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1、第二章 控制系统的数学模型,2.1列写系统微分方程2.2非线性数学模型的线性化2.3 传递函数2.4 对控制系统的基本要求2.5 信号流程图2.6 脉冲响应函数,描述系统运动的数学模型,状态变量描述状态方程是这种描述的最基本形式,建立系统数学模型的方法,实验法 解析法,输入输出描述 微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图等其它模型均由它而导出,第一节 动态微分方程的编写,用解析法建立系统微分方程的一般步骤,根据基本的物理定律，列写出系统中一个元件的输入与输出的微分方程式确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式,图2-1-L-C电路,例2-1求Uc与
2、Ur的微分方程式 解：由基尔霍夫定律得,消去中间变量，则有:,图2-2 R-C滤波网络,例2-2.试写出图2-2电路的微分方程,解：由基尔霍夫定律列出下列方程组,消去中间变量i1、i2 得,或写作,例2-3.求外力F(t)与质量块m位移(t)之间的微分方程,解：由牛顿第二定律列出方程,即,式中，为阻尼第数；为弹簧的弹性系数。k y(t)弹性拉力,阻尼器阻力,例2-4.试写出图2-4所示直流调速系统的微分方程式,图2-5 G-M 直流调速系统的框图,图2-4 G-M 直流调速系统原理图,列写元件和系统方程式前,首先要明确谁是输入量和输出量，把与输出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有，关系
3、的项写在等号的右方，列写系统中各元件输入输出微分方程式，消去中间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式,放大器,图2-6 直流他励发电机电路图,(2-4),写微分方程式的一般步骤：,直流他励发电机,图2-7 直流他励电动机电路图,假设驱动发电机的转速n0恒定不变，发电 机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁化曲 线为一直线，即/ib=L。,由电机学原理得：,把式（2-6）代入（2-5），则得,（2-5）,（2-6）,（2-7）,式中,直流他励电动机被控制量是电动机的转速n控制量：发电机的电动势EG和负载转矩TL。,由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得,输入量是电动机的转速n，输出量是测速发电机的电压Ufn
4、，假设测速发电机的磁场恒定不变，则Ufn与n成线性关系即有,测速发电机,第二节 非线性数学模型的线性化,非线性数学模型线性化的假设,变量对于平衡工作点的偏离较 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在,微偏法,在给定工作点领域将此非线性函数展开泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。,设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的 关系如图2-9所示，相应的数学表达式为,图 2-9 非线性特性的线性化,在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数,举例,上节在推导直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为直线，实际上发电机的磁化曲线如图2-
5、10所示。,设发电机原工作于磁化曲线的A点，若发电机的励磁电压增加U1，求其增量电势EG的变化规律。,图2-10 发电机的磁化曲线,若励磁电压增量，则有,如果发电机在小信号励磁电压的作用下，工作点A的偏离就较小，这样就可通过点A作一切线CD，且以此切线CD近似代替原有的曲线EAF。在平衡点A处，直流电机的方程为,由式（2-17）减式（2-15），式（2-17）减式（2-15）后得,式（2-19）、（2-20）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点A处受到u1作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的坐标原点不是在O点，而是移到A点。因而发电机的初始条件仍为零。式中N为励磁绕组的匝数。,在实
6、际应用中，常把增量符号“”省去，这样上述两式显然和（2-5）（2-6）完全相同,小结,随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数 和放大 倍数 是不同的。,由线性化引起的误差大小与非线性的程度有关,第三节 传递函数,传递函数的定义,传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。,设线性定系统的微分方程式为,在零初始条件下，对上式进行拉式变换得,（1）传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变换是一种线性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。（2）由于传递函数包含了
7、微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直接写出对应的传递函数，即把微分算子 用复变量s表示，把c(t)和r(t)换为相应的象函数C(s)和R(s)，则就把微分方程转换为相应的传递函数。反之亦然。,小结：,传递函数的性质,传递函数只取决于系统本身的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关 传递函数只适用于线性定常系统 传递函数为复变量S的有理分式，它的分母多项式S的最高阶次n总是大于或等于其分子多项式D的最高阶次m，即nm 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程 一个传递函数是由相应的零、极点组成 一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反映系统内部的特性,图2-12 多输入
