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1、矩阵理论-第二讲,兰州大学信息科学与工程学院2004年,回顾与复习,矩阵理论的应用背景；矩阵、数域、映射、直积集、代数运算、集合对运算封闭、矩阵运算、负矩阵、零矩阵、方阵、对角阵、单位阵、转置矩阵、分块矩阵、分块矩阵的相等、伴随矩阵（adjoint matrix,NOT adjacent matrix）、逆矩阵、逆的性质、矩阵的秩、秩的性质等矩阵运算：矩阵加法、矩阵减法、数乘矩阵、矩阵乘法、方阵的幂线性空间：非空集定义了加法，满足4条有关加法的规律（加法交换群）；定义了数乘，满足4条有关数乘的规律；,回顾与复习（Continue）,线性映射（线性算子、线性变换）同一数域上的线性空间到线性空间的
2、映射线性泛函线性空间到数域的映射线性子空间非空子集、加法与数乘的定义与原空间相同子空间的维数不超过其全空间的维数子空间的维数=生成元（列向量）构成的矩阵（向量组）的秩,回顾与复习（Continue）,单独一个就已经线性相关了，所以规定零子空间的维数为0，并且规定它的基为空集,X是线性子空间，集合 是子空间，当 时，是由x生成的一维子空间,Y,X,Z,b,a,c,回顾与复习（Continue）,Y,X,Z,不相关,回顾与复习（Continue）,线性方程组解的结构齐次非齐次,回顾与复习（Continue）,方阵的特征值与特征向量特征矩阵,回顾与复习（Continue）,特征多项式特征方程,特征值
3、与特征向量（Continue）,特征值的代数重数若 是 的k重特征值，则称的代数重数为k特征值的几何重数 的解空间称为A的属于特征值的特征子空间，记为。特征子空间的维数 称为A的特征值的几何重数特征值的几何重数不超过它的代数重数：若 是 的k重特征值，则,特征值与特征向量（Continue）,矩阵的多项式设 f()是 的多项式：运算结果是一个数对，定义 为矩阵A的多项式：运算结果是一个 上的矩阵矩阵的多项式的特征值和特征向量若 是 的特征值，是A的属于的特征向量，那么x也是 的属于特征值 的特征向量：,(对A的任一特征值）,特征值与特征向量（Continue）,证明:由方阵的幂的定义，有那么如
4、果,特征值与特征向量（Continue）,属于不同特征值的线性无关的特征向量组，组合起来仍线性无关设 是 的互异特征值，是分别与 对应的 个线性无关的特征向量，则线性无关推论：属于不同特征值的特征向量必线性无关证明：对特征值的个数用归纳法。当k=1时，显然成立。设 时成立，需要证明k=m时也成立。,特征值与特征向量（Continue）,为此，设有F上的常数：使得：用 乘以上式两边：用A左乘（1）式两端，并注意到：又有(2)式与(3)式相减,(1),(2),(3),特征值与特征向量（Continue）,即：又因为 互异，故：将上式代入(1)式，得即k=m时，定理也成立,的线性无关的特征向量,特征
5、值与特征向量（Continue）,方阵的迹设，定义为方阵A的迹定理 有且仅有n个特征值，且若 是A的n个特征值，则 的特征值是，而 的特征值为,特征值与特征向量（Continue）,证明对A的阶数用归纳法。A的阶数为1时，定理成立。设A的阶数为n 1时定理成立，需要证明A的阶数为n时，定理也成立。由行列式的性质,特征值与特征向量（Continue）,特征值与特征向量（Continue）,特征值与特征向量（Continue）,上式中再令上式中 0，则又因为 是 的n个根，所以比较上式中 的系数和常数项：,特征值与特征向量（Continue）,由上式可以立即得到两条推论：满秩 A的所有的特征值都异
