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1、第2章 拉普拉斯变换及其应用,2.1 拉氏变换的概念2.2 拉氏变换的运算定理2.3 拉氏反变换2.4 拉氏变换应用举例,2.1 拉氏变换的概念,本章简要叙述拉氏变换（和拉氏反变换）的概念、拉氏变换的运算定理和应用拉氏变换求解微分方程的基本方法，并通过拉氏变换应用举例，介绍了典型一、二阶系统的单位阶跃函数和典型一阶系统的单位斜坡响应。拉普拉斯变换（The Laplace Transfrom）（简称拉氏变换）是一种函数的变换，经变换后，可将微分方程式变换成代数方程，并且在变换的同时即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，因此这种方法可以使微分方程求解题的过程大为简化。在经典自动控制理
2、论中，自动控制系统的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上的，因此，拉氏变换是经典控制理论的数学基础。,下一页,返回,2.1 拉氏变换的概念,若将实变量的函数，乘以指数函数(其中，是一个复变数)，再在0到之间对进行积分，就得到一个新的函数。称为拉氏变换式，并可用符号 表示。上式称为拉氏变换的定义式。为了保证式中等号右边的积分存在（收敛），应满足下列条件：当，；当，分段连续；当，较 衰减得更快。,上一页,下一页,返回,（2.1）,2.1 拉氏变换的概念,由于 是一个定积分，t 将在新函数中消失。因此，只取决于s，它是复变数s的函数。拉氏变换将原来的实变量函
3、数 转化为复变量函数。拉氏变换是一种单值变换。和 之间具有一一对应的关系。通常前者称为原函数，后者为象函数。由拉氏变换的定义式，可以从已知的原函数求取对应的象函数。例如例一：求单位阶跃函数（Unit Step Function）的象函数。在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合(或断开)。在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式,上一页,下一页,返回,2.1 拉氏变换的概念,见图2-1（a）则单位阶跃函数1（t）定义为 见图2-1（b）所以 在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作用信号。由式(2.1)有,上一页,下一页,返回,2.1 拉氏变换的概念,例
4、二：求单位脉冲函数(Unit Puise Fuction)的象函数。设函数 函数的特点是 单位脉冲函数 定义为：在 时及在 时为0，在t=0时，由；又由。但对时间的积分为1。即,上一页,下一页,返回,见图2-2（a）,见图2-2（b）,（2.2）,2.1 拉氏变换的概念,在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号。它的变换式由式（2.1）有,上一页,下一页,返回,(2.3),2.1 拉氏变换的概念,例三：求 与 间的关系 由以上两例可见，在区间（0，）里，而，所以由上式有,上一页,下一页,返回,（2.4）,2.1 拉氏变换的概念,由上式有（2.5）由式（2.4）和式(2.5)可知：单
5、位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数。反之，单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数。例四：求斜坡函数（Ramp Function）的象函数。斜坡函数的定义式为：在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号。同理，根据拉氏变换的定义式有：,上一页,下一页,返回,式中k为常数,2.1 拉氏变换的概念,若式K=1，即单位斜坡函数,上一页,下一页,返回,（2.6）,2.1 拉氏变换的概念,例五：求指数函数（Exponential Function）的象函数。由式（2.1）有 例六.求正弦函数（Sinusoidal Function）的象函
6、数。,上一页,下一页,返回,（2.7）,2.1 拉氏变换的概念,实用上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表，就能够知道原函数的象函数，或象函数的原函数，十分方便。,上一页,返回,(2.8),2.2 拉氏变换的运算定理,在应用拉氏变换时，常需要借助于拉氏变换运算定理，这些运算定理都可通过拉氏变换定义式加以证明，现分别叙述如下：一、叠加定理两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即证,下一页,返回,2.2 拉氏变换的运算定理,二、比例定理K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。即,上一页,下一页,返回,（2.10）,2.2 拉氏变换的运算定理,三、微分定
