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1、概率论与数理统计习题习题1解答 1写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： 掷一颗骰子，记录出现的点数. A=“出现奇数点”； A=“两次点数之和为10”，B=“第一次的点数，比第 将一颗骰子掷两次，记录出现点数. 二次的点数大2”； 一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5；从中同时取出3只球，观察其结果，A=“球的最小号码为1”； =“通过汽车不足5台”，B=“通过的汽车不 记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A少于3台”. 解 W=w1,w2,w3,w4,w5,w6其中wi =“出现i点”i=1,2,6， A=w1,w3,w5. (1,2),(1,3),(
2、1,4),(1,5),(1,6) W=(1,1), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)； A=(4,6),(5,5),(6,4)； B=(3,1),(4,2),(5,3),(6,4). W=(1,2,3), (2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1
3、,2,4),(1,2,5) (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5) A=(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5) W=0,1,2,2设,A=0,1,2,3,4,B=3,4,. A,B,C是随机试验E的三个事件，试用A,B,C表示下列事件： A发生； 仅 A,B,C中至少有两个发生； A,B,C中不多于两个发生； A,B,C中恰有两个发生； A,B,C中至多有一个发生. 解 ABC ABACBC或ABCABCABCABC； 1 ABC或ABCABCABCABCABCABCABCABC； ABC ABABC； ACBC或ABCABCAB
4、CABC； 表示下列事件：没3一个工人生产了三件产品，以Ai(i=1,2,3)表示第i件产品是正品，试用Ai有一件产品是次品；至少有一件产品是次品；恰有一件产品是次品；至少有两件产品不是次品. 解 A1A2A3；A1A2AA3；1A2A3A1A2A3A1A2A3；A1A2解 设A1A3A2A3. 4在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率. A=“任取一电话号码后四个数字全不相同”，则 4P12610P(A)=4=0.504 102505一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 5只全是好的的概率； 5只中有两只坏的的概率. 5C37解 设A=“5只全是好的”，
5、则P(A)=5C403C32C37 设“5只中有两只坏的”，则P(B)=5C400.662； 0.0354. 6袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求3个球的最小号码为5的概率；3个球的最大号码为5的概率. C521解 设A=“最小号码为5”，则P(A)=3=； C10122C41 设B=“最大号码为5”，则P(B)=3=. C10207求下列事件的概率： 一枚骰子连掷4次，至少出现一个6点； 两枚骰子连掷24次，至少出现一对6点. 这是概率论发展历史中非常著名的一个问题(德梅尔问题)，当年德梅尔认为这两个事件的概率应当相同，但是在实际下赌注中发现其中一个发生的次数要稍微多些.
6、为此他迷惑不解，把问题提交给了当时的数学家帕斯卡.下面我们就来具体计算一下两个事件的概率： 设A， 1=“一枚骰子连掷4次，至少出现一个6点” A2=“两枚骰子连掷24次，至少出现一对6点” 2 64-54543624-35243524=1-40.5177，P(A2)=1-240.4914 则 P(A1)=6463624368教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率； 房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率. rP365解 设A=“他们的生日都不相同”，则P(A)=365r； 设B =“至少有两个人的生日在同一个月”，则 21222321C4C12P4111+C4C12+C4P
7、12+C12； P(B)=412964P4112. P(B)=1-P(B)=1-4=1296或 9从6双不同的鞋子中任取4只，求：其中恰有一双配对的概率；至少有两只鞋子配成一双的概率 解 分析：先从6双中取出一双，两只全取；再从剩下的5双中任取两双，每双中取到一只，则中所含样本点数为C6C2C5C2C2，所以所求概率PC6C2C5C2C2/C12设B表示“至少有两只鞋子配成一双”，则： 4.1111P(B)=1-P(B)=1C64.C2C2C2C2/C121221112211416 331717412112，或C6C5C2C2+C6/C12 3333j号一双，此时成为两双的配对为(i,j)；但
8、也存在配对注：不能把有利事件数取为C6C2C10，否则会出现重复事件这是因为，若鞋子标有号码1，2，6时，C6可能取中第i号鞋，此时C10可能取中121222(j,i)，(i,j)与(j,i)是一种，出现了重复事件，即多出了C6个事件 10设事件解 A与B互不相容，P(A)=0.4,P(B)=0.3，求P(AB)与P(AB) P(AB)=1-P(AB)=1-P(A-)P(B=)0.3 因为A,B不相容，所以AB，于是P(AB)=P(A)=0.6 11若P(AB)=P(AB)且P(A)=解 P，求P(B). P(AB)=1-P(AB)=1-P(A-)P(B+)p P( AB)由P(AB)=P(A
