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1、浅谈组合数学,组合数学概述,现代数学根据所研究的对象可分为两类：连续数学：以微积分为基础，传统主流；离散数学：伴随计算机科学，方兴未艾。计算机出现以后，由于离散对象的处理是计算机科学的核心，研究离散对象的组合数学得到迅猛发展。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。,组合数学概述,组合数学（Combinatorial Mathematics
2、)也称组合学(Combinatorics)或离散数学(Discrete Mathematics)组合数学是一门研究离散对象的科学，狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。1666年Leibniz著Dissertatio de arte combinatoria,首次使用了组合一词。,组合数学概述,吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。Gian-
3、Carlo Rota教授曾提出要向中国领导人呼吁，组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定能成为一个软件大国，但是要实现这个目标的一个突破点就是发展组合数学。,组合数学历史及典型问题,传说在公元前23世纪大禹治水的时候，在黄河支流洛水中，浮现出一个 大乌龟，甲上背有9种花点的图案，人们将图案中的花点数了一下，竞惊奇地发现9种花点数正巧是19这9个数，各数位置的排列也相当奇妙，横的3行、纵的3列以及两对角线上各自的数字之和都为15。,上图为三阶洛书,幻方问题,组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带上了幻方以作为人类智慧的信号。,阶 幻 方,贾宪三角,
4、中国最早的组合数学理论可追溯到宋朝时期的”贾宪三角”,后来被杨辉引用,所以普遍称之为”杨辉三角”,这在西方是1654年由帕斯卡提出，但比中国晚了400多年。,11，11，2，11，3，3，11，4，6，4，11，5，10，10，5，11，6，15，20，15，6，1,七桥问题,近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题Pregel河横穿Knigsberg城，河上建有七座桥，能否设计散步路线，走过所有七座桥，每座桥恰好经过一次而回到同一地点？Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。,Euler环游（一笔画）,Euler于1736年给以否定：图有这样的路线当且仅当 每个点连接偶数条边。图论的
5、起源,Euler 定理,如果一个图包含一条经过每条边恰好一次的闭途径，则称这个图为欧拉图。对任意的非空连通图，若它是欧拉的,当且仅当它没有奇度点。,Knigsberg桥对应的图,三十六军官问题,普鲁士腓特烈大帝在一次检阅中要求：从不同的6个军团各选6种不同军衔的6名军官共36人，排成一个6行6列的方队，使得各行各列的6名军官恰好来自不同的军团而且军衔各不相同。Euler（1779）：办不到!但末能给出严格的证明。,拉丁方阵与正交拉丁方阵,每名军官对应一个有序对（军团，军衔）以9名军官为例：军团阵列 军衔阵列 并置阵列（拉丁方阵）（拉丁方阵）（正交拉丁方阵）,36 军官问题(欧拉 1779)Th
6、e Great Frederic的阅兵难题-欧拉的困惑 拉丁方阵:,正交拉丁方阵:,Euler 猜想,不存在6阶正交拉丁方不存在4k+2阶正交拉丁方 现在的结论对任正整数 n2,6，存在 n 阶正交拉丁方,四色问题,在日常生活中我们常常可以遇到组合数学的问题。比如一个著名的世界难题“四色猜想”：一张地图，用一种颜色对一个地区着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的地区颜色不同。,四色问题,1852年，刚从伦敦大学毕业的Francis Guthrie提出了四色猜想。1878年著名的英国数学家Cayley向数学界征求解答。此后数学家 Heawood 花费了毕生的精力致力于四色研究，于189
7、0年证明了五色定理（每个平面图都是5顶点可着色的）。直到1976年6月，美国数学家 K.Appel与 W.Haken，在3台不同的电子计算机上，用了1200小时，才终于完成了“四色猜想”的证明，从而使四色猜想成为了四色定理。,四色定理,Kemple（1879）：给出“证明”。Heawood（1890）：指出漏洞。五色定理。Appel-Haken(1976)：给出计算机证明（1200小时100亿个判断）。（右图为Appel）,Kirkman女生问题,Kirkman（18061895）1850年：有15个女生，她们每天要做三人行的散步，要使每个女生在一周内的每天做三人行散步时，与其她同学在组成三人
