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1、第0章 矢量分析和场论基础,亥姆霍兹定理,标量场和矢量场,标量场的梯度,矢量场的环量和旋度,矢量场的通量和散度,三种特殊形式的场,矢量和标量,电磁学中的各种物理量可分为两类 标量 矢量标量（Scalar）：选定单位后仅用一个数值就可以表示其大小的物理量，称为标量，如电位、能量等矢量（Vector）：不仅有大小，还有方向的物理量，称为矢量，如电磁力、电场强度、磁感应强度等 矢量在印刷体中常用黑体字，如 A,0.1 矢量及运算,1、矢量的表示方法,单位矢量：长度为一个单位的矢量称为单位矢量。,在正交坐标系，矢量可以用坐标来表示。,2、矢量运算,矢量标积(点乘):,在直角坐标系中，其解析式为,矢量矢
2、积(叉乘):,在直角坐标系中，其解析式为,0.2 标量场和矢量场,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量。,例如，在直角坐标系下，,标量场,如温度场，电位场，高度场等；,矢量场,如流速场，电场，涡流场等。,形象描绘场分布的工具场线,矢量场矢量线,标量场等值线(面),其方程为,其方程为,三维场,矢量线,等值线,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？,过点P等值面的法线方向n方向(垂直于等高线，斜率最大)梯度方向。,0.3 标量场的梯度,当，即 与 方向一致时，最大。,则有：,例1 高度场的梯度h=f(x,y),例2 电位场的梯度(金属球在正电荷产生的场中电场线)
3、,高度场的梯度,与过该点的等高线垂直；,数值等于该点位移的最大变化率；,指向地势升高的方向。,电位场的梯度,与过该点的等位线垂直；,指向电位增加的方向。,数值等于该点的最大方向导数；,2、梯度的物理意义,标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数;,梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。,梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数;,三维高度场的梯度,电位场的梯度,0.4 矢量场的通量与散度,1、通量,通量：矢量 E 沿有向曲面S 的面积分,0(有正源),0(有负源),=0(无源),矢量场的通量,矢量场的通量,若S 为闭合曲面，
4、可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质：,2、散度,如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时，通量与体积之比的极限存在，即,3、散度的物理意义,散度代表矢量场的通量源的分布特性。,A=0(无源）,A=0(负源),A=0(正源),在矢量场中，若 A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。,矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；,4、高斯(Gauss)公式(散度定理),高斯公式,该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。,矢量函数的面积分与体积分的互换。,散度定理,由于 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分
5、后，为穿出闭合面S的通量,0.5 矢量场的环量与旋度,1、环量,该环量表示绕线旋转趋势的大小。,水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动,流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源,环量的计算,2、旋度,(1)环量密度,过点P作一微小曲面S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋法则。当S点P时，存在极限,环量密度,取不同的路径，其环量密度不同。,(2)旋度最大环量密度,旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。,旋度(curl),它与环量密度的关系为,在直角坐标系下,3、旋度的物理意义,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,点P的旋度的大小是该点环量密度
6、的最大值。,在矢量场中，若A=J0，称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；,点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。,4、斯托克斯(Stockes)定理,A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为,Stockes定理,在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。,矢量函数的线积分与面积分的互换。,该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系,若矢量场处处A=0，称之为无旋场。,斯托克斯定理,0.6 亥姆霍兹定理,亥姆霍兹定理(Helmholtz Theorem)：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地
7、确定。,例：判断矢量场的性质,=0,=0,=0,0,0,=0,0.7 三种特殊形式的场,1.平行平面场：如果在一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。,2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(r,)，则称这个场为轴对称场。,3.球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即 F=f(r)，则称这个场为球面对称场。,算子(直角坐标系),一、哈密(尔)顿算子,3 算子“”作用于矢量函数,为标量函数,为矢量函数,二、拉普拉斯算子,1 标量场的拉普拉斯运算,定义：,直角体系,2 矢量场的拉普拉斯运算,定义：,直角体系,有关矢量运算的性质及恒等式参考附录二,