9、B)得P(B)=1-P(A)=1-12对任意三事件证明 A,B,C，试证P(AB)+P(AC)-P(BC)P(A). P(AB)+P(AC)-P(BC)P(A+)B(PA-)C(P ABC=P(ABAC)=PA(BC)P(A). 证毕. y2ax-x2内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的13随机地向半圆0面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于p/4的概率. 3 解 半圆域如图 y 设A=“原点与该点连线与x轴夹角小于p/4” x 由几何概率的定义 1212pa+a11A的面积42=+ P(A)=p/4 12p半园的面积x pa2a 02y14把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构
10、成三角形的概率. 解1 设A=“三段可构成三角形”，又三段的长分别为x,y,a-x-y，则0xa,0ya,0x+ya，不等式构成平面域S. x+ya A发生0x,0y,a 222S 不等式确定S的子域A，所以 a/2 A aaa0 a/2 a P(A)=A的面积1= S的面积4解2 设三段长分别为 x,y,z，则0xa,0ya,0zz A x+zy y+zx A，所以 不等式确定S的子域 x 15随机地取两个正数x和的概率. 解 y P(A)=A的面积1=. S的面积4y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与y之和不超过1，积不小于0.09S. 0x1,0y，不等式确定平面域1A=“x+y1
11、,xy0.09”则A发生的 y 1 充要条件为0S x+y1,1xy0.09不 A，故 A 等式确定了S的子域 x00.1 0.9 10.9A的面积0.9P(A)=(1-x-)dx 0.1S的面积x=0.4-0.18ln3=0.2 16假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率. 4 解 设Ai=“任取一件是i等品” i=1,2,，3 所求概率为 P(A1|A3)=P(A1A3)， P(A3)因为 所以 故 A3=A1+A2 P(A+P(2A=)0.+63)=P(A1)P(A1A3)=P(A1)=0.6 P(A1|A3)=62=.
12、 930.=3 0.917设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. 解 设 则 A=“所取两件中有一件是不合格品” Bi=“所取两件中恰有i件不合格” i=1,2.A=B1+B2 ， 112C4C6C4P(A)=P(B1)+P(B2)=2+2C10C10所求概率为 2P(B2)C41. P(B2|A)=11=2P(A)C4C6+C4518袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率. 解 设A=“发现是同一颜色”，B=“全是白色”，C=“全是黑色”，则A=B+C， 33C6/C11P(AC)
13、P(C)2 P(C|A)=33=33P(A)P(B+C)C6/C11+C5/C113所求概率为 19设P(A)=0.5,解 P(B)=0.6,P(B|A)=0.8求P(AB)与P(B-A). 4P(AB=)1.-1P(A)P(B=|A)-1.1=0.P(AB)=P(A)+P(B-)P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.-60.=4. 020甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率. 解 设A=“从乙袋中取出的是白球”，Bi=“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”i=0,1,2. 由全概率公式 P(A)=P(B0)P(A
14、|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2) 112C21C32613C24C3. =2+2+2=C510C52C5102521已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率. 5 解 设 则 A=“任取一产品，经检查是合格品”， B=“任取一产品确是合格品”， A=BA+BA P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B) =0.960.98+0.040.05=0.9428， 所求概率为P(B|A)=P(B)P(A|B)0.960.98=0.998
15、. P(A)0.942822玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求： 顾客买下该箱的概率a； 在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率b. 解 设 A=“顾客买下该箱”， B=“箱中恰有i件残次品”，i=0,1,2， a =P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2) 44C19C18=0.8+0.14+0.140.94； C20C20 b=P(B0|A)=P(AB0)0.8=0.85. P(A)0.9
16、423某大型商场所出售的一种商品来自甲、乙、丙、丁四个厂家，它们的产品在该卖场所占的份额依次为：60%，20%，10%，10%，且根据以往的检验记录知，它们的次品率分别为1%，2%，3%，2%. 现有一件商品因质量问题被退货，商场欲将该产品退给原厂家，或由其承担相关费用，但该产品的标识已脱落，从外观无法弄清生产厂家，请你通过计算分析，为该商场处理此事提出建议. 解 用Ai分别表示产品来自甲、乙、丙、丁四个厂家，设B=“产品被退货” 则P(A1)=0.60，P(A2)=0.20，P(A3)=0.10，P(A4)=0.10，P(BA1)=0.01，P(BA2)=0.02，P(BA3)=0.03，P