8、小组同行时，彼此只有一次相遇在同一小组，应怎样安排？组合设计的起源,Kirkman女生问题的一个解,中国邮递员问题,1962年中国组合数学家管梅谷教授提出了著名的“中国邮递员问题”。一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，然后返回邮局。那么如何选择一条尽可能短的路线。,相识问题,1958年，美国的数学月刊上登载着这样一个有趣的问题：“任何6个人的聚会，其中总会有3个人相互认识，或3个人相互不认识”。用6个顶点表示6个人，用红色连线表示两者相识，用蓝色连线表示两者不相识。于是问题化为下述命题：,相识问题,对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两边着色，则图中一定存在一个同色三角形。五个点
9、的则不然。,推广为一般问题则得到如下的Ramsey数问题：,Ramsey定理,Ramsey(1903-1930)：给定任意正整数p和q，总存在一个最小正整数R(p,q)，使得R(p,q)个人中或者有 p 个人互相认识，或者有 q 个人互不相识。R(p,q)称为Ramsey数。只要人数足够多，则互相认识的人会越来越多，或互不相识的人会越来越多。,Ramsey数R(p,q),Ramsey数的计算,Ramsey数的计算是对人类智力的挑战！例如R(4,5)=25(1993年计算机11年的计算量)Erds用如下比喻说明其困难程度：一伙外星人入侵地球，要求一年内求得R(5,5)，否则将灭绝人类！那么也许人
10、类能集中所有计算机和专家来求出它以自保；但如果外星人问的是R(6,6)，那么人类将别无选择，只能拼死一战了。,最精美的组合定理,Rota：如果要求在组合学中仅举出一个精美的定理，那么大多数组合学家会提名Ramsey定理。,1984年Wolf奖得主Erds1997年Fulkerson奖得主Kim1998年Fields奖得主Gowers1999年Wolf奖得主Lovasz2003年Steele奖得主Graham2005年Gdel奖得主Alon2006年Fields奖得主Tao 均对Ramsey理论有杰出贡献,Ramsey理论的哲理意义,完全的无序是不可能的(Complete disorder is
11、 impossible)。任一足够大的结构中必定包含一个给定大小的规则子结构。无序无意的行为产生了有规律的后果，发人深思耐人寻味。古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，以为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机分布的星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证明：圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝非文字排列偶然造成的。1997 年Michael Drosnin的The Bible Code 通过计算机扫读圣经中的304805个字母，发现圣经密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外，还包括美国肯
12、尼迪和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇刺的事件，日本神户、美国旧金山的大地震、世界末日与广岛原子弹轰炸等，种种过去与未来发生的大事件。,稳定的婚姻问题,组合数学中有一个著名定理：如果一个村子里每一个女孩都恰好认识k个男孩，并且每一个男孩也恰好认识k个女孩，那么每一个女孩都可以嫁给她认识的一个男孩，并且每一个男孩都可以娶一个他认识的女孩。（k 正则二部图，一定存在一个完美匹配）,稳定的婚姻问题,但是这样的安排方法不一定是最好的。假如能找到两对夫妇，彼此都更喜欢对方的配偶，那么这样婚姻有潜在的不稳定性。用图论匹配理论中Gale-Shapley算法，可以找到一种婚姻的安排方法，使得没有上述的不稳定情
13、况出现。,稳定的婚姻问题,这种组合数学的方法有一个实际的用途：美国的医院在确定录取住院医生时，他们将考虑申请者的志愿的先后次序，同时也给申请者排序。按这样的次序考虑出的总的方案将没有医院和申请者两者同时后悔的情况。实际上，高考学生的最后录取方案也可以用这种方法。,栈排序问题(Knuth,1960s),模式:对任意一个排列,最小的元素用代替，次小的元素用代替以此类推，这样得到的排列叫的模式。例如914的模式为：31237925 的模式为：24513,栈排序问题(Knuth,1960s),避免排列：一个排列是避免的，当且仅当它的任意子序列中没有模式。例如 132564是避免 312的排列 1462
