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1、1,第一章 命题逻辑,1-8 推理理论授课人：李朔Email:chn.nj.lS,2,在数学和其它自然科学中，经常要考虑从某些前提A1、A2、An出发，能推导出什么结论。数理逻辑的主要任务是用逻辑的方法研究数学中的推理。所谓推理是指从前提出发，应用推理规则推出结论的思维过程。任何一个推理都由前提和结论两部分组成。前提就是推理所根据的已知命题，结论则是从前提出发通过推理而得到的新命题。要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的,3,一、有效推理,假设一些命题为，并使用一些公认的规则，得到另外的命题，形成结论，这种过程就是论证。定义1-8.1 设A和C是2个命题公式，当且仅当AC为一重言
2、式，即AC，则称C为A的有效结论。或C可由A逻辑的推出。A叫做C的前提。上述定义可以推广到n个前提的情况：设H1，H2，Hn,C是n+1个命题公式,当且仅当 H1H2HnC，称C是一组前提H1，H2，Hn 的有效结论。*判断有效结论的过程就是论证过程，基本方法是真值表法、直接证法、间接证法。,4,二、真值表法,由定义1-8.1可以看出，要证明C是一组前提H1，H2，Hn 的有效结论，只需证明H1H2HnC为重言式。而证明一个公式为重言式，可以用真值表、等值演算、主析(合)取范式或已知的蕴含式等方法进行。用等价演算和主析(合)取范式证明重言式的方法前面已经讨论过了，我们已经非常熟悉了。这里仅对真
3、值表法作简单说明。（1）真值表法设P1，P2，Pn出现于前提H1，H2，Hm 和结论C的全部命题变元，假定对P1，P2，Pn作了全部的真值指派，这样就能对应地确定H1，H2，Hn 和C的所有真值，列出这个真值表，即可看出 H1H2HmC 是否成立即找出H1，H2，Hm 均为的行，对于每一个这样的行，若C也为,则上式成立。或C为，H1，H2，Hm 中起码有一个为,5,二、真值表法,例：分析事实：“如果我有时间，那么我就去上街；如果我上街，那么我就去书店买书；但我没有去书店买书，所以我没有时间。”。试指出这个推理前提和结论，并证明结论是前提的有效结论。解：令：我有时间。：我去上街。：我去书店买书。
4、根据题意，前提为：，结论为：以下证明是一组前提,的有效结论。即证明：(PQ)(QR)RP,6,二、真值表法,作公式PQ，QR，R，P的真值表从表中可以看出:PQ，QR，R都为1的行(赋值000的行)，P也为1。(或P为0的行(赋值100，101，110，111的行)PQ，QR，R至少有一个为0）所以(PQ)(QR)RP,7,三、命题逻辑的推理理论,当推理中包含的命题变元较多时，真值表法或等值演算法，主析取范式法等方法的演算量太大。给推理带来了困难。为此引入命题逻辑的推理理论。命题逻辑的推理是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每个命题公式或者是已知前提，或者是由某些前提应用推理规则得到的结论
5、(中间结论或推理中的结论)。它有两种方法：直接证法（直接推理）和间接证法（间接推理）。,8,直接证法（直接推理）,直接证法（直接推理）基本思想是：由一组前提出发，利用一些公认的规则，根据已知的等价式或蕴含式，推演得到有效结论。公认的推理规则有4条：P规则：前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用。T规则：推导中，如果一个或多个公式蕴含着公式S，则公式S可以引入到以后的推理之中。置换规则：在推导过程的任何步骤上，命题公式中的子 公式都可以用与之等价的公式置换。(等价式表）合取引入规则：任意两个命题公式A,B可以推出AB常用的蕴含式和等价式见P43表1-8.3表1-8.4,9,直接证法（直接推理）
6、,例题：用直接推理法证明()()()证法1:(1)P-(P规则，引入前提)(2)Q T(1)E-(对(1)式T规则,根据E16蕴含等值式)(3)P-(P规则，引入前提)(4)T(2),(3)I-(对(2),(3)式规则，根据I13 假言三 段论)(5)SP T(4)E-(对()式T规则,根据E16蕴含等值式)(6)P-(P规则，引入前提)(7)SR T(5),(6)I(对(5),(6)式规则，根据I13 假言三段 论)(8)T(7)E-(对(7)式T规则,根据E16蕴含等值式),10,直接证法（直接推理）,证法2:(1)P(2)R T(1)I(3)P(4)R SR T(3)I(5)SR T(2
