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1、2023/9/14,组合数学,第四章习题,1.试证(4-2-2)对应关系是同构。解2.试证对于有限群G的任一元素a,存在一整数r,使得a=e.而且r必能整除g，g是群G的阶。解3.试证下列函数对于运算fg=f(g(x)是一个群。f1(x)=x,f2(x)=,f3(x)=1-x,f4(x)=,f5(x)=,f6(x)=.解,1x,1 1x,x1x,x x1,r,2023/9/14,组合数学,4.一正立方体的六个面用g,r,b,y四种颜色涂染，求其中两个面用色g,两个面用色y,其余一面用b,一面用r的方案数。解5.对一正六面体的八个顶点，用y和r两种颜色染色，使其中有5个顶点用色y,其余3个顶点用
2、色r,求其方案数。解6.由b、r、g三种颜色的5颗珠子镶成的圆环，共有几种不同的方案?解,2023/9/14,组合数学,7.一个圆圈上有n个珠，用n种颜色对这n个珠子着色，要求颜色数目不少于n的方案数。解8.若已给两个r色的球，两个b色的球，用它装在正六面体的顶点，试问有多少不同的方案?解9.试说明S5群的不同格式及其个数。解10.图4-1-1用两种颜色着色的问题，若考虑互换颜色使之一致的方案属同一类，问有多少不同的图象？解,2023/9/14,组合数学,11.在正四面体的每个面上都任意引一条高，有多少方案？解12.一幅正方形的肖像与一个立方体的面一样大，6副相同的肖像贴在立方体的6个面上有多
3、少种贴法？解13.凸多面体中与一个顶点相关的各面角之和与2的差称为该顶点的欠角，证明凸多面体各顶点欠角之和为4.解14.足球由正5边形与正6边形相嵌而成。(a)一个足球由多少块正5边形与正6边形组成？(b)把一个足球所有的正6边形都着以黑色，正5边形则着以其它各色，每个5边形的着色都不同，有多少种方案？解,2023/9/14,组合数学,15.(a)本质上有多少种确实是2个输入端的布尔电路？写出其布尔表达式。(b)本质上有多少种确实是3个输入端的布尔电路？解16.用8个相同的骰子垛成一个正6面体，有多少方案？解17.正六面体的6个面和8个顶点分别用红、蓝两种颜色的珠子嵌入。试问有多少种不同的方案
4、数?(旋转使之一致的方案看作是相同的).解,2023/9/14,组合数学,习题解答,1.证：设G=a1,a2,an,指定G中任一元ai,任意ajG，Pi：aj ajai，则Pi是G上的一个置换，即以G为目标集。Pi=()，G的右正则表示f：ai()=Pi。f是单射：aiaj，则PiPj f(aiaj)=()=()()=f(ai)f(aj)证毕。题,a1 a2 ana1ai a2ai anai,ai aai,a1 a2 ana1(aiaj)a2(aiaj)an(aiaj),a1 a2 ana1ai a2ai anai,a1 a2 an(a1ai)aj(a2ai)aj(anai)aj,2023/9
5、/14,组合数学,2.证：设|G|=g,则a,a,a,a,a 中必有相同元。a=a,1klg+1 a=e.1l-kg 对于给定的a，存在最小的正整数r,a=e.于是 H=a,a,a(=e)是G的子群，若HG,则存在a1不属于H,显然，HHa1=,|H+Ha1|=2r若H+Ha1=G,则2r=g,r|g否则存在a2不属于H+Ha1,Ha2(H+Ha1)=于是H+Ha1+Ha2+Hak=G,r(k+1)=g,r|g.证毕。题,2 3 g g+1,k l,l-k,r 2 r,.,.,.,.,.,2023/9/14,组合数学,3.证：(a)封闭性：f1fi=f1(fi(x)=fi(x);f2f3=f2
6、(f3(x)=f2(1-x)=1/(1-x)=f4(x);同理一一列举可得任意fi都属于G;(b)结合律成立：运算相当于把前面的计算结果带入到后面的函数中，对于该数学运算，运算的先后顺序与结果无关。结合律成立。(c)存在单位元：e=f1;(d)存在逆元素：f1=e;f2f2=e;f3f3=e;f4f5=f5f4=e;f6f6=e;满足群的条件，得证。题,2023/9/14,组合数学,4.解：正6面体的转动群用面的置换表示：面心-面心90(1)(4)6个 180(1)(2)3个 顶点-顶点 120(3)8个 棱中-棱中 180(2)6个不动(1)1个 P=(g+r+b+y)+6(g+r+b+y)
7、(g+r+b+y)+6(g+r+b+y)+3(g+r+b+y)(g+r+b+y)+8(g+r+b+y)/24 其中g y br的系数为C(6,2)C(4,2)C(2,1)+3C(2,1)C(2,1)/24=8 题,。,2 2 2 2 3 6,6 2 4 4 4 4 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2,2023/9/14,组合数学,5.解：相当于4.7节中例2中求b r 的系数，为C(8,5)+8C(2,1)/24=3题6.解：正5边形的运动群 题 绕心转 72(5)2个 144(5)2个 翻转 180(1)(2)5个 不动(1)1个 不同方案数为m=(3+4
