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1、重点难点重点：1.两个计数原理的理解和应用2排列与组合的定义、计算公式，组合数的两个性质难点：1.如何区分实际问题中的“类”与“步”2组合数的性质和有限制条件的排列组合问题,知识归纳1分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法,(2)组合数的两个性质CnmCnnm；Cn1
2、mCnmCnm1.误区警示1正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使分类后不重、不漏2正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开来3正确区分分堆问题和分配问题,一、“分类”与“分步”，应该如何理解与区分(1)分类：“做一件事，完成它可以有n类办法”每一类办法中的每一种方法都能将这件事完成分类时，首先据问题特点确定一个合理的分类标准，在这个“标准”下分类能够做到：完成这件事的任何一种方法必须属于其中的某一类(不漏)分别在不同两类中的两种方法不能相同(不重复),(2)分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤必须并且只需连续
3、完成这n个步骤后，这件事才算最终完成所以区分一种分法是分类还是分步就看这种分法中的一种方法能否完成这件事情,二、排列、组合问题的类型及解答策略排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解法灵活实践证明，备考有效的方法是将题型与解法归类，识别模式、熟练运用下面介绍常见排列组合问题的解答策略(1)相邻元素捆绑法在解决某几个元素必须相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列,例1(2010重庆理，9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日
4、，则不同的安排方案共有()A504种B960种C1008种 D1108种分析：甲、乙相邻看作一个元素与其它元素一块排，由于丙不排在第1天丁不排在第7天，因此按甲乙的排位进行分类,解析：甲、乙相邻的所有方案有A22A661440种；其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有：A22A55240种，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有A22A4448种，故符合题设要求的不同安排方案有：14402240481008种，故选C.答案：C,(2)相离问题插空法相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两
5、端位置，故称“插空法”例2(2010北京理，4)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()AA88A92 BA88C92CA88A72 DA88C72,解析：将所有学生先排列，有A88种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，因此一共有A88A92种排法答案：A,(3)定序问题属组合排列时，如果限定某些元素或所有元素保持一定顺序称为定序问题，定序的元素属组合问题例3信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是_,解法2：定序问题属组合五面旗占五个位置，从中选取两个位置挂白旗，其余位置则挂红旗有C
6、5210种方法答案：10(4)定元、定位优先排在有限制条件的排列、组合问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑,例4(2010山东理)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A36种 B42种C48种 D54种分析：丙占最后一位不必考虑“甲在前两位，乙不在第一位”，故应以甲为标准进行分类,解析：若甲在第一位有A4424种方法；若甲在第二位有C31A3318种方法，故共有182442种方法答
7、案：B(5)至多、至少间接法含“至多”、“至少”的排列组合问题，是需要分类问题可用间接法，即排除法，但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况,例5(09湖南)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A85 B56 C49 D28解析：甲、乙、丙都没入选有C7335种，丙没有入选的有C9384种，故甲、乙至少有1人入选而丙没有入选的不同选法种数有843549(种)答案：C,(6)选排问题先选后排法对于排列组合的混合应用题，一般解法是先选(组合)后排(排列)例6四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_种(
8、用数字作答)解析：先从四个小球中取两个放在一起，有C42种不同的取法，再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有A43种不同的放法，据分步计数原理，共有C42A43144种不同的放法答案：144,(7)部分符合条件淘汰法在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求例7过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()A18对 B24对 C30对 D36对解析：三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C64312个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12336对答案：D,(8)数字问题首位不能为0例8(09陕西)从0,1,2,