17、(BA4)=0.02 (1)由全概率公式, P(B)=P(Ai)P(BAi)=0.600.01+0.200.02+0.100.03+0.100.02=0.015 i=14 (2) 由贝叶斯公式, P(A1B)=P(A1B)P(A1)P(BA1)0.600.016= P(B)P(B)0.01515 6 P(A2B)P(A2)P(BA2)0.200.024P(A2B)= P(B)P(B)0.01515P(A3B)=P(A4B)=P(A3B)P(A3)P(BA3)0.100.033= P(B)P(B)0.01515P(A4B)P(A4)P(BA4)0.100.022= P(B)P(B)0.01515
18、以上结果表明,这只产品来自甲工厂的可能性最大，尽管甲厂次品率最低，但甲厂所占的份额大，所以该产品出自甲厂的可能性最大. 处理办法：商场可以将该产品退回甲厂，也可按照比例6:4:3:2由四个厂家分摊相关费用. 24甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率. 解 设A=“目标被击中”，Bi=“第i个人击中” i=1,2 ,所求概率为P(B1|A)=P(B1A)P(B1)P(B1) =P(A)P(B1+B2)1-P(B1B2) 25设P(A)0,证明 若0.6=0.75. 1-0.40.5P(B)0，证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时
19、成立. A、B互不相容，则AB=f，于是P(AB)=0P(A)P(B)0 A、B不相互独立. 所以 若A、B相互独立，则P(AB)=即P(A)P(B)0，于是ABf， A、B不是互不相容的. 注：从上面的证明可得到如下结论： 1）若A、B互不相容，则A、B又是相互独立的 2）因A= 如果 P(A)=0或P(B)=0. BA+BA，所以P(A)=P(BA)+P(BA) P(B)=1，则P(BA)=0，从而P(AB)=P(A)=P(A)P(B) =0，则P(AB)=0=P(A)P(B)，即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不A,B,C相互独立，则AB及A-B都与C独立. 可见概率是1的事件与任意
20、事件独立，自然，必然事件与任意事件独立. 如果P(B)可能事件与任何事件独立. 26证明若三事件证明 P(AB)C=P(ACBC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC) 即 =P(B)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C) =P(A)+P(B)-P(AB)P(C) =P(AB)P(C) AB与C独立. 7 P(A-B)C=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)=P(A-B)P(C) A-B与C相互独立. 即 27某个公司招聘员工，指定三门考试课程，目前有两种考试方案： 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中任选两门，两门都及格为
21、考试通过. 若某应聘者对三门指定课程及格的概率分别为a,b,c，且三门课程之间及格与否互不影响.分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； 哪种方案对应聘者更有利？为什么？ 解 设Ai，Bj=“第i个方案通过”，则 =“考生参加第i门考试且及格”P(B1)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3) =ab(1-c)+a(1-b)c+(1-a)bc+abc =ab+bc+ca-2a bc1111P(B2)=P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=(ab+bc+ac) 3333由于 a,b,c(0,1)，所以 22(ab+bc+ac)-2abc=
22、(ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)0 33p，且设各继电器闭合与P(B1)-P(B2)=因此方案一比方案二更容易通过. 28图中1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为否相互独立，求L至R是通路的概率. 解 设4 1 2 3 5 L R A=“L-R是通路”，Bi=“第i个接点闭合” i=1,2,3,4,5，则 A=B1B2B4B5B1B3B5B4B3B2 P(A)=P(B1B2)+P(B4B5)+P(B1B3B5)+P(B4B3B2)-P(B2B3B4B5)-P(B1B2B3B4) -P(B1B2B4B5)-P(B1B2B3B5)-P(B1B3B4B5
23、)-P(B1B2B3B4B5) +P(B1B2B3B4B5)+P(B1B2B3B4B5)+P(B1B2B3B4B5) +P(B1B2B3B4B5)-P(B1B2B3B4B5)=2p2+2p3-5p4+2p5. p，由题意 29一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率. 解 设该射手的命中率为 8 1801=1-(1-p)4，(1-p)4=，1-p= 38181所以 p=2. 330设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有一个次品和恰有两个次品的概率. 解 13P4(1)=C4(0.01)(0.99)=0.0388. 2P
