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1、第二章 线性时不变系统的时域分析,学习目标：(1)正确理解零输入响应、零状态响应、冲激响应和阶跃响应的基本概念；(2)能应用不同的方法求解零状态响应和冲激响应；(3)掌握用冲激响应卷积求解零状态响应的原理和方法(4)掌握用冲激响应表征系统的基本特性。,基本内容：（1）系统的定义及表示（2）系统的基本性质（3）线性时不变系统的时域描述（4）零输入响应和零状态响应（5）单位冲激响应,重点难点：（1）零状态响应的求解方法；（2）冲激响应的求解方法；,一、系统的定义及表示,系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换器、处理器。系统模型：系统物理特性的数学抽象。系统的表示方法（1）数学表达式：系统物理
2、特性的数学抽象。（2）系统框图：形象地表示其功能。,数学表达式：微分方程和差分方程,常用的系统描述方法是数学方程，包括有用于连续系统的微分方程和用于离散系统的从差分方程。列写系统的数学方程有两条基本依据：（1）系统内部元器件或子系统的连接关系（拓扑约束）；（2）另一条是元器件或子系统的电气特性（性能约束）。,系统的框图表示法,框图法就是用一个方框来表示一个系统或子系统，而方框中的符号表示输入和输出之间的关系:,系统分类,线性系统和非线性系统时不变系统和时变系统因果系统和非因果系统稳定系统和不稳定系统我们主要讨论线性时不变系统。,二、系统的基本性质,系统的基本特性包括有线性、时不变性、因果性和稳
3、定性等。1.线性如果系统的输入和输出之间满足叠加性和比例性，则该系统就是线性系统。叠加性 比例性线性系统,例1-17例1-20,2.时不变性,时不变性的含义是，如果系统的输入在时间上有一个平移 t0，则由其引起的响应也产生一个同样的平移.,例1-14例1-16,3.因果性,如果一个系统在任何时刻的输出只与系统当前时刻的输入和过去的输入有关，而与系统未来的输入无关，则这个系统就是因果系统。例1-12,4.稳定性,有界输入产生有界输出，则这个系统就是稳定系统。所谓有界，即输入或输出的最大幅值是一个有限值。例系统 yn=nxn 就是一个不稳定系统，因为，当输入 xn 是有界时，系统的输出却有界，它将
4、随着 n 值的增加而增加，直至无穷。,三、线性时不变系统的时域描述,线性时不变系统也简称为LTI系统，其分析方法建立在信号分解的基础之上。线性时不变系统具有的线性和时不变性，其响应必然是系统对这些基本信号响应的组合。连续时间LTI系统用微分方程描述；离散时间LTI系统用差分方程描述。,1.连续时间LTI系统的微分方程及其求解,对连续时间LTI系统，如果 x(t)为输入，y(t)为输出，则描述输入和输出之间的微分方程为：,这个常系数线性微分方程，其完全解由齐次解和特解两部分组成。齐次解是微分方程在输入为0时的齐次方程的解（式2.111）而特解则是在输入的作用下满足微分方程式(2.109)的解。,
5、对于式(2.109)的微分方程，相应的齐次方程为特征方程为解此特征方程就可求得特征根。,根据特征根是单根、重根、共轭复根，齐次解的形式也有所不同，一般有三种情况。如果特征根 a1、a2、an 都是单根，则齐次解的形式为,如果在特征根中，是 k 重特征根 am，则与 am 相对应的齐次解为:,如果特征根中有共轭复根，则共轭复根所对应的齐次解为:在上述三种齐次解中，Ci 是待定系数，它的确定与特解有关。举例2.14,常见激励信号的特解形式,微分方程的特解与激励信号有关，根据不同的激励信号，特解也有不同的形式。几种常见的激励信号，特解的形式见表2.1所示。特解的求解过程一般是将表2.1中和激励信号相
6、对应、并具有待定系数 B 的特解代入微分方程后求出待定系数 B，这样也就求出了特解。,微分方程的齐次解和特解求出以后，其完全解的形式也就确定下来了。但是，完全解中的待定系数则需要由方程给定的初值来确定。为求得这些初值，我们将系统在激励信号加入前瞬间的状态定义为系统的起始状态，记为 y(k)(0-)；而将系统在激励信号加入后瞬间的状态定义为系统的初始状态，记为y(k)(0+)，确定系统完全响应所需要的初值是初始状态 y(k)(0+)，（系统的初始状态就是系统在 t=0+时刻的响应）。,微分方程的完全解、齐次解和特解是数学上的名词；在信号与系统的术语中，微分方程的解就是系统的响应。微分方程的完全解