14、35是包含312的排列,栈排序问题(Knuth,1960s),8,7,6,5,4,3,2,1,避免312排列,组合数学的应用,组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中，甚至在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析，城市物流等领域均有重要应用。,组合数学的应用,著名的组合数学家 Thomas Tutte 在组合数学界是泰斗级的大师。直到最近人们才知道，原来他对提前结束“二战”有着突出贡献。Tutte 从德军的两条情报密码出发，用组合数学的方法，重建了敌人的密码机，确定了德军密码的内部结构，从而获得了极为重要的情报。,组合数学
15、的应用,在美国有一家公司用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。在美国已有专门的公司用组合设计的方法开发软件，来解决工业界中的试验设计问题。德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。,应用促进理论发展,36个军官问题这个纯粹来自智力游戏的题目孕育着艰深的数学问题。Euler猜想直到二十世纪中叶才获得解决，有两个原因：一是理论上的准备。这类问题用初等方法很难解决，二十世纪代数和几何的发展为解决问题提供了必要工具（如Galois域上的射影几何即有限几何等）；二是生产实际的推动。数理统计学家Fisher将正交拉丁方用于试验
16、设计，例如，用二种原料合成某染料，每种原料有3个水平，怎样安排试验能使每种原料的各种水平各碰一次？这正好是3阶的正交拉丁方阵问题。Fisher的试验设计是一股巨大的推动力量，把一种数学游戏变成了节约人力物力的具有重大价值的科学方法。,源出于游戏受惠于数学落脚于应用,“Kirkman女生问题”引出组合数学的一个重要分支组合设计。对这些数学游戏，一旦当人们认识到它们在数学和其他科学上的深刻含义后，便又促使人们对它进行更深入的研究，从而丰富了数学学科的内容和知识。该问题就是最典型的组合设计问题。其本质就是如何将一个集合中的元素组合成一定的子集系以满足一定的要求。表面上看来，Kirkman女生问题是纯
17、粹的数学游戏，然而它的解却在医药试验设计上有很广泛的运用。德国组合数学家利用组合设计的方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用。在美国也有专门的公司用组合设计的方法开发软件，来解决工业界中的试验设计问题。,网络流问题,随着中国经济快速的增长，城市化是未来中国的发展方向。人大通过的“十五”规划，把物流业作为战略重点列入要大力发展的新兴服务产业。如何制定一个运输计划使生产地到销售地的产品输送量最大。这就是一个网络最大流问题。,网络流问题,1956年Ford 和Fulkerson 提出了关于网络流问题的一个重要定理。最大流最小割定理：在任何网络中，最大流的值等于最小割的容量。由这个定理可以引出求
18、网络最大流的一个算法标号法。1970年，Edmonds和Karp 对标号程序加以改进，使之成为一个好的算法。,网络可靠性问题,一个通讯网络怎样布局稳定性最好，而且费用最节省？美国的贝尔实验室和IBM公司都有世界一流的组合数学家在研究这个问题，这个问题直接关系到巨大的经济利益。,最短网络问题,如何用最短的线路将三部电话连起来？此问题可抽象为设ABC为等边三角形，连接三顶点的路线（称为网络）。这种网络有许多个，其中最短路线者显然是二边之和（如ABAC）。,A,B,C,最短网络问题,但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网络的最短路线为PAPBPC。最短新路径之长N比原来只连三点的最短路径O要短
19、。这样得到的网络不仅比原来节省材料，而且稳定性也更好。,A,B,C,P,无尺度网络,20世纪20年代，由Karinthy提出。1950年，Pool 和 Kochen提出这样一个问题：“两个毫无关系的人，要让他们互相认识，至少要经过多少人？”美国哈佛大学社会心理学家S.Milgram在1967年做过一项有趣的实验，据说他从内布拉斯加州的奥马哈随机选了300人，然后请他们每个人尝试寄一封信到波士顿的一位证券业务员。寄信的规则很简单，就是任何收信者只能把信寄给自己熟识的人。,重要结论,“6度分离”对每个人来说，平均大约只需要通过个人就能将信寄到目的地。研究无尺度网络，对于防备黑客攻击、防治流行病、和
20、开发新药等，都具有重要的意义。在1999年，Barabasi et al.发现在因特网上，任意两个网页间的链接最多为19次。(Nature 401,1999),生物数学,目前，计算生物学、基因理论、生物信息学都是最前沿的研究领域。随着人类基因组计划的完成和其他基因计划的完成，所有公认的和潜在的蛋白质元都可以被确定，通过大规模的实验技术，可以生成大量的生物学数据。,生物数学,如何处理这些数据来获得生物学的信息，这里组合数学和随机图论都起到了关键的作用。如果将基因看作网络中的顶点，将他们之间的作用看作网络中的边，那么每一次大规模实验将给我们带来关于基因交互作用网络的一些信息。这个网络的拓扑性质是科
