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1、一 元二次型与对称矩阵,二 二次型与对称矩阵的标准形,三 二次型与对称矩阵的有定性,第六章二次型,一、元二次型的概念,1、二次型及其矩阵,的二次齐次多项式,定义5.1 含有个变量,称为二次型,或记为,注,当常数项为实数时，称为实二次型；,当常数项为复数时，称为复二次型,定义,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形,定义,特别地，称,为二次型的规范形,、二次型的矩阵表示,、二次型的和式表示,则二次型,其中矩阵为对称矩阵.,令,任一二次型,对称矩阵,任一对称矩阵,二次型,一一对应,称为对称矩阵的二次型；,称为二次型的矩阵；,对称矩阵的秩称为二次型的秩,3）复数域上的元二次型,例1）实数域上的元二
2、次型,2）实数域上的元二次型,练习写出下列二次型的对称矩阵,(二)线性变换,定义5.2 关系式,称为由变量,到变量,的一个线性变量替换,简称,线性替换,矩阵,线性替换的矩阵.,时称该线性替换为,非退化的线性替换.以上线性替换可以表示为,即线性替换是非退化的,则,代入二次型xTAx,则,其中B=CTAC为对称矩阵.,因此yTBy是以B为矩阵的n元二次型,例题 将以下二次型化为标准形,定义,设,为阶方阵，若存在阶可逆阵，,则称合同于,记为,反身性,对称性,传递性,性质,合同矩阵具有相同的秩.,与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵.,等价,使得,5.2二次型与对称矩阵的标准形,(一)用配方的法化二次型为标准形,定理5.1 任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形.,5.2二次型与对称矩阵的标准形,(一)用配方的法化二次型为标准形,定理5.1 任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形.,例题,定理5.2 对任意一个对称矩阵A,存在一个非奇异矩阵C,使得CTAC为对角形.即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同.,例题,(三)用正交替换法化二次型为标准形.,定理5.3 任何一个二次型,一定存在正交矩阵Q,使得经过正交替换,把它化为标准形,其中,是矩阵A的全部特征值.,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,例2,例3,
