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1、1,13-3 磁场的高斯定理和安培环路定理,一、磁场的高斯定理(Gauss theorem magnetic field),根据毕萨定律，电流元的磁场以其为轴对称分布，电流元平面内磁感线是头尾相接的闭合同心圆。穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必等于零，任意闭合曲面的都为零。,由叠加原理，整个电流回路的磁场中任意闭合曲面的磁通量必定都等于零，磁场的高斯定理。,恒定电流磁场是散度为零的场,2,1.磁感线,切线方向 的方向；疏密程度 的大小.,3,I,4,直线电流的磁感应线,5,圆电流的磁感应线,6,通电螺线管的磁感应线,7,各种典型的磁感应线的分布：,直线电流的磁感线,圆形电流的磁感线,8,直
2、螺线管电流的磁感线,环形螺线管电流的磁感线,9,2.磁通量,单位：韦伯(Wb),10,2.磁通量 磁场的高斯定理,11,磁通量：通过某曲面的磁感线数,匀强磁场中，通过面曲面S的磁通量：,一般情况,12,物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零（故磁场是无源的）.,磁场高斯定理,13,2）关于磁单极：,将电场和磁场对比：,qm 磁荷,1）,磁场的基本性质方程,由电场的高斯定理,可把磁场的高斯定理写成与电场类似的形式,q0 自由电荷,见过单独的磁荷吗？,14,1931年 Dirac预言了磁单极子的存在,量子理论给出电荷q和磁荷qm存在关系：,预言：磁单极子质量：,这么大质量的粒子尚无法在加速器中
3、产生人们寄希望于在宇宙射线中寻找.,只要存在磁单极子就能证明电荷的量子化。,15,例 如图载流长直导线的电流为，试求通过矩形面积的磁通量.,解,16,二、安培环路定理(Amperes circulation theorem),1.安培环路定理的表述,恒电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的积分等于此环路所包围的电流代数和的 0倍。,表达式,符号规定：穿过回路 L 的电流方向与 L 的环绕方向服从右手关系的，I 为正，否则为负。,不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。,17,注意：,1.安培环路定理表达式中的电流是指闭合曲线所包围，并穿过的电流，不包括闭合曲线以外的电流。,2.安培环路定理表达式
4、中的磁感应强度B是闭合曲线内外所有电流产生的磁感应强度。,3.电流的符号规定：,当电流方向与积分路径的绕行方向构成右手螺旋关系时电流为正，反之为负。,18,2.安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场,在围绕单根载流导线的垂直平面内的任一回路。,在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路。,r,19,闭合路径L不包围电流，在垂直平面内的任一回路,围绕单根载流导线的任一回路 L,对L每个线元 以过垂直导线平面作参考分解为分量 和垂直于该平面的分量,证明步骤同上,20,围绕多根载流导线的任一回路 L,设 电流过回路，根电流不穿过回路L。令 分别为单根导线产生的磁场,所有电流的总场,穿过回路的电流,任意回
5、路,21,安培环路定理的存在说明磁场不是保守场，不存在标量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十分重要的性质。,安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定对称性的恒磁场问题，就像用高斯定理来处理电荷分布具有一定对称性的静电场问题一样。,根据矢量分析,闭合路径包围的电流为电流密度沿所包围的曲面的积分,安培环路定理微分形式,22,3.安培环路定理的应用,例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。,解：圆柱体轴对称，以轴上一点为圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的圆为安培环路,圆柱外磁场与长直电流磁场相同，而内部的磁场与r成正比；若是柱面电流则内部磁场为零。,23,例2 无限长载流圆柱面的磁场,解,有人说：“因