7、称为完全响应齐次解称为自由响应（与激励信号无关）特解称为强迫响应（和激励信号有关）完全响应自由响应强迫响应,3.离散时间LTI系统的差分方程求解,（1）差分方程 离散系统的基本部件有移位器（也叫做延时器或延迟器）、相加器和倍乘器，这些基本部件常用以下框图来表示：,下图是一个简单的离散系统，它由一个延时器、一个相加器和一个倍乘器组成。根据图中各个部件的连接关系和各个部件的基本功能，写出该系统输入 xn 和输出 yn 之间的关系为：,一阶差分方程,N 阶离散系统的差分方程为：,离散系统差分方程的形式类似于连续系统的微分方程，只不过这里用差分信号替代了微分方程中的微分信号而已。（2）差分方程的求解
8、对于一阶差分方程式，如果输入信号 xn=dn，则输出信号 yn 将如何求得呢？,求解差分方程的方法有两种：（1）迭代法，也叫做递归法，这种方法易于用计算机求解，但不易给出一个闭式的解答。（2）经典法，这种方法完全可以按照微分方程的求解方式进行，其完全解也分为齐次解和特解两部分。例2.15,根据特征根的性质，差分方程的齐次解也有以下三种形式：,如果特征根 a1、a2、an 都是单根，则齐次解的形式为 如果在特征根中，am 是 K 重特征根，则齐次解中与 am 相对应的有 K 项，其形式为,如果特征根中有共轭复根，则共轭复根所对应的齐次解为,差分方程的特解形式:,4差分方程的应用,差分方程的应用主
9、要表现在两个方面：(1)描述本身就是离散系统的事件，如银行利率、股市行情、人口统计等；(2)用来仿真连续系统，也就是用一个离散系统来近似连续系统。举例：,y(t)与yn计算结果的比较,四、零输入响应和零状态响应,1起始状态对系统的影响 用线性方程 y(t)=a x(t)+b 来描述的系统可能不是一个线性系统！为什么？如果方程中没有常数项 b，则 y(t)=ax(t)所描述的系统就是一个线性系统。,将系统的响应分为两部分：（1）与激励信号无关，完全由某些“常数”决定；（2）完全由激励信号确定。结论：完全由激励信号确定的响应与激励信号之间就可能满足线性关系了。举例说明,如果系统的起始状态y(0)0
10、，则系统的输出 y(t)和系统的输入 x(t)之间就不满足线性和时不变性。然而，只要 y(0)=0，y(t)和 x(t)之间就能够满足线性和时不变的关系。,完全响应等于零输入响应加上零状态响应：,零输入响应：在激励信号 x(t)为0，或者不考虑激励信号的作用时，由系统起始状态 y(k)(0-)产生的响应；零状态响应：当系统起始状态 y(k)(0-)为0，或者不考虑系统的起始状态时，由激励信号 x(t)产生的响应。,重要意义：（1）零状态响应能够真实地反映系统特性；（2）系统的零状态响应可以用卷积的方法求解。,2零输入响应和零状态响应的求解,零输入响应的求解 零输入响应的解的形式应和微分方程齐次
11、解的形式相同，它应是微分方程齐次解中的一部分。如果一个 N 阶微分方程的 N 个特征根 ai 都是单根，则零输入响应 yzi(t)可写为：,待定系数 Ci 完全由系统的起始状态 y(k)(0-)确定,零状态响应的求解 齐次解中剩下的一部分将和特解一起组成系统的零状态响应。零状态响应有3种求解方法（1）零状态响应完全响应零输入响应；（2）利用系统从起始状态 y(k)(0-)到初始状态 y(k)(0+)的跳变量yD(k)(0)来求解系统的零状态响应；（3）卷积法,在特征根都是单根的情况下，零状态响应的形式为：零输入响应和零状态响应的概念同样适用于离散系统，而且，它们的求解方法也相同。,举例：已知
12、y(0-)=3/2，求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应和完全响应。,解：,自由响应：1/2e-3t 强迫响应：1零输入响应：零状态响应：完全响应：,五、单位冲激响应,单位冲激响应也简称为冲激响应，常用符号 h(t)或 h n 表示。单位冲激响应是系统在单位冲激信号激励下的零状态响应；或者说，是系统在零状态的条件下对单位冲激信号激励时的响应。,1.冲激响应的特点,冲激响应的形式和齐次解的形式相同，即冲激响应的特点：冲激响应由系统的特征根组成；冲激响应的形式与齐次解的形式相同；冲激响应中的待定系数由跳变量确定；冲激响应中可能含有冲激函数。,举例：对下面的方程所表示的系统求冲激响应 解出冲激响应为：,2.冲激响应在系统分析中的作用,(1)用冲激响应求解系统的零状态响应 得知系统冲激响应后，我们就不必求解微分方程或差分方程，可以方便地利用卷积运算，来求出系统对任意输入信号的零状态响应了。(2)用冲激响应表征系统特性线性时不变性、稳定性、因果性、互连性、,