24、4(2)=C4(0.01)2(0.99)2=0.000588. 31设在伯努里试验中，成功的概率为解 设 p，求第n次试验时得到第r次成功的概率. A=“第n次试验时得到第r次成功”，则 A=“前n-1次试验，成功r-1次，第n次试验出现成功”， 所以P(A)=PP r-1r-1n-rr-1rn-r. =Cnp(1-p)p=Cp(1-p)-1n-132设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品，不能出厂.现该厂生产了n(n2)台仪器.求全部能出厂的概率a；其中恰有两台不能出厂的概率b；其中至少有两台不能出厂
25、的概率q. 解 设则 A=“任取一台可以出厂”，B=“可直接出厂”，C=“需进一步调试”. A=BA+CA， P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.7+0.30.8=0.94=p p，于是 将n台仪器看作n重伯努里试验，成功的概率为 a b q =(0.94)n， 2=Cn(0.06)2(0.94)n-2， =1-(0.94)n-n(0.06)(0.94)n-1. 习题2解答 1试说明下列函数能否为某随机变量的分布函数. 0,F1(x)=sinx,1,解 x0,0xxp2., p20,F2(x)=ln(1+x),1+xx0,x0.F1(x)是；F2(x)不是，因为F2(+)
26、=01. 9 2设随机变量X的分布函数为 0,1,F(x)=4ax+b,1,且P(Xx-1,x=-1,-1x1,x1.=1)=1，试求：常数a,b的值；P(-2X1). 2=limF(x)，即 x(-1)+ 解 (1) 由于F(-1)1=lim(ax+b)=b-a. 4x(-1)+又 1=P(X=1)=F(1)-F(1-0) 2=1-lim(ax+b)=1-a-b. x1-由上两式知a(2) 1=,8b=3. 8x1-P(-2X1)=F(1-0)-F(-2)=lim(ax+b)=a+b=1. 23将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以X表示放球最
27、多的盒子中球的个数，试求X的分布列及其分布函数F(x). 121213C3C42+C3C42C3C428P(X=2)=P(X=3)=； 3433427解 1C31P(X=4)=4=. 327x2,0,2,2x3,3F(x)=2826 =,3x0的概率. 3317372=1 知c=或2. 又-220|X2)=P(0X2)P(X=1)+P(X=2)=1. P(X2)1-P(X=3)7设离散型随机变量X的分布函数为 0,0.2,F(x)=0.4,1,试求：X的分布列；P(0解 (1) x-2,-2x1,1x2,x2.inX2)；设Y=spX6cospX6，求Y的分布函数FY(y). X可以取值-2,
28、1,2. P(X=-2)=F(-2)-F(-2-0)=0.2-0=0.2； P(X=1)=F(1)-F(1-0)=0.4-0.2=0.2； P(X=2)=F(2)-F(2-0)=1-0.4=0.6. 故X的分布列为 (2) XP -2 1 2 0.2 0.2 0.6 P(0X2)=P(X=1)+P(X=2)=0.8. F(2)-F(0-0)=1-0.2=0.8) 11 (或= (3) 由于Y 即 所以， 1pX=sin23，从而Y分布列为 Y-333 444P 0.2 0.2 0.6 Y-33 44P 0.2 0.8 3x-,0,433FY(y)=0.2,-x, 443.0.2+0.8=1,x
29、48设连续型随机变量X的分布函数为 x0.limP(|X-2|x)=lim(F(2+x)-F(2-x)=F(2)-F(2)=0. x0x09设连续型随机变量X的密度函数为 ax2,0x1,f(x)=2-x,1x2, 其他.0,13试求：常数a的值；随机变量X的分布函数；P(X). 22+123a1f(x)dx=ax2dx+(2-x)dx=+. 故a=. 解由于1=-01232 当x0时，F(x)=0； x1时，F(x)=x321tdt=x3； 02213x1t2dt+(2-t)dt=2x-x2-1； 当12时，F(x)=1. 0,1x3,2F(x)=-1x2+2x-1,21,x0,0x1,12
30、.133213132xdx+(2-x)dx=. P(X0，t0有 P(Xs+t|Xt)=P(Xs). 证明 由于XExp(l)，从而其分布函数为 x0,0, F(x)=-lx1-e,x0.故，对一切实数s0，t0， P(Xs+t|Xt)=P(Xs+t,Xt)P(Xs+t)= P(Xt)P(Xt)1-P(Xs+t)1-F(s+t)e-l(s+t)=-lt1-P(Xt)1-F(t)e13 =e-ls=1-F(s)=P(Xs). 11设离散型随机变量X的分布列为 P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,其中0， pn+m|Xm)=P(Xn)， . +k-1解 P(Xn)=k=n+1P(X=k)
31、=(1-p)k=n+1p=(1-p)n. 从而， P(Xn+m|Xm)=P(Xn+m,Xm)P(Xn+m)= P(Xm)P(Xm)(1-p)n+mn=(1-p)=P(Xn). m(1-p)12某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为0.001，现购买2000张彩票，试求： 此人中奖的概率；至少有3张彩票中奖的概率. 解 设中奖的彩票数为X，则P(XXB(2000,0.001). 1)=1-P(X=0)=1-(0.999)20000.8648. 由于20000.001=2，故 P(X3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2) 202122-21-(+)e=1-5e-20.3233. 0!1!
