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1、第五章 矩阵特征问题的求解,1 引言,定义1 设矩阵A,BR nn，若有可逆阵P，使 则称A与B相似。,定理1 若矩阵A,BR nn且相似，则（1）A与B的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。,定理2：设AR nn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关,其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。,的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为,对角阵，即有可逆阵P，使,定理3：AR nn，1,n为A的特征值，则,（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即,（1）A的迹数等于特征值之和，即,定理4 设AR nn为对称矩阵，其特征值12n，则,（1）对任意
2、AR n，x0，,（2）,（3）,定理5（Gerschgorin圆盘定理）设AR nn，则,表示以aii为中心，以 半径为的复平面上的n个圆盘。,（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余,（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，,n m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。,2 乘幂法与反幂法,5.2.1 乘幂法,定理6 设A Rnn有完全特征向量系，若1,2,n为A的n个特征值且满足,对任取初始向量x(0)Rn，对乘幂公式,确定的迭代序列xk，有下述结论：,（1）当 时，对i=1,2,n,收敛速度取决于 的程度，r 1收敛快，r 1收敛慢，,且x(k)（当k充分大时）
3、为相应于1的特征向量的近似值。,（2）当 时,a）若1=2，则主特征值1及相应特征向量的求法同（1）；,收敛速度取决于 的程度。向量、,c）若，则连续迭代两次，计算出x(k+1)，x(k+2)，,分别为主特征值1、2相应的特征向量的近似值。,然后对j=1,2,n 解方程,b）若1=-2，对i=1,2,n,求出、后，由公式,解出主特征值1、2。此时收敛速度取决于 的程度。,向量、分别为相应于1，2,的特征向量的近似值。,规范化乘幂法,令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使,则,max(x)=xi,对任取初始向量x(0)，记,则,一般地，若已知x(k)，称公式,定理7 设A
4、Rnn具有完全特征向量系，1,2,n为A,则对任初始向量x(0)，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列,(1),（2）y(k)为相应于主特征值1的特征向量近似值,的n个特征值，且满足,y(k)，x(k)满足,原点位移法,希望|2/1|越小越好。,不妨设 1 2 n，且|2|n|。,取0（常数），用矩阵B=A-0I 来代替A进行乘幂迭代。,(i=1,2,n),设i(i=1,2,n)为矩阵B 的特征值，则B与A特征值之间,应有关系式：,关于矩阵B的乘幂公式为,为加快收敛速度，适当选择参数0，使,达到最小值。,当i(i=1,2,n)为实数，且12 n时，取,则为(0)的极小值点。这时,反幂法,如何计算
5、,解线性方程组,对应同样一组特征向量。,设ARnn可逆，则无零特征值，由,有,规范化反幂法公式为,如果考虑到利用原点移位加速的反幂法，则记B=A-0I，,对任取初始向量x(0)Rn，,5.3 子空间迭代法,斯密特（Schmidt）正交化过程：,设1，2，3 为R3上的三个线性无关的向量，,令，则1为单位长度的向量，再令,可以验证（1,2）=0，即1与2正交。若令,则,即与1,2正交，将其单位化为,于是向量组1,2,3构成R3上一组标准正交基，且,其中Q=1,2,3为正交矩阵，R是上三角阵。,对n维向量空间，设1,n为Rn上n个线性无关的向量，,类似有,即,Q为正交阵，R 为上三角阵,将n个线性
6、无关向量变换为n个两两正交向量的方法称为,斯密特正交化方法。,斯密特正交化过程将可逆阵A分解为正交阵与上三角阵的乘积。,5.4 对称矩阵的雅克比(Jacobi)旋转法,1预备知识,1）若B是上（或下）三角阵或对角阵，,则B的主对角元素即是B的特征值。,2）若矩阵P满足PTP=I，则称P为正交矩阵。,显然PT=P-1，且P1,P2,是正交阵时，,其乘积P=P1P2Pk仍为正交矩阵。,3）称矩阵,为旋转矩阵,2雅克比方法,设矩阵ARnn是对称矩阵，记A0=A，对A作一系列旋转相似变换,其中Ak(k=1,2,)仍是对称矩阵，Pk的形式,Pk是一个正交阵，我们称它是（i,j）平面上的旋转矩阵,PkAk-1Pk只改变A的第i行、j行、i列、j列的元素；,Ak和Ak-1的元素仅在第P行（列）和第q行（列）不同，,它们之间有如下的关系：,我们选取Pk，使得，因此需使 满足,将 限制在下列范围内,如果,直接从三角函数关系式计算sin 和cos，记,则,当 时，有下面三角恒等式：,于是,采用下面公式计算 sin,特征向量的计算,P0=I,记,则,Pk 的元素为：,算法：,1从A(k-1)中找出绝对值最大元素,2若，则为对角阵，停,若,（1）令,（3）,（4）,（5）计算特征向量,P0=I,