9、3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A300 B216 C180 D162解析：分两类：选0.从其余2个偶数中选1个，从3个奇数中选2个，首位不排0，故有C21C32C31A33108(种)；,不选0.从3个奇数中选2个与另2个偶数，排成四位数，共有排法C32A4472(种)共有10872180(种)，故选C.答案：C,三、建模思想例9一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，nN*)，记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)_.,解析：从原点O出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1
10、，向右为0，则爬到点(m，n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m，n)是m个0和n个1的不同排列方法数m个0和n个1共占mn个位置，只要从中选取m个放0即可f(m，n)Cmnm.答案：Cmnm点评：例如f(3,4)C73其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行抽象建模后就是一个含相同数字的纯粹排列组合问题,例10方程xyz8的非负整数解的个数为_解析：把x、y、z分别看作是x个1，y个1和z个1，则共有8个1，问题抽象为8个1和两个十号的一个排列问题由于x、y、z非负，故允许十号相邻，如11111111表示x2，y0，z6，11111111表示x0，y8，z0等等，
11、不同排法总数为从10个位置中选取2个放十号，方程的非负整数解共有C10245个答案：45,例11一条街道上共有12盏路灯，为节约用电又不影响照明，决定每天晚上十点熄灭其中的4盏，并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，问不同熄灯方法有多少种解析：记熄灭的灯为0，亮灯为1，则问题是4个0和8个1的一个排列，并且要求0不相邻，且不排在两端，故先将1排好，在8个1形成的7个空中，选取4个插入0，共有方法数C7435种点评：实际解题中，先找出符合题设条件的一种情形，然后选取一种替代方案，注意是否相邻、相间等受限条件，然后确定有无顺序是排列还是组合，再去求解,例12如图，从上往下读(不能跳读)构成句子“
12、构建和谐社会，创美好未来”的不同读法种数是()构建建和和和谐谐谐谐社社社社社会会会会会会创创创创创美美美美好好好未未来,A250 B240 C252 D300解析：要组成题设中的句子，则每行读一字，不能跳读每一种读法须10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从左上角到右下角方向读的，故共有不同读法C105252种答案：C,四、枚举法例13如果直线a与b异面，则称a与b为一对异面直线，六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中，异面直线共有_对解析：六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边,考察PA与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线(
13、PA，BC)，(PA，CD)，(PA，DE)，(PA，EF)共四对同理与其它侧棱异面的底边也各有4条，故共有4624对答案：24,例1若直线方程axby0中的a、b可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线一共有_条分析：方程axby0表示直线，a与b至多有一个为0，故按a、b中是否含0进行分类,解析：分两类：第一类，a、b均不为零，a、b的取值共有A4212种方法第二类：a、b中有一个为0，则不同的直线仅有两条x0和y0.共有不同直线14条答案：14,(2010重庆一中)高三某学生计划报名参加某7所高校中的4所学校的自主招生考试，其中仅甲、乙两所学校的考试
14、时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，那么该学生不同的报考方法有()种()A20 B25 C30 D35分析：按该学生报考的学校中是否含有甲、乙两所学校进行分类,解析：报考学校甲的方法有C53，报考学校乙的方法有C53，甲、乙都不报的方法有C54，共有2C53C5425种答案：B,例2如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有()A180种 B120种C96种 D60种,分析：完成涂色任务可以分成四个步骤，第一步给A区域涂色，第二、三、四步依次给B、C、D区域涂色，四个步骤全完成，涂色任务才完成解析：
15、按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步D区域也有3种颜色可选由分步计数原理，共有5433180(种)答案：A,点评：相邻区域必须涂不同色，不相邻区域可以涂同色，故四个区域只有A与D可涂相同颜色，因此可按使用的颜色种类进行分类，用四色(A54种)和用三色(A53种),(2010山东日照模考)某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种植方法共有(),A48种 B36种 C30种 D24种解析：解法1：由于相邻两块不能种同一种颜色，故至
16、少应当用三种颜色，故分两类第一类，用4色有A44种，第二类，用3色有C43A33种，故共有A44C43A3348种解法2：1处有4种颜色可选，2处有3种颜色可选，3处有2种颜色可选，4种也有2种颜色可选，由分步乘法计数原理知，共有432248种答案：A,例3(09全国)甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A150种 B180种 C300种 D345种分析：选出的4人中恰有1名女同学，我们就围绕这名女同学是哪个组来的展开讨论解析：若这名女同学是甲组的，则选法有C31C51C62种，,若这名女同学是
