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1、1,第二章 线性系统的运动分析,建立起系统的状态空间描述之后，可以利用这些描述来分析系统的运动行为，其分析方法主要包括定量分析和定性分析两种。在定量分析中，主要分析系统对给定输入的精确响应及其性质，其数学上的体现为状态方程解析形式的解。在定性分析中，则着重对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的几个关键性质，如可控性、可观测性和稳定性等，进行定性研究。本章以线性系统为对象，讨论系统的定量分析问题，指出系统的运动规律，阐明系统的运动性质，介绍系统的分析方法。,2,2.1 引言,2.2 线性定常系统的运动分析（）,2.3 线性定常系统的状态转移矩阵（）,2.4 线性时变系统的运动分析（补充）,第
2、二章 线性系统的运动分析,3,2.1 引 言,一运动分析的数学实质,线性系统的状态方程为：,运动分析的目的：从系统数学模型出发，定量地和精确地定出系统运动的变化规律，以便为系统的实际运动过程做出估计。,或,数学实质：相对于给定的初始状态x0和外输入作用u，求解出状态方程的解x(t)，即由初始状态和外输入作用所引起的状态响应。,4,二零输入响应和零状态响应,线性系统满足叠加原理，利用该属性可把系统在初始状态和输入向量作用下的运动分解为两个单独的分运动，即由初始状态引起的自由运动和由输入作用引起的强迫运动。,1.零输入响应,零输入响应：指系统输入u为零时，由初始状态x0单独作用所引起的运动。即状态
3、方程的解，用 表示。,5,零状态响应：指系统初始状态x0为零时，由系统输入u单独作用所引起的运动。即状态方程的解，用 表示。,2.零状态响应,系统总的运动响应 是零输入响应和零状态响应的叠加，即,6,2.2 线性定常系统的运动分析,一零输入响应,输入u=0时，线性定常系统的状态方程：,称为齐次状态方程。求线性定常系统的零输入响应，其实就是求该齐次状态方程的解。,1.矩阵指数函数,定义nn的矩阵函数为矩阵指数函数。,7,2.零输入响应,由状态方程 描述的线性定常系统的零输入响应的表达式为,当 时（即），线性定常系统的零输入响应为：,8,证：设齐次状态方程 的解为：,其必满足状态方程，可得出,由比
4、较上列等式 tk 两边的系数向量，可定出待定向量为：,解的表达式进而表为：,令上式中t=0，则x(0)=b0，已知初始条件x(0)=x0，故b0=x0,9,3 矩阵指数函数性质,(1),(2),(3)令t和为两个自变量，则必成立,(4),10,设有nn常阵A和F,如果A和F是可交换的，则必成立,(6),(7)对给定方阵A，必成立,11,方法一：幂级数求和法,直接利用矩阵指数函数的定义式计算，即,其中：N可根据实际系统精度要求确定。,4 矩阵指数函数的计算方法（）,说明：该方法只能得到eAt的数值结果，一般不能写成闭合形式。实际计算时，可取前有限项给出近似结果。,12,(1)当A为对角线矩阵，即
5、 时,13,(2)当A具有如下形式,则A是零幂矩阵，即自乘若干次后化成零矩阵。,应用矩阵指数函数定义，可得,14,推广可得,(3)当A具有如下形式,由矩阵指数函数定义，有,15,例2-1（例9-6）：求下列系统状态方程的解,解：,由于：，所以：,得状态转移矩阵：,状态方程的解为：,16,方法二：特征值特征向量法,利用对角形变换求解 当A的n个特征值 两两互异时，确定矩阵P,化A为对角线标准形,则有：,17,方法三：拉氏反变换法（）,对给定的nn常阵A，,（）,证明：,状态方程,取拉氏变换有：,（sI-A）是系统特征矩阵，它是非奇异的，故有,进行拉氏反变换有：,由系统状态方程的解(零输入响应)可
