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1、（等腰三角形的判定定理和性质定理）,11.5 几何证明举例,学习目标：1、进一步学习几何证明的思路和步骤；2、牢固掌握等腰三角形的判定定理和性质定理，并能够熟练地应用。,重点：等腰三角形的判定定理和性质定理的 应用.,难点：等腰三角形的判定定理和性质定理的 证明.,复习引入,1、判定三角形全等的方法有哪些？,ASA,AAS,SAS,SSS,HL,复习引入,2、等腰三角形的定义是怎样的？(怎样判定一个三角形是等腰三角形?）,（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形,（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形,复习引入,（1）等腰三角形的两腰相等；,3、等腰三角形有哪些性质？,(2)等腰三角形的两个底角
2、相等,（简称“等边对等角”）；,(3)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。（简称“三线合一”）,(4)等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴。,A,B,C,如图，已知在ABC中，B=C，则AB=AC，为什么？,一、等腰三角形的判定,问题探究,证明:,过A点作ADBC,垂足为D.,A,B,C,D,ADBCADB=ADC=900在RtADB和RtADC中 ADBADC BC ADADADBADC(AAS)ABAC,方法一,如图，已知在ABC中，B=C，则AB=AC，为什么？,已知：在ABC中，BC求证：ABAC,1,D,2,作BAC的角平分线与BC相交与点D
3、,方法二,结论:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(等角对等边),如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。,用几何语言表示为：,在ABC中，,B=C(已知),AB=AC.,(在一个三角形中，等角对等边),简单地说，在同一个三角形中,等角对等边。,等腰三角形的判定定理,归纳结论,如图所示，量出AC的长，就可知道河的宽度AB。你知道为什么吗？,30,60,B,A,C,D,跟踪训练1,解：DAC=C+ABC（三角形外角的性质）,ABC=DAC-C=60-30=30,ABC=C,AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）,即AC的长就是河宽。,跟踪训练1,等腰三角
4、形的两个底角相等。,已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C,分析：1.如何证明两个角相等？,2.如何构造两个全等的 三角形？,二、等腰三角形的性质,问题探究,则有1 2,D,1,2,在ABD和ACD中,证明:作顶角的平分线AD，,ABAC,12,ADAD,（公共边）,ABD ACD,（SAS）,BC,（全等三角形对应角相等）,方法一,作顶角的平分线,则有 BD CD,D,在ABD和ACD中,证明:作ABC 的中线AD,ABAC,BDCD,ADAD,（公共边）,ABD ACD,（SSS）,BC,（全等三角形对应角相等）,方法二,作底边中线,则有 ADBADC 90,D,在RtABD和RtACD
5、中,证明:作ABC 的高线AD,ABAC,ADAD,（公共边）,RtABDRtACD,（HL）,BC,（全等三角形对应角相等）,方法三,作底边的高线,归纳结论,等腰三角形的两个底角相等。,(等边对等角),用符号语言表示为：,在ABC中，AC=AB（已知）B=C（等边对等角）,等腰三角形的性质1:,等腰三角形的性质2:,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合.,简称“等腰三角形三线合一”,归纳结论,(等腰三角形三线合一),等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合,用符号语言表示为：,在ABC中，AB=AC,点 D在BC上1、AD BC=，=。2、AD是中线，=
6、。3、AD是角平分线，=。,1,2,BD,CD,AD,BC,1,2,AD,BC,BD,CD,等腰三角形的性质2:,如何知道横梁是否水平?,当重锤线经过等腰三角尺底边中点时，横梁就是水平的。为什么？,跟踪训练2,如何知道横梁是否水平?,因为图中的三角尺是等腰三角形.当重锤线经过三角尺斜边的中点时，重锤线与底边上的高叠合（等腰三角形三线合一），即三角尺的斜边与重锤线垂直，所以三角尺的斜边与横梁是水平的。,当重锤线经过等腰三角尺底边中点时，横梁就是水平的。为什么？,跟踪训练2,1、ABC中，ABAC，D是BC边上的中点，DFAC于F，DE AB 于E.求证：DEDF。,当堂检测,小试身手,A,B,C
7、,D,E,1,2,2、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。,当堂检测,小试身手,1：ABC中，ABAC，D是BC边上的中点，DFAC于F,DEAB于E.求证：DEDF。,当堂检测,证明：DEAB，DFAC（已知）BEDCFD 又D是BC中点（已知）BDDC ABAC（已知）BC（等边对等角）,在DBE与DCF中DEBDFC（已证）BC（已证）BDDC（已证）BDE CDF（AAS）DEDF,如图，CAE是ABC的外角，1=2，ADBC。,求证：AB=AC,分析：,要证AB=AC，需证B=C，,从已知看：因为1=2，ADBC可以找出B与C的关系。,已知
8、：,当堂检测,2、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。,证明：,ADBC，,1=B（两直线平行，同位角相等），,2=C（两直线平行，内错角相等）。,1=2，,B=C，,AB=AC（等边对等角）。,当堂检测,已知：如图，1=2，3=4，DEBC;求证：DE=DB+EC。,A,B,D,C,E,F,1,2,3,4,拓展提升,已知：如图，1=2，3=4，DEBC;求证：DE=DB+EC。,A,B,D,C,E,F,1,2,3,4,证明：DEBC2=DFB,3=EFC又1=2，3=41=DFB，4=EFCDF=BD,EF=EC又DE=DF+EFDE=DB+EC,拓展提升,硕果累累,一路下来，我们学习了很多知识，也有了很多的新想法。你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大家一起来分享。,如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。,等腰三角形的性质定理1:,等腰三角形的判定定理,等腰三角形的性质定理2:,等腰三角形的两个底角相等。,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合.,作业,A组：课本136页7、8题B组：课本136页9题,
