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1、概率论与数理统计习题答案第四版盛骤(浙江高校)浙大第四版(高等教化出版社)第一章概率论的基本概念U一写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)(-1)S=(色3”表小班人数nnnJ(3)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。(一2)S=10,IL12,，)(4)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。(一(3)5=00,100,0100,0101,
2、1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,Illb)2.二设A,B,C为三事务，用A,B,C的运算关系表示下列事务。(1) A发生，B与C不发生。表示为：A万不或4一(A8+AC)或A(BDC)(2) A,8都发生，而C不发生。表示为：ABC或AB-ABC或AB-C(3) A, B, C中至少有一个发生表示为：A+B+C(4) A,B,C都发生，表示为：ABC(5) A,B,C都不发生，表示为：或S-(A+8+0或AUBDC(6)A,B,C中不多于一个发生，即4,B,C中至少有两个同时不发生相当于X瓦豆G无3中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC.(7) A,
3、B,C中不多于二个发生。相当于：,瓦不中至少有一个发生。故表示为：川+方+己或斯(8) A,B,C中至少有二个发生。相当于：AB,BC,Ae中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC6 .三设A,8是两事务且P（八）=O.6,P(B)=O.7.问(1)在什么条件下P(48)取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P（八）=O.6,P(B)=O.7即知ABW,(否则AB=依互斥事务加法定理，P(AUB)=P（八）+P()=0.6+0.7=l.3l与P(4U8)1冲突).从而由加法定理得P(AB)=P（八）+P(B)一P(AUB)(*)(1)从OWP
4、(A8)P（八）知，当A8=A,即A8时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P（八）=O.6,(2)从(*)式知，当AUB=S时，P(AB)取最小值，最小值为P(A8)=0.6+0.71=0.3。7 .四设A,B,C是三事务，且P（八）=P(8)=P(C)=:,P(45)=P(8C)=0,P(AC)=j-.求A,C至少有一个发生的概率。O解：P(AfB,。至少有一个发生)二2(4+3+0=2(4)+2(8)+尸(。一尸(48)一/80一3 15P(AQ+P(ABQ=4-A+o=2-4 8884五在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予
5、以排列，问能排成上述单词的概率是多少？记A表“能排成上述单词”从26个任选两个来排列，排法有总种。每种排法等可能。字典中的二个不同字母组成的单词：55个P（八）=A卷为61309.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自O,1,29）记A表”后四个数全不同” 后四个数的排法有种，每种排法等可能。后四个数全不同的排法有4 P（八）=9=0.504IO410六在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，随意选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事务A 10人中任选3人为一组：选
6、法有（专）种，且每种选法等可能。又事务A相当于：有一人号码为5,其余2人号码大于5。这种组合的种数有IX管）（2）求最大的号码为5的概率。记“三人中最大的号码为5”为事务B,同上10人中任选3人，选法有种，且每种选法等可能，又事务B相当于：有一人号码为5,其余2人号码小于5,选法有IXq种P(B)-兄Il-L11.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？记所求事务为4。在17桶中任取9桶的取法有G97种，且每种取法等可能。取得4白3黑2红的取法
7、有Cl)XC：xC；P(A)= coc3印252243112.在1500个产品中有400个次品，1100个正品，随意取200个。(1)求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事务A在1500个产品中任取200个，取法有，湍卜h每种取法等可能。200个产品恰有90个次品,取法有(觉(慌)种尸(A) =(400YllOO)190人11()(1500、(200J(2)至少有2个次品的概率。记：A表“至少有2个次品”Bo表”不含有次品”，8表“只含有一个次品“，同上，200个产品不含次品，取法有(1歌)种,200个产品含一个次品,取法有”)(1耀种彳=%+为且，S互不相容。P(A) = 1-P(