21、学家们关心的焦点（如每一个顶点的度和网络中的最小距离问题是两个初步的问题）。,中国的组合数学,河图洛书九宫图,易曰：河出图，洛出书，圣人则之。河图洛书是最早的幻方。“二、九、四；七、五、三；六、一、八”-大戴礼记明堂 黄帝内经灵枢的九宫八风篇。“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”-(汉)徐岳撰(北周)甄鸾注 杨辉续古摘奇算法(1275)进一步给出了四阶幻方构造方法。此外，他还构造出了五阶、六阶、七阶、八阶、九阶和十阶幻方(百子图)。,四 九 二三 五 七八 一 六,幻方的转播,12世纪的阿拉伯文献里有六阶幻方的记载印度12-13世纪时的Jaina幻方（右下）15世纪幻
22、方传往欧洲西方最早的幻方出现在德国Drer 1514年的名画”忧郁者”中。1977年美国旅行者1号和2号宇宙飞船带去Jaina幻方。,杨辉三角,杨辉（南宋）著详解九章算法(1261年)中曾引贾宪（北宋）的“开方作法本源”图。杨辉在承上启下、数学教育方面有突出贡献。Pascal三角(1654年)可上溯至1537年,朱世杰恒等式（元）,朱世杰是中国传统数学中水平最高者之一。他在四元玉鉴（1303）得到：Zeilberger:Chus 1303 Identity Implies Bombieris 1990 Norm-Inequality,1994,李善兰恒等式（清）,李善兰（1811-1882）是
23、开展现代数学研究的第一位中国数学家。他从研究中国传统的垛积问题入手，获得了一些相当于现代组合数学中的成果。如在垛积比类中提出,Erds-Ko-Rado定理,Frankl-Graham：Erds-柯召-Rado定理是组合数学中的一个主要结果，开辟了极值集合论迅速发展的道路。柯召(1910-2002)：1935-1938在英国Manchester大学期间与Erds相识，该结果在1938年得到，于1961年发表。Erds（1913-1996）是数学史上著作数仅次于Euler的传奇人物（约1500篇），他曾说在他所有著作中，含有上述结果的论文是被同行们引用次数最多的。,Gould-Hsu反演公式,19
24、73年Duke Math.J.上发表了Gould与徐利治的论文“Some new inverse series relations”，这是中美关系正常化开始后两国学者合作发表的第一篇论文。Gould-Hsu反演公式可用于证明和发现恒等式，也可以应用于算法分析和插值方法中。,中国邮递员问题,管梅谷（1960）：邮递员从邮局出发送信，要求对辖区内每条街都至少通过一次再回邮局，怎样选择一条最短路线?现实生活中很多问题可以转化为中国邮递员问题。有好算法！,论不相交斯坦纳三元系大集,陆家羲(19351983)，包头九中物理教师1961年完成论文“冠克满系列和斯坦纳系列的制作方法”，三次投稿国内杂志未中。
25、前者1971年为国外学者解决发表，惜哉！1983年和1984年在J.Combin.Theory Ser.A 上发表题为“On large sets of disjoint Steiner triple systems”的六篇论文。以“论不相交斯坦纳三元系大集”系列论文获1987年国家自然科学一等奖。,Gilbert-Pollak猜想,1990年，堵丁柱和黄光明合作证明了 Gilbert-Pollak猜想(1968)。被列为1989年-1990年度美国离散数学界和理论计算机科学界重大成果。被不列颠百科全书1992年鉴列为6项数学成果的第一项。堵丁柱获得中国科学院自然科学一等奖、国家科技进步二等奖
26、和中国青年科学家奖。,机器证明吴消元法,1976年吴文俊教授开始进行研究几何定理的机器证明，并在很短的时间内取得重大突破。他的基本思想如下：引进坐标，将几何定理用代数方程组的形式表达；提出一套完整可行的符号解法，将此代数方程组求解。此两步中，一般第二步更为困难。,机器证明吴消元法,周咸青利用并发展吴方法，编制出计算机软件，证明了500多条有相当难度的几何定理，并在美国出版了几何定理机器证明的专著。吴方法不仅可证明已有的几何定理，而且可以自动发现新的定理。可以从Kerler定律推导牛顿定律；解决一些非线性规划问题；给出Puma型机器人的逆运动方程的解。吴文俊教授还将其方法推广到微分几何定理的机器证明上。,组合数学的内容,组合数学的研究内容,组合数学研究的中心问题是按照一定的规划来安排一些与物件有关的问题。1.存在问题当符合要求的安排并非显然存在或不存在时，首要的问题是证明或否定它的存在.2.计算问题或分类问题当符合要求的安排显然存在，或者已证明它存在时，求出这类安排的各抒己见，或者把它分类.3.构造问题（组合设计）把满足某种条件的安排构造出来.4.优化问题给出最优标准，找出满足给定条件的最优安排.,组合数学的分支,组合分析代数组合极值集论图 论组合设计组合优化组合算法,