8、多输出系统,由图2-12得,对于多输入多输出的系统，要用传递函数关系阵去描述它们间的关系，例如图2-12所示的系统,典型环节的传递函数,特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化,比例环节,惯性环节,特点：输出量延续地反映输入量的变化规律,微分方程,积分环节,特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有,图2-13 积分环节模拟电路图,例如图2-13所示的积分器，其传递函数为,微分环节,理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即,图2-14 微分环节模拟电路图,1）实际的微分环节，如图2-14所示，它的传递函数为：,振荡环节,特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却是
9、周期振荡形式,微分方程,具有式（2-33）形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如,传递函数,1）R-L-C电路的传递函数,2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数,3）直流他励电动机在变化时的传递函数,上述三个传递函数在化成式（2-33）所示的形式时，虽然它们的阻尼比和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足01，则它们都是振荡环节。,纯滞后环节,图2-16纯滞后 环节模拟电路图,则,如果,第四节 控制系统的方框图,绘制系统方框图的一般步骤,1、写出系统中每一个部件的运动方程式2、根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个部件用一个方框表示在框中填入相应的传递函数,3、根据信号的流向，将各方
10、框单元依次连接起来，并把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置于最右端,2）画出上述两式对应的方框图,3）将两方框图按信号的流向依次连接，求得2-19C的系统方框图,例2-5 绘制图2-18所示电路的方框图,1）列方程,1、串联连接,图2-23,通式：,方框图的等效变换,由图2-24得,通式：,2、并联连接,图-2-24,3、反馈连接,图2-25,1）负反馈连接,2）正反馈连接,例如,图2-26,4、引出点移动,1）引出点后移,2）引出点前移,5、综合点移动,1）综合点后移,2）综合点前移,例2-27，求图2-27所示系统的传递函数C(s)/R(s),解：将图中引出点A后移,然后从内回路
11、到外回路逐步化简,其过程为图2-28所示,图2-27,图2-28,控制系统的传递函数,设系统如图2-30所示,图中R(s)参数输入,D(s)扰动,1、开环传递函数,系统反馈量B(s)与误差信号E(s)的比值称为开环传递函数。即,图2-30,2、参改输入作用下的闭环传递函数,令D(s)=0，则图2-30变为图2-31,根据式（2-39）求得,图2-31,系统的输出为,如果H(s)=1，则图2-31所示的系统为单位反馈系统，它的闭环传递函数为,图2-32,3、扰动D(s)作用下的闭环传递函数,令r(t)=0，把图2-30改画为图2-32，由该图求得,当系统同时受到R(s)和 D(s)作用时，由叠加
12、原理得系统总的输出为,系统总的误差为,第五节 信号流图和梅逊公式的应用,信号流图也是一种图示法，反它应用于线性系统时必须先将系统的微分议程组变成以S为变量的代数方程组，且把每个议程改写为下列的因果形式,信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路,节点在图中用“O”表示，它表示系统中的变量；两变量间的因果关系用一被称为支路的有向线段来表示。箭头表示信号的传输方向，两变量间的因果关系叫做增益，标明在相应的支路旁例一个线性方程为,举例说明信号流图绘制的步骤。设一系统的线性方程组为,绘制的步骤如图2-35所示。,自动控制理论,图2-35 方程组的信号流程,信号流图的术语和性质,1、术语,1）节点代表系统
13、中的变量,并等于所有流入该节点的信号之和。2）支路信号在支路上按箭头的指向由一个节点流向另一个节点3）输入节点或源点相当于自变量，它只有输出 支路。4）输出节点或阱点它是只有输入支路的节点，对应于因变。5）通路沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通路 开通路通路与任一节点相交不多于一次 闭通路通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节点相交 不多于一次6）前向通路从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次，此通路自然保护区为前向通路7）回路就是闭环通路8）不接触回路批一些回路间没有任何公共节点 9）前向通路增益在前向通路中多支路增益的乘积。10）回路增益回路中多支路增益的乘积
14、。,自动控制理论,2、性质,1）信号流图只适用于线性系统2）支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号只能沿着支路上的箭头指向传递3）要节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并反相加后的信号传送到甩有的输出支路4）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理5）对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。,自动控制理论,图2-36列出了部分常见控制系统的方框图和相应的信号流图。,图2-36 框图与相应的信号流图,自动控制理论,梅逊增益公式,梅逊公式用于计算输入节点与输出节点间的总增益，它用下式表示,自动控制理论,图2-37,自动控制理论,解：,自动控制理论,1）,2）,