8、A) = 1-P() + P(B1) = 1-(1100) (200 JI I(400YIlOo)1500(200 )I I(1500) 200 JI13.1从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记A表“4只全中至少有两支配成一对”则彳表“4只人不配对”从10只中任取4只，取法有(7)种，每种取法等可能。要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有P（八）=I一尸(X)=I-4=畀15十一将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1,2,3,的概率各为多少？记A表“杯中球的最大个数为i个i=123,三只球放入四只杯中，放
9、法有43种，每种放法等可能对A:必需三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2种。(选排列：好比3个球在4个位置做排列)P(A4x3x2-6(1)-43-16对A2：必需三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C；X4x3种。（从3个球中选2个球，选法有再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最终将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。（=而对A3：必需三球都放入一杯中。放法有4种。（只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种）於吟16十二50个钾钉随机地取来用在10个部件，其中有三个钾钉强度太弱，每个部件用3只钾钉，若将三只强度太弱的钾钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱
10、，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。法一：用古典概率作：把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去钾完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉钟完10个部件要分先后次序）对E：钾法有CxCxC2x种，每种装法等可能对A：三个次钉必需卸在一个部件上。这种钾法有（clcl1cli）10种CiO X C-47 XX C23 10 . X Cj31960= 0.00051法二：用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件钾完。（钾钉要计先后次序）对E钾法有A之种，每种制法等可能对A：三支次钉必需支在“必2,
11、3”位置上或“4,5,6”位置上，或“28,29,30”位置上。这种聊法有AfA47+AjA47+端=IOXAjXAm种P(A) =IOXAtX A：； _ 11960= 0.0005117.+三已知P（八）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(BlAD月)。解一：P（八）=1-P（八）=0.7,P(B)=1-P(B)=0.6,A=AS=AB05=07P(A)哂A)=署=APA)4故P(AB)=P（八）P(BIA)=IP4 胃调 一 P(A) + 哂-P(AB) - 0.7 0.6 - 0.5P(BA)= 0.2518,十四P（八）=j,P(BA)=,P(AIB)=I求P(AD
12、B)O解：由P( AI 8)定义rt)_1_JG喘T）由已咦一有:藉=尸得由乘法公式，得P(AB)=P（八）P(例A)=击由加法公式，得P(ADB)=P（八）+P(B)-P(AB)=!+!-4=519-十五掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用两种方法)。解：(方法一)(在缩小的样本空间SB中求P(AB),即将事务B作为样本空间，求事务A发生的概率)。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x,y)(x,23,4,5,6)并且满意x,+y=7,则样本空间为S=(x,y)(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)每种结果(x,y)等可能。A=掷二
13、骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故尸（八）=2=163方法二：(用公式P(A8)=gS=(x,y)lX=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,61每种结果均可能A=掷两颗骰子，X,y中有一个为“1点”，B=掷两颗骰子，X,十尸7”。则P(B)=A=4,P(AB)=/，6662故P所需=单=H620十六据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P（八）=P孩子得病=0.6,P(BH)=P母亲得病I孩子得病二05,(。48尸2父亲得病|母亲及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为P(43)(留意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随