17、乙组的，则选法有C52C21C61种，符合条件的选法共有C31C51C62C52C21C61345种选D.答案：D,(2010全国卷理，6)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A30种 B35种 C42种 D48种解析：可分以下2种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法所以不同的选法共有C31C42C32C41181230种答案：A,点评：解答排列组合问题，审题时一定要抓住其关键语句(即题眼)，本题中“两类课程中各
18、至少一门”就是题眼，对此语句的分析，产生分类标准请再做下题，注意先找出题眼：(2010湖南考试院调研)从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有()A80种 B100种 C120种 D240种,解析：包括两种情形：一是2男2女有C52C42种方法，二是3男1女有C53C41种方法，共有C52C42C53C41100种方法，故答案为B.,例4从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A300种 B240种 C144种 D96种,
19、解析：解法1：分类计数不选甲、乙，则N1A4424.只选甲，则N2C43C31A3372.只选乙，则N3C43C31A3372.选甲、乙，则N4C42A32A2272.NN1N2N3N4240.解法2：一类无甲、乙有A44种，二类甲、乙有一人参加有C21C31A43，三类甲乙都参加有C42C21A33，共有240种，选B,解法3：甲、乙两人不去巴黎，从另外四人中选一人有C41种，剩余5人选3人分别去三个城市有A53种，共C41A53240种解法4：无限制条件下共有方案C64A44种，其中甲或乙一定去巴黎的方案有2C53A33，甲、乙不去巴黎的方案有C64A442C53A33240种解法5：间接
20、法从6人中选4人去四个城市的方案有A64其中甲去巴黎的方案有A53种，乙去巴黎的方案有A53种，共有：A64A53A53240种答案：B,总结评述：显然当所求事件的分类数过多时，用间接法较简捷对于排列、组合这个考点，重点是要分清是排列还是组合，是分类还是分步应重点训练发散思维，对同一道题从不同角度寻求解法,一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有()A24种 B36种 C48种 D72种,解析：甲照看第一道工序，则第四道工序只能安排丙，
21、不同安排方法有A42种甲照看第四道工序，则同上可得有A42种甲不照看第一和第四道工序，则第一道工序只能由乙，第四道只能由丙照看，共有不同照看方法A42种，共有3A4236种选B.答案：B,例5有6本不同的书(1)甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？(2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(3)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？(5)分成3堆，有2堆各1本，另一堆4本，有多 少种不同的分堆方法？,(6)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？解析：(1)在6本书中
22、，先取2本给甲，再从剩下4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有C62C42C2290(种)(3)从6本书中，先取1本作一堆，再在剩下的5本中取2本作一堆，最后3本作一堆，共有C61C5260(种),某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则这8个名额的分配方案共有()A15种 B21种 C30种 D36种,解析：由题意本题分两类办法完成第一类从6个工厂中选一个工厂抽调3名工程技术人员，其它5个工厂各抽1人，有C61种方法；第二类从6个工厂中选两个工厂各抽调2名，其他4个工厂各抽1人，有C62种方法，8个名额的分配方案共有C61C6221种答案：B点评：可
23、用建模法解8个名额可视作8个0,6个厂每厂至少调1人可看作将这8个0分成6堆，每堆至少1个，故从7个空中选5个插入1，将它们分开，有分配方案C7521种.,例6(09天津)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有_个(用数字作答)分析：数字问题首先看是否有0,0不能在首位，其次看有无其它限制条件(如奇数，偶数，能被某数整除的数等)，本题中要求“个位、十位、百位上数字之和为偶数”，因此解决本题应从这儿着手,解析：要使个位、十位和百位上的数字之和为偶数，可以分为两种情况：(1)个位、十位和百位上的数字均为偶数，此时一种情形是四个数
24、字全为偶数，有A31A33(或A44A33)个；另一种情形是首位为奇数，其余三位为偶数，有A31A43个，共有A31A33A31A4390个；(2)个位、十位和百位上的数字有两个是奇数、一个偶数，此时包括两种情况一种情况是只含一个偶数，有C41A31A33个，另一种情况是有两个偶数，不含0时，有C32A32A32个，含0时，有C32A32A32个，共有C41A31A33C32A32A32C32A32A31234个，总共有90234324个答案：324,(09北京)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A324 B328 C360 D648解析：利用分类计数原理，共分两
25、类：(1)0作个位，共A9272个偶数；(2)0不作个位，共A41A81A81256个偶数，共计72256328个偶数，故选B.答案：B,解析：由题意知：当m1时，n可等于2,3，8共对应7个不同的椭圆；当m2时，n可等于1,3，8共对应7个不同的椭圆同理可得：当m3,4,5,6,7,8时各分别对应7个不同的椭圆当m9时，n可等于1,2,3，8共对应8个不同的椭圆，同理，当m10时，对应8个不同的椭圆综上所述，共788272个故选B.答案：B,一、选择题1(2010湖北黄冈)从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()A34种 B35种 C1
