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1、3.2立体几何中的向量方法（1）,起点,终点,类似于平面向量,为了研究的,方便起见,我们规定,:,零向量,、,单位向量,、,相等向量,、,相反向量,等概念.,你认为应,该,怎,样,规,定,?,）,的相反向量，记为：,（,O,A,B,2.空间向量加法、减法与数乘向量运算：,a+b,a,a-b,3.空间向量加法与数乘向量运算律,加法交换律：,a+b=b+a；,加法结合律：,(a+b)+c=a+(b+c)；,数乘分配律：,(a+b)=a+b.,a,b,c,a+b+c,a,b,c,a+b+c,a+b,b+c,(a)()a,数乘结合律：,对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明：,空间向量的运算就是平面向
2、量运算的推广,两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立,空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加,1.共线向量定理,共线向量（平行向量）：,表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合。,共线向量定理：,共线向量定理的应用：,1、证明三点共线,2、证明两直线平行,二、共线向量与共面向量,2.共面向量定理,共面向量定理：,共面向量：,平行于同一平面的向量。,共面向量定理的应用：,1、证明四点共面,2、证明线面平行,1)两个向量的夹角的定义:,新课引入,2）两个向量的数量积,注:两个向量的数量积是数量，而不是向量.规定:零向量与任意向量的数量积等于零.,A1,B1,B,A,(3)空间两个向量的数
3、量积性质,性质 是证明两向量垂直的依据；性质是求向量的长度（模）的依据；性质是求向量夹角的依据.,注：,分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.,例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m,n是平面 内的两条相交直线,如果 m,n,求证:.,m,n,例3:已知直线m,n是平面 内的两条相交直线,如果 m,n,求证:.,(4)空间向量的数量积满足的运算律,(5)空间向量基本定理,特别地，若 x+y+z=1，则 P、A、B、C 四点共面.,(6)空间直角坐标系,单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂
4、直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示,单位向量三个基向量的长度都为1；正交向量三个基向量互相垂直,有序实数组 叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，简记为a,空间中相等的向量其坐标是相同的,a i j k,2.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使,(7)向量的直角坐标运算,向量的直角坐标运算：设a，b，则,ab；,ab；,a；,ab.,证明方法：与平面向量一样，将a i j k 和 b i j k 代入即可,证明(4):,2.类似于平面向量坐标运算可得：设a，b=则,a/b ab,ab ab=0,利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式,在空间直角坐标系中，,设A，B，则,即,例2.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E1，F1分别是,解：不妨设正方体的棱长为，,建立空间直角坐标系Dxyz如图，,A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1与所成的角的余弦值.,则,