14、机事务，这里不是求P(不AB)P(AB)=P（八）=P(8H)=O6xO.5=O.3,P(CAB)=-P(CHs)=I-0.4=0.6.从而P(ABC)=P(fi)P(CIAB)=O.3x0.6=0.18.21十七已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事务的概率。(1)二只都是正品(记为事务A)法一：用组合做在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。P唔总=。&法二：用排列做在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。P=多噫AlO法三：用事务的运算和概率计算法则来作。记4,A2分别表第一、二次取
15、得正品。Q7P（八）=P(A1A2)=P（八）P(A2A1)=-X-=(2)二只都是次品(记为事务B)法一:P(B)噎=*421法二：三=a10a法三：P(B)=P(lA2)=P(A1)P(A21)=-j=-(3)一只是正品，一只是次品(记为事务C)法一:w=法二:P(C) =(Cg C)_ 1645法三：尸(。)=尸(4月+442)且4彳2与442互斥=P(1)P(A21)P(A1)PCA21A1)=Ax+=l(4)其次次取出的是次品(记为事务O)法一：因为要留意第一、其次次的依次。不能用组合作，法二：尸(0=1=：o5法三：P(O)=P(A凡+44)且a4与Wa2互斥=P(AJP(AJAJ
16、P(A1)P(A21)=A+=-1V/71V/7J224十八某人遗忘了电话号码的最终一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？假如已知最终一个数字是奇数，那么此概率是多少？记H表拨号不超过三次而能接通。Ai表第i次拨号能接通。留意：第一次拨号不通，其次拨号就不再拨这个号码。,H=A1+A1A2+A1A2A3三种情况互斥.P（三）=P(A1)+P（八）P(A2IA)+P（八）P(A2IA1)P(A3AlA2)1919813=1X+X-X-=一10109109810假如已知最终一个数字是奇数(记为事务8)问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。P(HB)=PA
17、lB+AiA2B+AlA2A3B)=P(AlB)+P(AlB)P(A2BAi)+P(AlB)P(A11BA)P(A3IBA1A2)=1+1x1+1x3x1324.十九设有甲、乙二袋，甲袋中装有只白球用只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到(即从乙袋中取到)白球的概率是多少？(此为第三版19题(1)记4,4分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记8表“再从乙袋中取得白球”。*.*B=AB+A2B且Ai,互斥:.P(B)=P(4)P(BlA1)+P(A2)P(BlA2)n/V+1mN=+n+mN+f+1n+mN+M+1十九(2)第一只盒子装
18、有5只红球，4只白球；其次只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入其次盒中去，然后从其次盒子中任取一只球，求取到白球的概率。记Ci为“从第一盒子中取得2只红球C2为“从第一盒子中取得2只白球”。C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，。为“从其次盒子中取得白球”，明显G，C2,。3两两互斥，CiUC2UC3=S,由全概率公式，有P(D)=P(Ci)P(Z)IG)+P(C2)P(DC2)+P(C3)P(DC3)Cl5Cl7653=-十十=,CjIl11C；119926.二H*一已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地选择一人
19、，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：A=男人,42=女人，B=色盲,明显AlUA2=S,AiAz=由已知条件知P（八）=P(A2)=yoP(BA1)=5%,P(BIA2)=0.25%由贝叶斯公式，有P(Al B)=P(AP(4)P(34)P(B)P(A)尸(BlA) + P(A2)P(B I A2)2 IOO1 51252 io+2 ioooo2021二十二一学生接连参与同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P,若第一次及格则其次次及格的概率也为P；若第一次不及格则其次次及格的概率为，（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他其次次己经及格，求他
20、第一次及格的概率。解：Ai=他第i次及格,i=l,2已知P(A1)=P(421)=P,P(21%)=%(1) B=至少有一次及格所以B=两次均不及格=A1A2：.P(B)=I-P(B)=I-P(A1A2)=I-P(Ax)P(A1A1)=1-1-P(A1)1-P(A2IA1)P31=1-(1-P)(1-)=p2222(2) RA4)定义乳4,(*由乘法公式，有P(Al42)=P()P(2i)=P2由全概率公式，有P(A2)=P(A1)P(A2Ai)+P(Ai)P(A2A1)=PP+(JP)看P2P=122将以上两个结果代入(*)得P(AJ4)=p2pP+一2228 .二十五某人下午5:00下班，
