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1、1,钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线,因为在振幅位置结构的变形速度为零（动能=0），故在振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗。振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。,10-4 阻尼对振动的影响,2,忽略阻尼影响时所得结果 能不能 反映实际结构的振动规律。,大体上,忽略阻尼的振动规律,考虑阻尼的振动规律,结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。,简谐荷载作用下有可能出现共振。,自由振动的振幅永不衰减。,自由振动的振幅逐渐衰减。,共振时的振幅趋于无穷大。,共振时的振幅较大但为有限值。,产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内 摩擦
2、；周围介质的阻力。阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系：与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。与质点速度无关（如摩擦力）。粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为 R(t)=Cy).,其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。,3,考虑阻尼的振动模型,k,m,动平衡方程：,1、有阻尼的自由振动,(阻尼比）,设解为：,特征方程为：,1)1（低阻尼）情况,4,ae-t,低阻尼y-t曲线,无阻尼y-t曲线,阻尼对自振频率的影响.,当0.2,则0.9798r/1在工程结构问题中0.010.1可近似取.,阻尼对振幅的影响.振幅ae-t
3、 随时间衰减.相邻两个振幅的比,振幅按等比级数递减.,5,称为振幅的对数递减率.,设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:,经过一个周期后,相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:,2)=1（临界阻尼）情况,这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。,工程中常用此方法测定阻尼,6,例题：图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m,，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s 及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。,解：,7,临界阻尼常数cr是=1时的阻尼常数。（振与不振的分
4、界点）,阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。,3)1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。,2、有阻尼的强迫振动,单独由v0引起的自由振动：,（低阻尼体系，1）,瞬时冲量dS=Pdt=v0m所引起的振动，可视为 以v0=Pdt/m，y0=0为初始条件的自由振动：,将荷载P(t)的加载过程 看作一系列瞬时冲量,总反应,8,（1）突加荷载P0?,低阻尼y-t曲线,无阻尼y-t曲线,静力平衡位置,具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初所引起的最大位移接近于静位移yst=P0/m2的两倍，然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。,9,（2）简谐荷载P(t)=Fsint,设特解为：y=Asint+Bcost 代
5、入（10-34）得：,+Asint+Bcost,齐次解加特解得到通解：,自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。,纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变.,结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。,y=Asint+Bcost=yPsin(t),振幅:yp，最大静力位移yst=F/k=F/m2,10,动力系数与频率比/和阻尼比有关,几点讨论：随增大曲线渐趋平缓，特别是在/=1附近的 峰值下降的最为显著。当接近时，增加的,很快，对的数值影响 也很大。在0.75/1.25(共振区)内，阻尼大大地减 小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时
6、的动力反映,阻尼的影响是不容忽略。在 共振区之外阻尼对的影响 较小，可按无阻尼计算。,11,max并不发生在共振/=1时，而发生在，,由y=yPsin(t)可见，只要有阻尼位移总滞后荷载 P=Fsint一个 相位角，,但因很小，可近似地认为：,当时,0体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主 要由 S平衡，(即P与S反向)，S与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载处理。,当时,180体系振动得很快，FI很大，S、R相对说来较小，动荷主要由FI 平衡，FI 与y同向，y与P反向；,位移y、弹性力S，惯性力FI，阻尼力R分别为：,12,k,当=时,90,由此可见：共振时（=），S与FI刚好互相平衡
7、，,yst,有无阻尼均如此。动荷载恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现位移为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。,k=m2=m2,=P(t),13,例题 图示为一机器基础，机器与基础的总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数（即单位面积产生单位沉陷时所需施加的压力）为cz=0.6N/cm3=0.6103kN/m3，基础的底面积A=20m2。机器运转产生简谐荷载P0sint，P0=20kN,机器每分钟转400转。现考虑阻尼的影响，设阻尼比=0.15，计算在阻尼影响下机器及基础做竖向振动的振幅及地基最大应力。,14,10-5 两个自由度
8、体系的自由振动,很多结构的振动问题不能按单自由度体系计算，如多层房屋的侧向振动，不等高排架的振动，柔性较大的高耸结构在地震作用下的振动等，都应按多自由度体系计算。,15,1、刚度法：（建立力的平衡方程）两个自由度的体系,r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2,质点动平衡方程:,即:,设:,特点:1)两质点具有相同的频率和相同的相位角.2)两质点的位移在数值上随时间变化,但两者的比值始终保 持不变y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常数.,结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型.,16,乘 y1(t),乘 y2(t),r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k
9、22y2,kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点需施加的力(称为刚度系数).,=,+,17,振型计算公式,频率计算公式,频率方程,振型方程,为了得到Y1、Y2的非零解，应使系数行列式=0,展开是2的二次方程，解得2 两个根为：,可以证明这两个根都是正根。,与2相应的第二振型：,因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，只能求出其比值 求与1相应的第一振型：,18,2 的两个根均为实根；,矩阵k为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主子式全部大于零。,故矩阵k为正定矩阵。,k11k22-k12k210,2 的两个根均为正根；,19,与2相应的第二振型：,求与
10、1相应的第一振型：,多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。,几点注意：12必具有相反的符号。多自由度体系自振频率的个数=其自由度数，自振频率由特征方程求出。每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。自振频率和主振型是体系本身的固有特性。,一般解：,在这种特定的初始条件下出现的振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。,20,0,0,21,例10-4：,质量集中在楼层上m1、m2，,层间侧移刚度为k1、k2,k21,k11,解：求刚度系数：,k11=k1+k2,k21=k2,k22,k1
11、2,k22=k2,k12=k2,1)当m1=m2=m,k1=k2=k,代入频率方程：,22,求振型：,1第一主振型：,Y21=1.618,Y11=1,第一主振型,2第二主振型：,Y22=0.618,Y11=1,第二主振型,23,2)当m1=nm2,k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=k2,求频率：,求振型：,如n=90时,当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。（鞭梢效应）,第一振型：,第二振型：,特征方程：,24,2、柔度法,建立振动微分方程：（建立位移协调方程）m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应等于体系在当时惯性力,作用下所产生的静力位移。,（10-43）柔度法建立的振动微分方
12、程,25,频率方程：为一关于的二次方程。解出的两个根：,振型方程：其中：=1/2Y1，Y2不能全为零。,求得频率：,频率方程和自振频率：,设各质点按相同频率和初相角作简谐振动,Y1，Y2是质点位移幅值,体系频率的数目总等于其自由度数目,26,主振型,不能由振型方程求出Y1，Y2的解，只能求出它们的比值。,第一主振型,第二 主振型,频率的数目总等于其自由度数目,主振型是体系由此主振型惯性力幅值,所引起的静力位移。,27,例105 求简支梁的自振 频率和主振型。,解：1）求柔度系数,求得频率：,求得主振型：,28,例105 求简支梁的自振 频率和主振型。,另解：如果结构本身和质量分布都是对称的，则
13、主振型不是对称就是反对称。故可取半边结构计算：,对称情况：,反对称情况：,29,例.试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。,解：（1）计算频率,（2）振型,第一振型,第二振型,30,三、主振型及主振型的正交性,由功的互等定理：,整理得：,如果，则存在：,两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。,31,由功的互等定理：,上式分别乘以12、22，则得：,第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；,某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；,各个主振型能单独存在，而不相互干扰。,
