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1、2.5特征值与特征向量,复习回顾,1矩阵 的行列式为,若有 则矩阵 存在逆矩阵.,3.逆矩阵的求解,复习回顾,5.设线性方程组为,复习回顾,6.用逆矩阵解决二元一次方程组的求解过程:,复习回顾,巩固练习,1、若矩阵M对应的变换是关于原点对称的反射变换，则矩阵M-1=_;,2.已知矩阵M=,则矩阵M不存在逆矩阵的充要条件为_;,ad-bc=0,3.将二元一次方程组，写成矩阵方程的形式为_;,学习目标:1.掌握特征值与特征向量定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义；2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量；3.利用矩阵M 的特征值,特征向量给出M n的简单表示；,2.5特征值与特征向量,【探究】1、
2、计算下列结果：,以上的计算结果与 的关系是怎样的？,2、计算下列结果：,以上的计算结果与 的关系是怎样的？,例题分析,工程技术中的一些问题 如振动问题和稳定性问题 常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题 也都要用到特征值的理论,引例:在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中，其中我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y恰巧是输入x的 倍，即；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系.,例如，对系统，若输入则若输入，则,所以，给定一个线性系统A，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数 多少？这显然是控制论中感兴趣的问题.,Mal
3、a,l为矩阵M的特征值,a为矩阵M的属于特征值 l的特征向量.,特征值及特征向量的定义,一、特征值与特征向量的概念,定义1:设为二阶矩阵,若对于实数，存在一个非零向量，使得,则称为的一个特征值，称为的属于特征值的一个特征向量.,一、特征值与特征向量的概念,定义1:设为二阶矩阵,若对于实数，存在一个非零向量，使得,则称为的一个特征值，称为的属于特征值的一个特征向量.,从几何上看特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上.,这时，特征向量或者方向不变（0），或者方向相反（0）.,特别地，当=0时，特征向量被变换成了0向量.,设 l是矩阵A=的一个特征值，它的一个,特征向量为,则,即
4、满足方程组,故,因，所以x,y不全为0，,此时Dx=0、Dy=0.,则D=0,即,建构数学,设矩阵A，lR，我们把行列式,称为A的特征多项式.,分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f(l)=0,此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解,即 为矩阵A的属于l的一个特征向量.,数学运用,例1、求出矩阵A=的特征值和特征向量,总结求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤：,思考 能否从几何变换的角度直接观察出矩阵A的特征向量？,其几何意义是什么？,如果a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量，则对任意的非零常数t，ta也是矩阵A的属于特征值l的特征向量.,【定理1】,属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.,
5、属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.,【定理2】,属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？,思考：,注解1:1.特征值问题只针对方阵而言；,2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量,即一个特征值对应多个特征向量；,3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征向量不能属于不同的特征值,示例 1 求矩阵 的特征值和特征向量.,数学应用,求特征值和特征向量的一般步骤：（1）由 求出所有特征值；（2）求解线性方程组（为特征值），则所得非零解X必为特征向量.,同步归纳,f(l)=0,注解2：（1）不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量只对应一个特征
6、值.,（2）矩阵的特征向量是在变换下的“不变量”；,（3）变换的几何意义:只改变其特征向量的长度不改变其方向！,例2,数学应用,解：第一步 A的特征多项式为,第二步 由f()=0，得A的特征值1=-2，2=1,1、根据下列矩阵对应的变换，写出它的特征值与特征向量：,（1）矩阵A=的特征值为_,则相应的特征向量为_;,（2）矩阵B=的特征值为_,则相应的特征向量为_;,（3）矩阵C=的特征值为_,则相应的特征向量为_;,练一练,2、求出下列矩阵的特征值与特征向量：,练一练,5.已知x,y R，向量 是矩阵 的属于特征值-2 的一个特征向量，求矩阵 A以及它的另一个特征值.,（15江苏高考）,练一练,概念的引入,知识回顾,新课讲解：,已知向量,求实数m,n，使,建构数学,建构数学,任意向量都可以用特征向量来表示.,数学运用,练一练,练一练,课堂小结,将直观观察特征值与特征向量和利用特征多项式来解特征值与特征向量结合起来考虑，互相验证，这也是数学研究的一种常用思路和方法，用形的直观探索解题的道路，用数的严谨求解问题！,作业：,P731、3,