7、理 及在零初始条件下,上一页,下一页,返回,（2.11）,2.2 拉氏变换的运算定理,当初始条件 时，同理，可求得 若具有零初始条件，即 则,上一页,下一页,返回,2.2 拉氏变换的运算定理,上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的阶导数的拉氏式等于其象函数乘以。这使函数的微分运算变得十分简单。它是拉氏变换能将微分运算转换成代数运算的依据。因此微分定理是个十分重要的运算定理。四、积分定理,上一页,下一页,返回,（2.13）,（2.14）,2.2 拉氏变换的运算定理,上一页,下一页,返回,2.2 拉氏变换的运算定理,当初始条件 时，由上式有同理，可以证明在零初始条件下有,上一页,下一页,返回,
8、2.2 拉氏变换的运算定理,上式同样表明，在零初始条件下，原函数的重积分的拉氏式等于其象函数除以。它是微分的逆运算，与微分定理同样是十分重要的运算定理。五、位移定理上式表明，原函数 乘以因子 时，它的象函数只需把 中的用s代替s+a即可。也就是将 平移了位置a。,上一页,下一页,返回,2.2 拉氏变换的运算定理,六、延迟定理 原函数 延迟t时间，即成为，参见图2-3。由图2-3可见，当 时，以新变量置换，设，既，当t由 时，则x由，代入上式，可得,上一页,下一页,返回,（2.16）,2.2 拉氏变换的运算定理,上式表明，当原函数 延迟，即成为 时，相应的象函数 应乘以因子。七、相似定理（2.1
9、7）证 对上式进行变量置换，令，则，于是上式可写为,上一页,下一页,返回,2.2 拉氏变换的运算定理,上式表明，当原函数 的自变量t变化1/a时，则它对应的象函数 及变量s将按比例变化a倍。八、初值定理 证由微分定理有 当 时，对上式左边取极限有，以此代入上式有 即（证毕）,上一页,下一页,返回,（2.18）,2.2 拉氏变换的运算定理,上式表明原函数 在t=0 时的数值（初始值），可以通过将象函数乘以s后，再求 的极限值求得。条件是当 和 时等式两边各有极限存在。九、终值定理 由微分定理有 对上式两边取极限由于当 时，所以等式左边可写成,上一页,下一页,返回,（2.19）,(2.20),2.
10、2 拉氏变换的运算定理,以上式代入式(2.20),两边消去,得（证毕）上式表明原函数在 时的数值(稳态值),可以通过将象函数乘以s后,再求 的极限值来求得.条件是当 和 时,等式两边各有极限存在。终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差求取系统输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。由于拉氏变换具有上述这些简明的运算定理，使拉氏变换的应用更加方便。,上一页,返回,2.3 拉氏反变换,由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变换Inverse Laplace Transform)。拉氏反变换常用下式表示拉氏变换和反变换是一一对应的，所以，通常可以通过
11、查表来求取原函数。在自动控制理论中常遇到的象函数是的有理分式，即这种形式的原函数般不能直接由拉氏变换对照表中查得，因此，要用部分分式展开法先将 化为一些简单分式之和。这些分式的原函数可以由查表得到。则所求原函数就等于各分式原函数之和。,下一页,返回,2.3 拉氏反变换,展开部分分式的方法是先求出方程 的根s1，s2，sn。于是，可以写为如下形式 再将上式展开成部分分式 式中c1，c2，cn为待定系数。求待定系数有多种方法，这里仅作简单介绍。,上一页,下一页,返回,（2.20）,2.3 拉氏反变换,1、无重根这时可将 换写为n个部分分式之和，每个分式分母都是的一个 因式，即 如果确定了每个部分分
12、式中的待定系数c1，则由拉氏变换表即可查得 的反变换。如求c1时，用 乘以式(2.20)，并令s=s1，即：,上一页,下一页,返回,（2.21）,2.3 拉氏反变换,在上式中，当s=s1时，(s-s1)=0，所以方括号中的各项将为零。于是，同理，其余系数可由下式求出：全部待定系数求出后，运用线性性质，并参照式(2.7)，即可求得,上一页,下一页,返回,（2.22）,（2.23）,2.3 拉氏反变换,2、有重根 设 时，在s=s1处有r个重根，这时 可展开成如下部分分式之和 式中，为在s=s1处不等于零的函数。将式（2.24）乘以，得 当，上式含 的项均为零，于是有,上一页,下一页,返回,（2.