7、)(4)I(6)P(7)T(5),(6)I,11,直接证法（直接推理）,用直接推理法证明(PQ)(QR)PR 证明：PQP P P Q T I 假言推理(I11)QR P R T I 假言推理(I11),12,间接证法（间接推理）,定义1-8.2假设公式H1，H2，Hm中的命题变元P1，P2，Pn，对于P1，P2，Pn的一些真值指派，如果能使H1H2Hm的真值为，则称公式H1，H2，Hm是相容的。如果对于P1，P2，Pn的每一组真值指派，使H1H2Hm的真值均为，则称公式H1，H2，Hm是不相容的。,13,间接证法（间接推理）,将不相容的概念应用于命题公式的证明(归谬法)设有一组前提H1，H2
8、，Hn，要推出结论C，即要证 H1H2Hn C，令 SH1H2Hn 则上式可以简记为 SC由永真蕴含的定义有 1SCSC两边否定0SC H1H2HnC即要证明C是前提H1，H2，Hn的有效结论，只须证明 H1H2HnC0(即H1，H2，Hn 与 C不相容）这种间接推理方法称为归谬法,14,间接证法（间接推理）,例题证明，(C)可逻辑推出。证明：(1)P(2)P(附加前提）(3)(C)P(4)C T(3)E(E9德摩根律)(5)B T(1),(2)I(I11假言推理)(6)T(4)I(I1简化式)(7)(矛盾）T(5),(6)I(I1合取引入规则),15,间接证法（间接推理）,CP规则间接证法的
9、另一种情况：要证H1H2Hn()。设SH1H2Hn，则上式可以简记为 S(AB)由永真蕴含的定义有 1S()S()(SR)C(SR)C(SR)C H1H2HnRC即 H1H2HnRC 所以，要证明H1H2Hn(RC)，只需证明H1H2HnRC，其中R叫做附加前提。*这种间接推理方法称为CP规则。,16,间接证法（间接推理）,例题证明()，,B重言蕴含证明：(1)D P(附加前提）(2)P(3)T(1)(2)I 析取三断论(4)()P(5)T(3),(4)I(I11假言推理)(6)P(7)T(5),(6)I(I11假言推理)(8)D CP,17,间接证法（间接推理）,例 用CP规则证明：P(QR
10、)，TP，QTR 证明：T P(附加前提)TP P P T 析取三段论 P(QR)P QR T 假言推理 Q P R T 假言推理 TR CP规则,18,间接证法（间接推理）,例试构造下面推理的证明。如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；小赵不去看电影或小张去看电影；小王去看电影。所以，当小赵去看电影时，小李也去看电影。解：（.将简单命题符号化)设 P:小张去看电影。Q:小王去看电影。R:小李去看电影。S:小赵去看电影。(2.找出前题与结论。)前提：(PQ)R,SP,Q，结论：SR）,19,间接证法（间接推理）,故本题即要证明：(PQ)R,SP,Q推出SR 证明：(.用CP规则证明)(1)
11、S P(附加前提引入)(2)SP P(3)P T(1)(2)I(析取三段论)(4)(PQ)R P(5)Q P(6)PQ T(3)(5)I(合取引入规则）(7)R T(4)(6)I(假言推理)(8)SR CP,20,间接证法（间接推理）,例 构造下面推理的证明。如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A队未取胜，或者A队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一名；小张守第一垒。因此，小李没有向B队投球。解:设 P:小张守第一垒。Q:小李向B队投球。R:A队取胜。S:A队获得联赛第一名。,21,间接证法（间接推理）,前提：(PQ)R,RS,S,P 结论：Q 证明：(用归谬法)(1)Q
12、P(附加前提）(2)RS(3)S(4)R T(2)(3)I(析取三段论)(5)(PQ)R P(6)(PQ)T(4)(5)I(拒取式)(7)PQ T(6)E(德摩根律，置换）(8)P P(9)Q T(7)(8)I(析取三段论(10)QQ（矛盾）(1)(9)I(合取引入规则）,22,本课小结,有效推理真值表法论证命题逻辑的推理理论直接证法，间接证法（归缪法、规则）,23,课后作业,通读书本本节例题P47(2)a,c,e(3)a,b补充:构造下面推理的证明 以下前提已经成立:(1)甲或乙作的案(2)如果甲作的案,作案时间应在午夜后(3)若乙证词正确,则午夜灯光未灭(4)若乙证词不正确,则作案时间不在午夜之后(5)午夜灯光灭了 结论:乙作的案令A:甲做的案 B:乙做的案 C:作案时间在午夜前 D:乙证词正确 E:午夜灯光未灭,