21、他所积累的资料表明:到家时间5:35-5:395:40-5:445:45-5:495:50-5:54迟于5:54乘地铁到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽车到家的概率0.300.350.200.100.05某口他抛一枚硬币确定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。解：设A二乘地铁”，B=“乘汽车”,C=5:45设:49到家”,由题意4B=,AUB二S已知：P(4)=0.5,P(ClA)=O.45,P(CIB)=0.2,P(B)=O.5由贝叶斯公式有尸(AIe)=F=麒*=6923P(C)P(CA)y+P(CB)y0651329 .二十四有两箱同种
22、类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；其次箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。(2)第一次取到的零件是一等品的条件下，其次次取到的也是一等品的概率。解：设Bi表示“第i次取到一等品i=l,2Aj表示“第j箱产品j=l,2,明显AUA2=SAiA2=11Q11Q2(1) P(Bl)=+=-=0.4(S=48+45由全概率公式解)。2502305(2) P(&IU)=2=函)；5而被=0.4857,P(B1)25(先用条件概率定义，再求P(8&)时，由全概率公式解)32.二十六(2)如
23、图1,2,3,4,5f-表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为P，且设各继电器闭合与否相互独立，求上和R是通路的概率。记A表第i个接点接通45记A表从L到R是构成通路的。*.*=AA2+AA3A5+A4A5+A4A32四种状况不互斥P()=P(AiA2)+P(AiA3A5)+P(A4A5)+P(A4AyA2)-P(AlAMM5)+P(AA2A4A5)+P(AIA2A3A4)+P(AlA3A4A5)+P(A1A243A45)P(A2A34A5)+P(1A2345)+P(A2A3A4A5)+(AlA24A4A5)+P(AA2A3A4A5)-P(AlA2A3A4A5)又由于A,A2,A3,A
24、4,4相互独立。故P（八）=P2+P3+P2+p3p4+p4+p4+p4+p5+p4+P5+P5+P5+p5-p5=2P2+3p35p4+2p5二十六(1)设有4个独立工作的元件1,2,3,4。它们的牢靠性分别为乃，P2,P3,P4,将它们按图(1)的方式联接，求系统的牢靠性。,一l记A表示第i个元件正常工作，Z=I,2,3,4,IIII_|L23FrhA表示系统正常。04,：A=AI42A3+A4两种状况不互斥P（八）=P(A1A2A3)+P(AiA4)-P(AiA2A3A4)(加法公式)=P(Ai)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A4)-P(Ai)P(A2)P(A3)P(A4)=PiP
25、2P3+PiP4-PiP2P3P4(4,4,4,4独立)34.三十一袋中装有加只正品硬币,只次品硬币，(次品硬币的两面均印有国徽)。在袋中任取一只，将它投掷，次，己知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？解：设“出现，次国徽面”=B1任取一只是正品”二A由全概率公式，有tn1nP(Bt)=P（八）P(BtIA)+P（八）P(BrIA)=-(一)r+lrm+n2m+n，P(AJwA)-苣曲二P(Br)m1.nm+n2rm+n2tn+n(条件概率定义与乘法公式)35.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7o飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击
26、中而被击落的概率为0.6,若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解：高F表示飞机被i人击中，i=l,2,3。B,B2,%分别表示甲、乙、丙击中飞机二乌瓦瓦+瓦瓦瓦+瓦瓦层，三种状况互斥。H2=与当瓦+B1B2B3+瓦/三种状况互斥H3=B2B2B3又Bf史,&独立。P(HI)=P(一)P(瓦)P(瓦)+P(E)P(B2)P(B3)+P(Bl)P(B2)P(B3)=0.4x0.50.3+0.6X0.5X0.30.6X0.5X0.7=0.36P(H2)=P(Bl)P(B2)P(B3)+P(Bi)P(B2)P(B3)+PeI)P(B2)P(3)=0.4().5X0.3+0.40.50.7
27、+0.60.50.7=0.41P(H3)=P(Bi)P(B2)P(B3)=0.40.50.7=0.14又因：A=HlA+H2A+H3A三种状况互斥故由全概率公式，有P（八）=P(Hi)P(AH1)+P(H2)P(AH2)+P(”3)P(AHi)=0.360.2+0.410.6+0.141=0.45836.三十三设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%(这一事务记为A),10%(事务4),90%(事务4)的概率分别为P(AD=O.8,P(A2)=O.15,P(A2)=0.05,现从中随机地独立地取三件，发觉这三件都是好的(这一事务记为8),试分别求P(AM)P(AdB)I(AdB)(这