13、24）,（2.25）,（2.26）,2.3 拉氏反变换,若将式（2.25）对s求导数得同理，当 时，上式含 的项均为零，于是有依次类推，可得：,上一页,下一页,返回,2.3 拉氏反变换,将已求得的各待定系数Ar、A(r-1)、A1代入，再根据表21（如第6行）求得各对应项的拉氏反变换式（即各原函数项），于是原函数f(t)为：在上式中，由 式（2.23）可求得。当然，对比较简单的象函数，除应用上述方法外，也可用直接通分的方法来求取待定系数。,上一页,返回,（2.27）,2.4 拉氏变换应用举例,例一：求典型一阶系统的单位阶跃响应。设典型一阶系统的微分方程为：式中，r（t）为输入信号；c（t）为输
14、出信号；T为时间常数，其初始条件为零。解 对微分方程两边进行拉氏变换有由于，则，代入上式有：,下一页,返回,（2.28）,2.4 拉氏变换应用举例,由上式 用待定系数法可求得A=1，B=-T，代人上式有：对上式进行拉氏反变换由表21可查得 由式（2.29）所表达的响应曲线如图24所示。,上一页,下一页,返回,（2.29）,2.4 拉氏变换应用举例,由式(2.29)和图24可知，它是一根按指数规律上升的曲线。由于典型一阶系统在自动控制系统中是经常遇到的，所以对它的单位阶跃响应曲线应再作进一步的分析：响应曲线起点的斜率m为 由上式可知，响应曲线在起点的斜率m为时间常数T的倒数，T愈大，m愈小，上升
15、过程愈慢。过渡过程时间。由图24可见，在经历T、2T、3T、4T和5T的时间后，其相应的输出分别为稳态值的63.2、86.5、95、98.2和99.3。由此可见，对典型阶系统，它的过渡过程时间大约为（35）T；到达稳态值的95993。,上一页,下一页,返回,（2.30）,2.4 拉氏变换应用举例,例二：求典型阶系统的单位斜坡响应典型一阶系统的微分方程为 上式的拉氏式为 由于为单位斜坡输入r（t）=t，因此，代人上式有 由上式有,上一页,下一页,返回,（2.31）,（2.32）,2.4 拉氏变换应用举例,应用通分的方法，可求得待定系数A=1，B=-T，。以待定系数代入式(2.32)有对上式进行拉
16、氏反变换，由表21可查得各分式对应的原函数，于是可得 由式(2.33)可画出如图25所示的典型一阶系统的单位斜坡响应曲线。由式(2.33)和图25可以看到：典型一阶系统的单位斜坡响应存在着定的稳态误差。对照输出量c（t）和输入量r（t），可得系统的误差e（t）。,上一页,下一页,返回,（2.33）,2.4 拉氏变换应用举例,由上式可以看出，当 时，误差e（t）趋于 T，即 而 称为稳态误差（详见第四章分析）。由式(2.35)可见，时间常数越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。在分析随动系统时，通常以单位斜坡信号为典型输入信号(例如匀速转动时的角位移量便是斜坡信号)。因此例2中的分析方法和
17、结果对分析一般随动系统也有普遍的参考价值。,上一页,下一页,返回,（2.35）,（2.34）,2.4 拉氏变换应用举例,若输入量r（t）为一单位阶跃函数，求下列二阶微分方程的输出量c（t）。解 1.对式(2.36)进行拉氏变换，并以 代入，得由上式有上式中,上一页,下一页,返回,（2.36）,（2.37）,2.4 拉氏变换应用举例,2.为了通过查表求得c（t），需将式(2.37)用部分分式法进行展开，为此，须先求出方程 的根，不难求得此方程的一对根为 由上式可见，对应不同的 值，根 的性质将是不同的。而对不同性质的根，展开部分分式的形式也将是不同的。现分别求解如下（1）当(无阻尼)(零阻尼)时