26、20种 D140种答案A解析4人中既有男生又有女生包括：3男1女，2男2女和1男3女三种情形，共有不同选法C43C31C42C32C41C3334种,点评可运用间接法求解，7人中有4男3女，选取的4人除去4个全部为男生外，其余选法都是既有男生，也有女生，共有不同选法，C74C4435134种,2(2010北京顺义一中模考)一次演出，原计划要排4个节目，因临时有变化，拟再添加2个小品节目，若保持原有4个节目的相对顺序不变，则这6个节目不同的排列方法有()A30种 B25种 C24种 D20种答案A,解析原来4个节目的相对顺序不变，故4个节目形成5个空档，将这两个节目插入(一)当两节目不相邻时，有
27、A5220种选法，(二)当两节目相邻时，有A22C5110种排法，共有201030种不同排法,答案B,二、填空题4从3、2、1、0、1、2、3、4这8个数中任选3个不同的数组成二次函数yax2bxc的系数a、b、c，则所确定的抛物线中，坐标原点在抛物线弧内部的概率为_,答案C解析如图，由于每行每列都有一块试验田种植水稻，当1处种植水稻时，只能是(1,5,9)或(1,6,8)，依此可列出所有可能种植方法为：(1,5,9)，(1,6,8)，(2,6,7)，(2,4,9)，(3,5,7)，(3,4,8)，共6种，又从9块试验田中选3块的选法为C93，,2(2010河北邯郸市模考)在冬奥会比赛中，要从
28、4名男运动员和5名女运动员中，任选3人参加某项比赛，其中男女运动员至少各有一名的不同选法共有()A140种 B80种C70种 D35种答案C解析选出的3人中包括1男2女和1女2男两种情形，故不同选法共有C41C52C42C51403070种,3(2010广西柳州市模考)将甲乙两人在内的7名医生分成三个医疗小组，一组3人，另两组每组各2人，则甲乙不分在同一组的分法有()A80种 B90种 C25种 D120种答案A,4显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或1，若每次显示其中3个孔，但相邻两孔不能同时显示，则该显示屏能显示信号的种数共有()A10种 B48种 C60种 D80种答案D解析注意到显
29、示的两孔不能相邻，故采用“插空法”：先把不显示的4个孔排好，元素相同，只有一种排法，再将显示的3个孔插入，有5个位置可以选择，共有C5310种不同排法，又因为显示的每个小孔可以产生两种不同信号，所以共产生102380种信号,5(2010全国)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A12种 B18种 C36种 D54种答案B解析先从三个信封中选取一个放数字1,2，有C31种选法，再从3,4,5,6中选取两个放入一个信封中，则剩下的两个数字在另一个信封中，有放法C42种，共有不同放法，C31C4218
30、种,答案C,7定义整数集合A与B的运算A*B如下：A*B(x，y)|xA，yB，且xy为偶数，若A1,0,1，B1,2,3,4，则集合A*B中的元素个数为()A12 B6 C4 D2答案B解析x1时，y1,3；x0时，y2,4；x1时，y1,3.故选B.,8(2010延边州、河北唐山质检)将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案数为()A540B300C180D150答案D,9(2010北京市西城区抽检)从3名男同学1名女同学中选出3人，分别担任班长、体委、宣委职务，其中女同学不能担任体委职务，那么不同的任职方案共有_种(用数字作答)答案18解析按选出
31、的3人中有无女同学分类：第一类，3名全是男同学，有A336种，第二类，三人中包括这位女同学，有2A3212种，共有61218种,10(2010天津南开区模拟)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的四位数有_个答案96解析能被3整数的数的各位数字的和能被3整除，四个数字的组成分别有以下几种情形需考虑，12,15,24,45，故在四个数字中必含有1,2,4,5中的两个或四个，第一类：四个数字为1,2,4,5，共有A4424个，,第二类：四个数字1,2,4,5中有一对，其余两个为0和3，共有43A3372个，共有722496个11(2010甘肃省质检)有3辆汽车、6名
32、售票员、3名司机，每辆汽车配1名司机2名售票员就可以工作，那么所有不同的安排方法种数是_(用数字作答)答案540解析由题意知，安排司机有A33种方法，安排售票员有C62C42种方法，由乘法原理知，共有不同安排方法A33C62C42540种,12某班由21名女生和39名男生组成现要组织20名学生外出参观，若这20名学生按性别分层抽样产生，则参观团的组成方法共有_种答案C277C3913解析抽样比20(2139)13，故女生抽7人，男生抽13人参加，共有方法C217C3913种,13四面体ABCD的顶点和各棱的中点共10个点(1)设一个顶点为A，从其它9点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同
33、的取法有_种？(2)在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有_种？,答案(1)33(2)141解析(1)如图，含顶点A的四面体的三个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C53种取法含顶点A的棱有三条，每条棱上有3个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法,根据分类计数原理知，和点A共面三点的取法共有3C53333(种)(2)取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点有C104种取法若取出的4点共面有三类：第1类：从四面体的同一个面上的6点取出4点共面，有4C64种取法；第2类：每条棱上的3个点与所对棱的中点共面，共6种取法；,第3类：从6条棱的中点中取4个点共面和四面体的一对棱平行的平面有一个，这样的平面有3个，有3种取法根据分类计数原理，4点共面取法共有4C646369(种)故取4个点不共面的不同取法有C104(4C6463)141(种),