28、里设物品件数许多，取出第一件以后不影响取其次件的概率，所以取第一、其次、第三件是相互独立地)B表取得三件好物品。b=ab+a2b+a3b三种状况互斥由全概率公式，有P(B)=P(Ai)P(BA1)+P(A2)P(BA2)+P(A3)P(8A3)=0.8(0.98)3+0.15(0.9)3+0.05(0.1)3=0.8624P(AJB) =P(A1B)P(B)P(Al)P(BAl)P(B)(18x(0.98)30.8624= 0.8731= 0.1268*Im_P(&8)P(4)P(例A?)0.15x(0.9)32P(B)P(B)0.8624= O.(XX)IP(AID、-P(A3为_尸(4)P
29、(8I4)_0.05x(01)3(3,)-P(B)-P(B)一0.862437.三十四将A,B,C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为,而输出为其它一字母的概率都是(l-)/2。今将字母串A4A4,BBBB,CCCC之一输入信道，输入AAA4,BBBB,CCCC的概率分别为p,p2,p3(p+p2+p3=l),已知输出为ABeA,问输入的是AAAA的概率是多少？(设信道传输每个字母的工作是相互独立的。)解：设。表示输出信号为A5CA,3、B2、&分别表示输入信号为AW1,BBBB,CCCC,MBhB2、以为一完备事务组，且P(Bi)=Pi,i=l,2,3再设A发、A收分别表示发出、接收字
30、母4其余类推，依题意有P(A收IA发尸P(BftlB发)=P(C收ICQ=,P(A收I8发)=P(A收IC发)=P(BMA发)=P(BMC发)=P(C收14发)=P(C收|8发户与L又尸(ABCAA4A4)=P(DB)=P(A收A发)P(8收A发)P(。收A发)P(A收IA发)=G2号)2,同样可得P(DIB2)=P(Dy)=a(3L)3于是由全概率公式，得P(D)=ZP(Bj)P(QIBj)=1=2(-)2(-l)3由Bayes公式，得P (AAAAACA)= P(BD) =P(BjP(DlBJP(D)2aPx2aP+(l-)(B+伐)二十九设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；其次
31、只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。解：记4、A2、4分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，Bi、B2、&分别表示是从其次只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。（1）记C=至少有一只蓝球C=AB+Ai&+ABi+A2B+AB,5种状况互斥由概率有限可加性，得P（C）=P（A1B1）+P（A当）+P（AB3）+P（A2B1）+P（A3B1）（4）p（8j+p（八）p（&）+p（八）p（a）+P（4）p（e）+P（A3）p（8j5 - 9
32、 =2 - 92 - 7 +2 - 92 - 7 +4 - 93 - 7 +3 - 93 - 7 +2 - 9(2)记。=有一只蓝球，一只白球,而且知O=AI83+A381两种状况互斥P(D)=P(AB3+P(A3B1)=P(Al)P(B3)+P(A3)P(5i)34,2216=797963P(OlC)二号号二锵二票(注意到CD=D)厂r)U三十A,B,C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A,B,C的电话的概率分别为po他们三人常因工作外出，A,B,C三人外出的概率分别为4，44,设三人的行动相互独立，求244(1)无人接电话的概率；(2)被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断
33、打进了3个电话，求(3)这3个电话打给同一人的概率；(4)这3个电话打给不同人的概率；(5)这3个电话都打给8,而4却都不在的概率。解：记G、C2、C3分别表示打给A,B,C的电话Di.。2、。3分别表示A,B,C外出留意到G、C2、。3独立，且P(G)=P(C2)=5，P(C3)JP(三)=,P(D2)=P(D3)=I(I)P(无人接电话)=P(DiD2D3)=P(Di)P(D2)P(D3)_1111=24432(2)记G=”被呼叫人在办公室，G=G可+。2瓦+Ga瓦三种状况互斥，由有限可加性与乘法公式由于某人外出与、否和来电话无关、故 p(瓦 Io) = P(a)P(G)=P(ClD1)+
34、P(C2D2)+P(C3D3)=P(G)P(万IG)+PG)尸(瓦K2)+PB)2瓦Ig)21123,13135254542017125(3) H为“这3个电话打给同一个人”rw=222+222+lllv7555555555(4) R为“这3个电话打给不同的人”R由六种互斥状况组成，每种状况为打给A,B,C的三个电话，每种状况的概率为2214X=555125于是P(K)=6X含=器(5)由于是知道每次打电话都给8,其概率是1,所以每一次打给8电话而8不在的概率为!，且各次状况相互独立4于是P(3个电话都打给B,B都不在的概率)=(5)3=看其次章随机变量及其分布1一一袋中有5只乒乓球，编号为1
35、、2、3、4、5,在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3,4,5,分布律为1xr21P（x=3）=P（一球为3号,两球为1,2号）=白10P（X=4）=P（一球为4号,再在1,2,3中任取两球）=-10P（X=5）=P（一球为5号,再在123,4中任取两球）=UW=皋10也可列为下表X：3,4,5136Rlo*w,lo3.三设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0,L2个。P(X=O)=空P(XC；