18、：特性方程的根，即为一对纯虚根时，式(4.37)可展开为,上一页,下一页,返回,（2.38）,2.4 拉氏变换应用举例,应用通分的方法可求得待定系数A=1，B=-1，C=0，代入上式有 由表21可查得由式（2.39）可见，无阻尼时的阶跃响应为等幅振荡曲线。参见图26中的曲线。（3）当（欠阻尼）时：特征方程的根 是一对共轭复根，,上一页,下一页,返回,2.4 拉氏变换应用举例,通常令 则 这时，可将式(2.37)展开为下式，对求取待定系数和拉氏反变换都较为方便。应用通分的方法，可以求得待定系数A=1，B=-1，。代入上式有,上一页,下一页,返回,2.4 拉氏变换应用举例,上一页,下一页,返回,2
19、.4 拉氏变换应用举例,由表21可查得,上一页,下一页,返回,2.4 拉氏变换应用举例,于是对式(2.40)进行拉氏反变换可得：由式(2.41)知，对应不同的（），可画出一簇阻尼振荡曲线，参见图26。由图26可见，愈小，振荡的最大振幅愈大。,上一页,下一页,返回,（2.41）,2.4 拉氏变换应用举例,当（临界阻尼）时：特征方程的根,是两个相等的负实根(重根)。在出现重根时，可参照式(2.24)将式(2.37)展开如下式,上一页,下一页,返回,2.4 拉氏变换应用举例,应用通分的方法可以求得待定系数A=1,C=1。代入上式可得 由2-1可查得上式中各分式的原函数,上一页,下一页,返回,（2.4
20、2）,2.4 拉氏变换应用举例,于是由式（2.42）可得 由式（2.43）可画出如图2-6中 所示的曲线。此曲线表明，临界阻尼时的阶跃响应为单调上升曲线。（4）当（过阻尼）时：特征方程的根，是两个不相等的负实根。此时，式（2.37）可展开为下式,上一页,下一页,返回,（2.43）,2.4 拉氏变换应用举例,上一页,下一页,返回,2.4 拉氏变换应用举例,应用通分的方法可求得待定系数A=1；于是 由表2-1可查得上式各分式的原函数，于是可得,上一页,下一页,返回,（2.44）,（2.45）,2.4 拉氏变换应用举例,由式（2.45）可画出如图2-6中（）所示的曲线。由图2-6可见，过阻尼时的阶跃
21、响应也为单调上升曲线。不过其上升的斜率较临界阻尼更慢。参见图2-6中 与 的曲线。图2-6为典型二阶系统在不同阻尼比的单位阶跃响应曲线。由以上的分析可见，典型二阶系统在不同的阻尼比的情况下，它们的阶跃响应输出特性的差异是很大的。若阻尼比过小，则系统的振荡加剧，超调量大幅度增加；若阻尼比过大，则系统的响应过慢，又大大增加了调整时间。因此，怎样选择适中的阻尼比，以兼顾系统的稳定性和快速性便成了研究自动控制系统的一个重要的课题。我们在例1、例2和例3中对典型一阶系统和典型二阶系统进行分析的方法和所得到的结果，对分析一般自动控制系统具有普遍的参考价值。,上一页,返回,图2-1 单位阶跃函数,返回,图 2-2 单位脉冲函数,返回,图2-3 延迟函数,返回,图24 典型阶系统的单位阶跃响应曲线,返回,图25 典型一阶系统的单位斜坡响应,返回,图2-6 典型二阶系统的单位阶跃响应曲线,返回,