8、3+53)/10=397.解：使重合的运动包括绕中心旋转和绕水平对称轴翻转共产生2n个置换群。,5 3,。,1 1 2 5,5 1 3,2023/9/14,组合数学,(续前)n个球用n种颜色着色共有n!种不同方案。因此，所求方案数为n!/2n.题8.解：正六面体顶点的置换群见4.7例2，本题相当于用2个r,两个g,4个b色的球装在正六面体的8个顶点上。P=(r+g+b)+6(r+g+b)+9(r+g+b)+8(r+g+b)(r+g+b)/24 其中r g b 的系数为 C(8,2)C(6,2)+9C(4,2)C(2,1)/24=22题,8 4 4 4 2 2 2 2 4 2 3 3 3 2,2
9、 2 4,2023/9/14,组合数学,9.解：5的拆分共有：00005,00014,00023,00113,00122,01112,11111共七种，根据讲义4.4节定理1可得S5中：(1)共轭类有5!/5!=1个置换；(1)(2)共轭类有5!/(3!2)=10个置换；(1)(2)共轭类有5!/(2!2)=15个置换；(1)(3)共轭类有5!/(2!3)=20个置换；(1)(4)共轭类有5!/4=30个置换；(2)(3)共轭类有5!/(23)=20个置换；(5)共轭类有5!/5=24个置换；共有不同格式7种，如上所示。题,5,3 1,1 2,2,2 1,1 1,1 1,1,2023/9/14
10、,组合数学,10.解：类似讲义4.4例2求：(1)不换色 不动：p1=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(13)(14)(15)(16)逆时针转90:p2=(1)(2)(3456)(789 10)(11 12)(13 14 15 16)顺时针转90:p3=(1)(2)(6543)(10 987)(11 12)(16 15 14 13)转180:p4=(1)(2)(35)(46)(79)(8 10)(11 12)(13 15)(14 16)(2)换色 不动：p5=(12)(37)(48)(59)(6 10)(11 12)(13 14)(15 16)逆时针转90:p6=(12)
11、(385 10)(6749)(11)(12)(16 15 14 13)顺时针转90:p7=(12)(10 583)(9476)(11)(12)(13 14 15 16)转180:p8=(12)(39)(4 10)(57)(68)(11 12)(13)(14)(15)(16)(16+2+2+4+0+2+2+4)/8=4(种方案)题,。,。,。,。,。,。,2023/9/14,组合数学,11.解：除了绕顶点-对面的中心轴旋转均不会产生不变的图象外,绕其他轴的旋转相当于正4面体的面3着色。参照讲义4.6例3可得不同的方案数为 M=3+083+33/12=9题12.解：除了绕面心面心轴旋转任何度数均不
12、会产生不变的图象外，绕其他轴的旋转都相当于正六面体的面4着色。参照讲义4.6例4可得不同的方案数为 M=4+064+034+84+64/24=192 题,4 2 2,6 3 4 2 3,2023/9/14,组合数学,13.证：设V,S,E分别为顶点集，面集，边(棱)集。由欧拉定理|V|+|S|E|=2.设aij为与顶点vi，面Sj为相关的面角，ej为Sj的的边数，给定Sj则aij=(ej2)欠角和为(2aij)=2 aij=2|V|aij=2|V|(ej2)=2|V|ej+2|S|=2|V|+2|S|2|E|=4 题,SjS,SjS,SjS,vjV,SjS,vjV,SjS,vjV,vjV,vj
13、V,2023/9/14,组合数学,14.解：5边形面心与体心连一直线从另一5边形面心穿出。该直线为对称轴。欠角=360(108+2120)=12 720/12=60(个顶点)603/2=90(条棱)60/5=12(个5边形)602/6=20(个6边形)一个顶点通过一个转动可与任一顶点重合，重合的方式只有1种，故转动群的阶为60。因为5边形着色均不同，所以除不变置换的任意旋转都不会产生不变图象，12个5边形着不同颜色共12!种方案。所以共有12!/60=7983360种方案。题,。,2023/9/14,组合数学,15.解：S2:(1)题(1)(2)l=2+2/2=12 其中包括0个输入端的2个，
14、1个输入端的2个，故确实是2个输入端的布尔电路是8个。S3:(1)1个；(1)(3)2个；(1)(2)3个 l=2+22+32/6=80，8012=68，确实是3输入端的布尔电路本质上有68个。,8 4 6,8 2 2 4 2,00 01 10 1100 01 10 11,00 01 10 1100 10 01 11,4 3,4 2 1,2023/9/14,组合数学,16.解：相当于正六面体每个角上放一个骰子。骰子按讲义4.6中关于正立方体的不同旋转均不会产生重合现象，共24种方案。因此本题相当于正六面体的顶点24着色。但绕顶点-顶点的对称轴旋转不会产生重合的图象。参照习题11可得不同的方案数为 M=24+624+324+0824+624/24=8011008题,6 3 4 2 3,2023/9/14,组合数学,17.解：本题相当于把讲义4.6例4例5合并起来,8个顶点6个面共14个元素的置换群。面心-面心90(1)(4)(4)6个 180(1)(2)(2)3个 顶点-顶点 120(3)(1)(3)8个 棱中-棱中 180(2)(2)6个不动(1)(1)1个62+32+82+62+2/24=776题,。,2 1 2 2 2 4 2 2 2 3 4 6 8,5 8 6 7 14,