36、xC_12x0-CI35C彳XC1再列为下表X：0,1,2p22J2J_：35,35,354四进行重复独立试验，设每次胜利的概率为，失败的概率为q=lp（Xpl）（1）将试验进行到出现一次胜利为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。（此时称X听从以P为参数的几何分布o）（2）将试验进行到出现一次胜利为止，以Y表示所需的试验次数，求y的分布律。（此时称Y听从以4P为参数的巴斯卡分布。）（3） 一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。解：（1）P（XMElP=l,2,2 2）Y=/+/?=最终一次试验前r+1次有次失败，且最
37、终一次胜利P(Y=r+ri)=Cn_qnprP=Cn_xqnpry=0,1,2,，其中q=-pt或记r+m=h则PY=k=Cpr(l-p)kr,=r,r+1,3 3)P(X=)=(0.55)k-,0.45k=l,2P(X取偶数)=P(X=2k)=(0.55)21045=ILJt=Ik6 .六一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻，每个设备运用的概率为0.1,问在同一时刻(1)恰有2个设备被运用的概率是多少？P(X=2)=C；Pd?=C1(0.1)2X(0.9)3=0.0729(2)至少有3个设备被运用的概率是多少？P(X3)=C1(0.1)3(0.9)2+C5(0.1)4(0.9)
38、+C5(0.1)5=0.(X)856(3)至多有3个设备被运用的概率是多少？P(X3)=C(0.9)5C5O.l(0.9)4+C；X(0.1)2X(0.9)3+C5(0.1)3X(0.9)2=0.99954(4)至少有一个设备被运用的概率是多少？P(X1)=1-P(X=O)=1-0.59049=0.40951五一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。(2)户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向
39、任一窗子的尝试不多于一次。以丫表示这只聪慧的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是的确的，试求丫的分布律。(3)求试飞次数X小于y的概率；求试飞次数y小于X的概率。解：(I)X的可能取值为1,2,3,，PX=二P前一1次飞向了另2扇窗子，第次飞了出去=(y)z,1,y2,(2) Y的可能取值为1,2,3py=i=p第1次飞了出去二；PY=2=P第1次飞向另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去Py=3=P第1,2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去)33全概率公式并注意到Ip%yr = i=o J(3) PXY=PY=kPXYY=kJt二I3=YjPY=kPXy = APXAJl=2注意至Jx, y独
40、立即 PXYY = k = PXk3同上，PX=Y=YjPY=kPX=YY=kJt=I2+lA = 123 9 3 27 81311=ZPY=APX=A=4xgjt=JJ故pyx=-PxY)=p(X=1,r=)+p(x=2,r=o)+p(x=2,y=i)+P(X=3)P(K=O)+P(X=3)P(Y=I)+P(X=3)P(X=2)=P(X=I)P(K=O)+P(X=2,Y=O)+P(X=2,K=I)+P(X=3)P(K=O)+P(X=3)P(Y=)+P(X=3)P(X=2)=C0.6(0.4)2(0.3)3+C；(0.6)20.4(0.3)8+C/(0.6)20.4C*0.7(0.3)2+(0
41、.6)3(0.3)3+(0.6)3C；0.7(0.3)2+(0.6)3xC；x(0.7)2x0.3=0.2439 .十有甲、乙两种味道和颜色极为相像的名酒各4杯。假如从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验胜利一次。(1)某人随机地去猜，问他试验胜利一次的概率是多少？(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，胜利3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的实力(设各次试验是相互独立的。)解：(1)P(一次胜利)=Jr=J7C：70(2) P(连续试验10次，胜利3次尸Gl(J)黑)7=77焉T。此概率太小，按实/U/UIUUlHJ际推断原理，就认为他确有区分实力。九有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，阅历收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作其次次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%,求(1)这批产品经第一次检验就能接受的概率(2)需作其次次检验的概率(3)这批产品按第2次检验的标准被接受的概率(4)这批产品在第1次检验未能做确定且其次次检验时被通过的概率(5)这批产品被接受的概率解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，由于产品总数很大，故XB(10,0.1),Y-B(5,0.1)(近似听从)(1) PX=O)=O.9,oO