6、于零对，0是A的特征值,证明 也是 的特征值,证明 是 的特征值：,特征值与特征向量（Continue）,用数学归纳法证明,方阵乘积的迹,定理设，则证明：设，则AB的对角线元素为而BA的对角线元素为于是改变求和顺序,方阵的相似,方阵相似的定义设，若 使得则称A与B相似，记作相似矩阵的性质自反性对称性传递性，保秩性行列式相等矩阵函数相似特征多项式、特征值相同,方阵的相似（Continue）,设因为，所以 使得那么,方阵的对角化,方阵可对角化的定义对，若，则称方阵A可对角化问题：如何判定一个方阵可对角化？可对角化的方阵如何实现可对角化？方阵可对角化的充要条件 可对角化 A有n个特征值，且每个特征值
7、的几何重数等于其代数重数证明：（充分性）设 有n个特征值：,方阵的对角化,方阵可对角化的定义对，若，则称方阵A可对角化问题：如何判定一个方阵可对角化？可对角化的方阵如何实现可对角化？方阵可对角化的充要条件 可对角化 A有n个特征值，且每个特征值的几何重数等于其代数重数，即：,方阵的对角化（Continue）,可对角化方阵的对角化方法由 的基构成的矩阵可使证明：先证充分性。设 有n个特征值：且,方阵的对角化（Continue）,为 的基，因 互异，根据“属于不同特征值的线性无关的特征向量组，组合起来仍线性无关”，A的n个特征向量线性无关，因此注意到于是,方阵的对角化（Continue）,于是,r
8、1列,r1行,方阵的对角化（Continue）,再证必要性，即 可对角化 A有n个特征值且每个特征值的几何重数等于其代数重数。不失一般性，设A相似于F上的一个n阶对角阵根据相似的定义，使得上式右边的对角阵以 为其 重特征值，“相似方阵有相同的特征值”，所以，A有n个特征值：下证,方阵的对角化（Continue）,对T的n个列向量进行如下编号：那么比较上式两边矩阵的列向量，可得,方阵的对角化（Continue）,由线性无关。“一组向量线性无关，则其一部分也线性无关”也线性无关。“线性无关向量的最大个数不超过其所在空间的维数”又由“特征值的几何重数不超过它的代数重数”综合上两式推论1：若 有n个互
9、异的特征值，则A可对角化推论2：若 的特征值都是单重的，则A可对角化,方阵的对角化（Continue）,例：下列矩阵能否对角化？对可对角化的矩阵，求其相似变换矩阵和相应的对角阵,方阵的对角化（Continue）,方阵的对角化（Continue）,方阵的对角化（Continue）,此矩阵不能对角化！,方阵的对角化（Continue）,对角阵的应用：乘积、幂、求逆和求特征值都比较简洁求幂：，求,方阵的对角化（Continue）,求解线性微分方程组：写成矩阵形式：令,方阵的对角化（Continue）,那么,Jordan标准形,方阵化为对角形是有条件的退一步，如果一个方阵不能被化为对角形，能否降低要求
10、，化为一个分块对角形？在实数域内，此问题的答案是肯定的，分块对角形就是所谓的Jordan标准形。定义Jordan块称形如的矩阵为 阶Jordan块,Jordan标准形（Continue）,Jordan矩阵由若干个Jordan块构成的分块对角矩阵为Jordan矩阵Jordan块与对角形的差别仅在其上对角线：1：Jordan;0：Diagonal有的教科书上定义下对角线全为1的、其余元素为0的下三角阵为Jordan块，它们之间是转置关系Jordan块本身就是一个分块数为1的Jordan矩阵对角阵是一个特殊的Jordan矩阵：其每个Jordan块都是1阶的,Jordan标准形（Continue）,注意：Jordan矩阵上对角线并不全是1,Jordan标准形（Continue）,方阵A与Jordan矩阵相似的基本定理设，则A与一个Jordan矩阵J相似。即，使得对此Jordan矩阵J，除其Jordan块的排列次序外，由A唯一确定，称J为A的Jordan标准形注意：A的Jordan标准形的主对角线元素就是A的特征值在Jordan标准形中，不同Jordan块的主对角线元素可能相同，因此，不能通过Jordan块的阶数，判断此Jordan块对应的特征值的代数重数。,
