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1、第五章 相似矩阵与二次型,2 方阵的特征值和特征向量,1 向量的内积,3 相似矩阵,4 对称矩阵的对角化问题,5 二次型及其标准形,6正定二次型,2 方阵的特征值和特征向量,例14,特征值与特征向量的概念,特征值与特征向量的计算,特征值与特征向量的性质,例59,特征值与特征向量的概念,定义,注:,有非零解的值,即满足方程,非,特征值与特征向量的概念,定义,非,程,特征多项式.,特征值与特征向量的计算,定义,非,根据上述定义,即可给出特征向量的求法:,则由齐次线性方程组,可求得非零解,特征向量.,则,完,解,代入与特征方程对应的齐次线性方程组,求矩阵,所以,以,得,基础解系是,的特征值与特征向量
2、.,故,征向量.,解,求矩阵,的特征值与特征向量.,完,得,基础解系是,特征向量.,故,解,特征值,解方程,设,由,基础解系,解,由,基础解系,解方程,由,解,由,得基础解系,故对应于,的全体特征向量为,完,解,特征向量.,的特征值与,解,性无关的向量都是它的基础解系,取单位向量组,作为基础解系,这个方程组的系数矩阵是零矩阵,完,解,因此,的特征值等于,这是一个上三角行列式,因此,完,特征值与特征向量的性质,性质1,证,由,有,故它们的特征值相同.,性质2,则,特征值与特征向量的性质,性质2,则,设,则,完,证,试证:,是,必要性,于是,充分性,对应的特征向量为,由特征值的定义,有,有一个特征
3、值为零.,则,由此可知,证,证明,因,证毕.,故有,使,由,有,知,故,即,于是,定理,阶方阵,互不相等的特征值,对,应的特征向量,线性无关.,证,用数学归纳法.,时,因特征向量不为零,成立.,对应的特征向量,线性无关,设,成立,由,消去,得,结论,定理,阶方阵,互不相等的特征值,对,应的特征向量,线性无关.,证,由,消去,得,于是式化为,定理,阶方阵,互不相等的特征值,对,应的特征向量,线性无关.,注:,线性无关的特征向量;,属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是,属于这个特征值的特征向量;,矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;,一个特征向量,不能
4、属于不同的特征值.,因为,的特征向量,即,定理,阶方阵,互不相等的特征值,对,应的特征向量,线性无关.,因为,的特征向量,即,由,得,与定义矛盾.,故结论成立.,完,解,的线性无关的特征向量组.,的特征多项式为,的特征值以及相应,这个多项式的根为,接下来求特征向量:,对,将,代入,解,接下来求特征向量:,对,将,代入,容易算出这个方程组的系数矩阵秩等于,因此齐,量,不难求出为,得,对,解,对,求出这个齐次线性方程组的基础解系为,正好等于,因此,个,个,的阶数,完,证,按题设,故,用反证法,则应存在数,于是,即,证明,有,的特征向量.,不是,使,对,故由上式得,因,证,用反证法,在数,于是,即,证明,的特征向量.,不是,使,对,故由上式得,因,则应存,即,与题设矛盾.,因此,完,证,即,正交矩阵的实特征值的绝对值为,的特征向量,则,因,又,所以,得,根,证,正交矩阵的实特征值的绝对值为,根,在教科书中,上述两种表示法均可使用.,零解.,的非零解,完,