32、2!13假设测量的随机误差X于3.92的概率. 解 N(0,4)，试求在10次独立重复测量中，至少有二次测量误差的绝对值大3.923.92)-F(-) 22P(|X|3.92)=1-P(-3.92X0)的泊松分布，试求：相继两次索赔之间时间间隔Y的分布；在保险公司6小时内无索赔的情况下，再过4小时仍无索赔的概率. 解 当y0时， (ly)0-lyP(Yy)=P(N(y)=0)=e=e-ly， 0!故，FY(y)=1-P(Y当y)=1-e-ly； y0时，FY(y)=P(Yy)=0. -lyle,fY(y)=0,从而，Y的密度函数为 y0,y0.故，YExp(l). 6+4|Y6). 由第10题
33、的结论知 所求概率为P(YP(Y6+4|Y6)=P(Y4)=e-4l. 16设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，其密度函数有 F(-a)P(|P(|f(x)为偶函数. 试证明：对任意实数a0，=1-F(a)=a1-f(x)dx； 20X|a)=2(1-F(a). 为偶函数，所以，证明 由于f(x)f(-x)=f(x). 从而，0-f(x)dx=+0f(x)d. x又 15 +-f(x)dx=1，所以，0-f(x)dx=y=-x+0f(x)dx=1. 2+aF(-a)=-a-f(x)dx=a-+af(-y)dy=f(y)dy =1-又f(y)dy=1-F(a). aa-f(y)dy=0-a1
34、f(y)dy+f(y)dy=+f(y)dy. 所以，由上式知， 020aa111-F(a)=1-f(y)dy=-f(y)dy. 2020P(|P(|X|a)=1-P(|X|a)=1-(2F(a)-1)=2(1-F(a). N(1,4)，试求： 17设随机变量XP(X解 P(X6)；P(-2X7). 6-1)=F(2.5)=0.9938； 23-1-2-1)-F=F(1)-(1-F(1.5)=0.7745； P(-2X7)=1-P(X7)=1-F(2-1;1,Z1,Z1.试求：二维随机变量(X,Y)的联合分布列；(X,Y)的联合分布函数F(x,y). 解 由ZU(-2,2)知其密度函数为 1,-
35、2z1)=0； P(X=1,Y=-1)=P(Z-1,Z1)=P(-1-1,Z1)=P(Z1)=故，(X,Y)的联合分布列为 当x当-1当-12111dz=. 44YX-1 1 -1 14120 1 14-1或y-1时，F(x,y)=0； x1,-1y1时，F(x,y)=P(X=-1,Y=-1)=1； 41； 4x1,y1时，F(x,y)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=-1,Y=1)=y1时，F(x,y)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1)=当x1,-1当x1,y从而， 3； 41时，F(x,y)=1. 14,3,F(x,y)=41,0,-1x1,y-1x1,-1y1,x1,y1,其他.19设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为 k(x+y),f(x,y)=0,试求：常数k的值；X与Y的边缘密度函数解 1= 当x0x1,0y1,其他.1P(X+Y1)及P(X). fX(x)及fY(y)；2-+-f(x,y)dxdy=f(x,y)dy.