6、知：,18,例2-2（）（例9-7）：求下列状态方程的解,解：系统的特征矩阵为:,19,因为：,故：,状态方程的解为：,20,二零状态响应,由状态方程 所描述的线性定常系统的零状态响应的表达式为,当 时（即），线性定常系统的零状态响应为：,21,证：,对上式从0至t进行积分,，上式两边左乘eAt,22,三线性定常系统的状态运动规律,初始状态x0和外输入作用u共同作用下的状态方程,或,的解，可由零输入响应和零状态响应叠加而得出，即线性定常系统在初始状态和外输入同时作用下的状态运动的表达式为：,或,23,2.3 线性定常系统的状态转移矩阵,一线性定常系统的状态转移矩阵,1状态转移矩阵的定义,对于给
7、定的线性定常系统,其中x为n维状态向量，称满足如下矩阵方程,的nn解阵 为系统的状态转移矩阵。,24,2.基本解阵的定义,由方程 的任意n个线性无关解所构成的nn矩阵函数，称为方程 的一个基本解阵。,基本解阵 具有如下性质：,其中：H为非奇异实常值矩阵。,线性定常系统的状态转移矩阵和系统的基本解阵间的一个基本关系式：,25,矩阵指数函数eAt有如下性质：，对任意t0，eAt为非奇异实值常阵，因此，eAt是 的基本解阵，即有：,将其代入，则有线性定常系统的状态转移矩阵为：,当t0=0时，可将其表为,即对于线性定常系统来说，它的状态转移矩阵就是矩阵指数函数eAt。,26,3用状态转移矩阵表示的系统
8、运动规律表达式,或,变量替换,该形式更便于计算,27,二线性定常系统的状态转移矩阵的性质（）,1,证明：由状态转移矩阵的基本关系式知：,28,2,证明：,由于,因此：，,所以有：,29,3,证明：由于 分别表示由状态 转移至状态 的状态转移矩阵。而,故：,30,4,证明：据性质3）,（该性质可推广为）,根据 的这一性质，对于线性定常系统有,根据移矩阵的定义可得：,这说明状态转移具有可逆性，x(t)可由x0转移而来，x(0)也可由x(t)转移而来。,31,5,证明：,图2-1 状态转移矩阵性质5）,6,证明：,32,7 由A唯一地确定，当利用计算时，与所选择的 无关。,证明：设 和 是 的两个不
9、同的基本解阵，且两者之间成立,其中：P为非奇异实值常阵，则,这表明 是满足唯一性的。,33,例2-3（）（例9-8）：已知状态转移矩阵为,试求：,解：1）,2）根据状态转移矩阵的运算性质有：,所以：,34,三线性定常系统状态方程解x(t)的计算（）(即求线性定常系统的状态响应),已知线性定常系统的状态方程为：,求该状态方程的解x(t)，其实就是求系统的状态响应。主要方法有如下两种：,积分法,拉氏变换法,35,1积分法：,在求出系统状态转移矩阵 的基础上，直接利用公式计算：,变量替换,该形式更便于计算,36,2拉氏变换法：,对系统的两边进行拉式变换，有,对上式进行拉式反变换有：,37,四 系统的输出响应,线性定常系统在初始状态和外输入同时作用下的状态响应为：,则此时，系统的输出响应为：,38,例2-4（）：已知系统的状态空间描述和初始条件如下：,求系统在单位阶跃输入u(t)=1(t)作用下的状态响应和输出响应。,解：,39,1）积分法：,40,由于：，所以,41,2）拉氏变换法：,42,43,线性时变系统状态转移矩阵,状态转移矩阵计算,状态转移矩阵定义,线性系统运动分析,2.4 线性时变系统的运动分析,线性时变系统的运动规律,44,当A(t)给定后，状态转移矩阵是唯一的,若A(t)与 是可交换的，则,线性系统运动分析,状态转移矩阵性质,
