,2.已知题图5.2所示电路中=20A，求电压，并作出电路的相量图。,题图 5.2,3.电路如题图5.3所示，试求 和，并画出表示它们关系的相量图。,题图5.3,4.电路如题图5.4所示，已知=40A，=80+j200 V，=10+3 rad/s，求电容C。,题图5.4
21、,5.电路如题图5.5所示，已知R=50，L=2.5 mH，C=5 F，=100 V，=10+4 rad/s，求 和,并画出相量图。,题图5.5,6.电路如题图5.6所示，Z 2=j60，各交流电表V,V1,V2的读数分别为100 V,171 V,240 V。求阻抗Z1，并说明其性质。,题图 5.6,7.电路如题图5.7所示，已知R1=1.5k，R2=1k，L=1/3H，C=1/6F，uS=40 sin3000t V，求电流iC。,题图5.7,8.在题图5.8所示电路中，已知R1=6，R2=8，C1=0.510-3F，C2=1/610-3F，L=8mH，uS=100 sin103t V。求电压
22、uab。,题图 5.8,9.如题图5.9所示电路中，已知u=220 sin(250t+20)V，R=110，C1=20F，C2=80 F，L=1H。求电路中各电流表的读数和电路的输入阻抗，并画出电路的相量图。,题图5.9,10.求题图5.10所示二端口的戴维南（或诺顿）等效电路（已知=200V）。,题图 5.10,11.在题图5.11所示电路中，已知总电压U=100 V，且、同相，求电流 和各元件参数R、XL、XC的值。,题图5.11,12.在三个复阻抗串联电路中，已知Z1=2+j，Z2=5-j3，Z3=1-j4，作用电压u=20 sin314t V，求电流i和电路的功率P、Q、S，并说明电路的性质。,题图 5.12,14.在题图5.13所示电路中，已知i=2.82 sin314tA、R=60，L=0.255 H。（1）若在R、L电路两端并联C=11.3 F的电容器，求此时总电流有效值I；(2)求并联电容器前、后电路的功率因数。,题图5.13,15.现有电压u=220 sin314t V,额定视在功率SN=10 VA的正弦交流电源，供电给有功功率P=8 kW，功率因数cos=0.6的感性负载。（1）该电源供出电流是否超过额定值？（2）欲使电路的功率因数提高到0.95，应并联多大电容？（3）并联电容后，电源供出的电流是多少？,
