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1、空间向量的正交 分解及其坐标表示,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐标表示,复习：,在空间中，能得出类似的结论:,任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,一、空间向量基本定理：,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使,都叫做基向量,（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,注：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面，还应明确：,（2）由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。,（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
2、,由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组 x,y,z使得 我们称 为向量 在 上的分向量。,这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解.,二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标,x,y,z,O,A(x,y,z),e1,e2,e3,空间向量的坐标：,给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使 p=xe1+ye2+ze3 有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)其中x是点A的横坐标，y是点A的纵坐标，z是点A的竖坐标.,已知空间四边形OABC，
3、其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.,空间向量基本定理的考查,例1,练习在空间坐标系o-xyz中，(分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为。,空间直角坐标的考查,空间向量运算的坐标表示,则,设,一、向量的直角坐标运算,若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则,空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.,二、距离与夹角的坐标表示,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,在空间直角坐标系中，已知、，则,（2）空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,注意：（1）当 时，同向；（2）当 时，反向；（3）当 时，。,解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则,例1如图,在正方体中，求与所成的角的余弦值.,证明:,设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系,小结：1、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。,