6、环路不环绕电流时，环路上磁场必为零，由此可证圆柱面内无磁场”，这样的说法对吗？,24,例3 无限大均匀带电(线密度为i)平面的磁场,解 如图，作安培环路abcda，应用安培环路定理,25,26,例4：求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。,由对称性分析场结构,1.磁场只有与轴平行的水平分量；,2.因为是无限长，在与轴等距离的平行线上磁感应强度相等。,解：一个单位长度上有 n匝的无限长直螺线管由于是密绕，每匝视为圆线圈。,27,取 L 矩形回路,ab 边在轴上，cd 边与轴平行，另两个边bc、da 垂直于轴。根据安培环路定理：,其方向与电流满足右手螺旋法则。,无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零
7、，因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为：,28,例5：求载流螺绕环内的磁场。,根据对称性知，在与环共轴的圆周上磁感应强度的大小相等，方向沿圆周的切线方向。磁感线是与环共轴的一系列同心圆。,磁场的结构与长直螺旋管类似，环内磁场只能平行于线圈的轴线(即每一个圆线圈过圆心的垂线),解：设环很细，环的平均半径为R，总匝数为N，通有电流强度为 I。,29,设螺绕环的半径为，共有N 匝线圈。以平均半径 作圆为安培回路 L得：,其磁场方向与电流满足右手螺旋关系。,n 为单位长度上的匝数。,同理可求得在螺绕管外部的磁场为零：,30,例6 无限长导体柱沿轴向通过电流I，截面上各处电流均匀分布，柱半径为R。求
8、柱内外磁场分布。在长为l的一段圆柱内环绕中心轴线的磁通量是多少？,解：电流均匀分布，则电流密度为,根据电流分布的柱对称，取过场点的圆环作为环流的积分路径。,由安环定理有,31,解得,若场点在圆柱内，即,包围的电流为,则磁感强度为,若写成矢量式为,32,解得,若场点在圆柱外，即,包围的电流为,则磁感强度为,33,场的分布为,求长为l的一段磁通量:建坐标如图。,在任意坐标r处 宽为dr的面积元的磁通量为,总磁通为:,34,基本方法：1.利用毕萨拉定律2.某些对称分布，利用安培环路定理3.重要的是典型场的叠加注意与静电场对比,35,例7 一长直电流I在平面内被弯成如图所示的形状,其中直电流 ab和c
9、d的延长线过o电流bc是以o为圆心、以R2为半径的1/4圆弧电流de也是以o为圆心、但，是以R1为半径的1/4圆弧直电流ef与圆弧电流de在e点相切,求：场点o处的磁感强度,36,解：场点o处的磁感强度是由五段特殊形状电流产生的场的叠加，即,由毕萨拉定律得到各电流的磁感强度分别是,方向：,37,例8 通电导体的形状是：在一半径为R的无限长的导体圆柱内，在距柱轴为 d 远处，沿轴线方向挖去一个半径为 r 的无限长小圆柱。如图。,导体内均匀通过电流，电流密度为,求：小圆柱空腔内一点的磁感强度,分析：由于挖去了一个小圆柱，使得电流的分布失去了对轴线的对称性，所以无法整体用安培回路定理求解。但，可以利
10、用补偿法，使电流恢复对轴线的对称性。,38,怎么恢复对称性呢？设想在小圆柱内存在等值反向的电流密度值都等于J 的 两个均匀的电流 结果会出现电流密度值相同 电流相反的完整的两个圆柱电流 1）大圆柱电流：小圆柱内的与通电导体电流方向一致的电流和导体构成 2）小圆柱电流 空间的场就是两个均匀的圆柱电流场的叠加,39,设 场点对大圆柱中心o的位矢为,解:,场点对小圆柱中心o的位矢为,由安环定理可分别求出（见例2）,总场为：,40,如果引入,方向：在截面内垂直两柱轴连线,均匀场,41,例9 宽度为a的无限长的载流平面，电流密度为i，求：在载流平面内与其一边相距为b处一点的磁感强度。,解：将平面看着无穷多的无限长载流导线。然后进行场的叠加。,o,方向：垂直纸面向里,42,应用基本定理分析磁场举例,*例 证明不存在球对称辐射状磁场：,证：,选半径为 r 的球面为高斯面 S，,由题设有：,这与 矛盾。,不存在 形式的磁场。,43,在地磁两极附近，由于磁感线与地面垂直，外层空间入射的带电粒子可直接射入高空大气层内，它们和空气分子的碰撞产生的辐射就形成了极光。,绚丽多彩的极光,44,磁 流 体 船,45,电磁轨道炮,在1ms内，弹块速度可达10km/s,10 6 g，,本节 结束,
