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1、第6讲 单自由度系统在一般激励下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,6.1 周期激励作用下的受迫振动 6.2 任意激励作用下的受迫振动 6.3 响应谱,周期振动,展成傅氏级数,n=1,2,3,n=1,2,3,6.1 周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,一个周期振动可视为频率顺次为基频 及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。,在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析,周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。,周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。,周期振动的谐波分析,6.1 周期激励
2、作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。这种分析振动的方法称为频谱分析。由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。,周期振动的谐波分析,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项近似表示周期振动。例 已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。,解矩形波一个周期内函数F(t)可表示为,表示F(t
3、)的波形关于t轴对称，故其平均值为零。,周期振动的谐波分析,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,n=1，2，3,于是，得F(t)的傅氏级数,F(t)是奇函数，在它的傅氏级数中也只含正弦函数项。在实际的振动计算中，根据精度要求，级数均取有限项。F(t)的幅值频谱如图所示。,周期振动的谐波分析,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,非周期函数的连续频谱,函数f(t)的傅氏积分公式,f(t)的傅氏变换,又称非周期函数f(t)的频谱函数。频谱函数的值一般是复数。,连续频
4、谱,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 试求图示单个矩形脉冲的频谱图形。,可求得频谱函数,f(t)的傅氏积分为,解:f(t)可表示为,非周期函数的连续频谱,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,其振幅频谱,频谱图,傅氏积分和变换，是研究瞬态振动与随机振动的重要工具。实际应用时，可使用计算机运算或应用各种快速傅氏分析仪器(FFT)。,非周期函数的连续频谱,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,6
5、.1周期激励作用下的受迫振动,先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。,设粘性阻尼系统受到周期激振力,谐波分析方法，得到,系统的运动微分方程为,Mechanical and Structural Vibration,由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 弹簧质量系统，受到周期性矩形波的激励。试求系统的稳态响应。(其中),解：周期性矩形波的基频为
6、,矩形波一个周期内函数,将矩形波分解为,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,可得稳态响应,将矩形波分解为,从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。,画出系统的响应频谱图,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,6.2任意激励作用下的受迫振动,物块受到冲量的作用时，物块的位移可忽略不计。但物块的速度却变化明显。根据力学中的碰撞理论，可得物块受冲量作用获得的速度
7、,对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。,1.用冲量描述瞬态作用,Mechanical and Structural Vibration,如果取 为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应,初位移,初速度,得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应,如果 作用在 的时刻，未加冲量前，系统静止，则物块的响应为,6.2任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,同理，如果在t=0时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，得其响应,如果 作用在 的时刻，则物块的响应为,6.2任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Str
8、uctural Vibration,用(t)函数表示作用在极短时间内冲击力,6.2 任意激励作用下的受迫振动,表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但它对时间积分是有限数1。,函数的定义是,从积分式可见，如果时间以秒计，(t)函数的单位是1/s。,用单位脉冲(unit impulse)函数(t)表示冲击力,Mechanical and Structural Vibration,如果在t=0的瞬时施加冲量，则相应的冲击力,当，即施加单位冲量时，冲击力为,F是冲击力,(t)函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。,单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为,6.2任意激励作用下的
9、受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为,单位脉冲力作用等价于冲量 作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，,根据初始条件可确定A和。最后得其响应,6.2任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,为了应用方便，单位脉冲函数的响应用h(t)表示。得单自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应,有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应,称为单自由度系统的时域响应函数,6.2任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibrati
10、on,h(t)有以下特性,不难发现h(t)的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实质上是系统动特性在时域的一种表现形式。h(t)是单位脉冲冲量的响应，其量纲为位移/冲量。,系统对单位脉冲力的响应,6.2任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,6.2任意激励作用下的受迫振动,作用有一任意激振力F(t),欠阻尼情形物块的运动微分方程,将激振力看作是一系列元冲量的叠加,元冲量为,得到系统的响应,Mechanical and Structural Vibration,由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应等于系统在 时间区间内各个元冲量的
11、总和，即,得到系统的响应,6.2任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,上式的积分形式称为卷积。因此，线性系统对任意激振力的响应等于激励与单位脉冲响应函数的卷积。这个结论称为博雷尔(Borel)定理，也称杜哈梅(Duhamel)积分。,对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应,用单位脉冲函数响应表示，得到单自由度系统对任意激振力响应的统一表达式,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为,对于无阻尼振动系统的响应为,t t
12、1 即激振力停止作用后，物块的运动称为剩余运动。,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 无阻尼弹簧质量系统受到突加常力F0的作用，试求其响应。,积分后得响应为,代入,在突加的常力作用下，物块的运动仍是简谐运动，只是其振动中心沿力F0的方向移动一距离,解：取开始加力的瞬时为t=0，受阶跃函数载荷的图形如图所示。设物块处于平衡位置，且。,也是弹簧产生的静变形。,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,若阶跃力从t=a 开始作用，则系统的响应为,t a,6.2 任
13、意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,解：在 阶段，系统的响应显然与上例的相同，即,例2-10 无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲,作用，试求其响应。,当t t1时，F(t)=0，得,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,系统的响应为,t t1,实际上，在t t1阶段，物块是以t=t1的位移x1和速度 为初始条件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。,将初始条件,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibratio
14、n,6.2 任意激励作用下的受迫振动,作为研究线性振动系统的工具，拉普拉斯变换方法有广泛的用途。它是求解线性微分方程，特别是常系数的线性微分方程的有效工具。用拉氏变换可简单地写出激励与响应间的代数关系。,现在说明如何用拉氏变换方法求解单自由度具有粘性欠阻尼系统对任意激励的响应。由物块的运动微分方程,其中f(t)表示任意激振力。并设t=0时，,对式两端各项作拉氏变换,Mechanical and Structural Vibration,如不计运动的初始条件，即令，则写成,在拉氏域中，系统的响应是系统的传递函数和激励的乘积。,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Str
15、uctural Vibration,对式两端各项作拉氏变换,经整理得,是系统的响应在拉氏域中的表达式,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 具有粘性欠阻尼的系统，受到阶跃力F(t)=F0的作用，且 t=0时，试用拉氏变换方法求系统的响应。,解：系统的传递函数由式求出,阶跃力的拉氏变换为,响应的拉氏变换为,引入记号,上式写成,例 题,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,其中系数可由部分分式方法确定,最后得到,对上式作拉氏逆变换，即得响应,例 题,6.2 任
16、意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 题,系统基础有阶跃加速度，初始条件为，求质 量m的相对位移。,解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为,系统的激振力为,可得响应为,其中,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 题,解：由上题可得系统的微分方程为,基础有阶跃位移,系统的激振力为,可得响应为,上题中，若基础有阶跃位移，求零初始条件下的绝对位移。,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 题,求系统响
17、应。,解：由图得激振力方程为,当 0 t t1时，,当 t t1时，,零初始条件的无阻尼系统受图的半正弦脉冲作用，若,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 题,无阻尼系统的支承运动加速度如图，求零初始条件下系统的相对位移。,解：系统运动的微分方程为,支承运动加速度方程为,当 0 t t1时，,当 t t1时，,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,响应谱是系统在给定激励下的最大响应值与系统或激励的某一参数之间的关系曲线图。最大响应值可以是系统的最大位移、最
18、大加速度、最大应力或出现最大值的时刻等；参数可以选择为系统的固有频率或激励的作用时间等。响应谱中有关的量都化为无量纲的参数表示。响应谱在工程实际中是很重要的，它揭示出最大值出现的条件或时间等。如受迫振动的幅频特性曲线。当振动系统已定，激振力的大小已定时，该曲线表示出受迫振动的振幅和激振力频率的关系。振幅就是振动位移的最大值，由曲线便能确定最大振幅出现时的激振力频率的值。因此，幅频特性曲线就是一种响应谱。,6.3 响应谱,Mechanical and Structural Vibration,现以前例中，在矩形脉冲 作用下的系统为例，说明响应谱的概念。,当 时,其中，表示静力F0使弹簧产生的变形
19、。,当 时,在此阶段，物体作自由振动，振幅为,6.3响应谱,Mechanical and Structural Vibration,当t1 时x(t)与 都是正值，x(t)单调增加，其极值出现在t t1的范围，而且等于剩余振动的振幅。,如果以 为纵坐标，xm表示位移的极值，为横坐标，式的图形就是矩形脉冲力的位移响应谱，如图。,6.3响应谱,Mechanical and Structural Vibration,如用tm表示出现位移极值的时刻，由式求出速度的表达式,令，得,它表示在矩形脉冲力的作用下其位移极值出现的时刻与作用力持续时间的关系。,式的图形就是响应谱,6.3响应谱,Mechanical and Structural Vibration,
