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1、第一章 函数的极限与连续,1.1 函数的极限,一、函数的概念,二、函数的极限,三、无穷小与无穷大,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,1、函数的概念,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,(1)符号函数,几个特殊的函数举例,(3)取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的,式子来表示的函数,称为分段函数.,(3)分段函数,例1,解,故,有界,无界,（1）函数的有界性:,2、函数的性质,（2）函数的单调性:,（3）函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,（4）函
2、数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,对于函数f(x)，若存在一个不为零的数l，使得关系式 对于定义域内任何x值都成立，则 f(x)叫做周期函数，l 称为是f(x)的周期。,(1)反函数,3、反函数与复合函数,设函数的定义域为D，值域为W.若对yW，D上都有唯一确定一个数值 x 与 之对应，且(x)=y.若把 y 看作自变量,x 看作因变量,则称函数x=f-1(y)为函数 y=(x)的反函数.而原函数 y=(x)为直接函数;x,y 互换便有y=(x)（y=f-1(x)）,从而函数与反函数定义域、值域及图象间有一定的关系.,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,（2）复合函
3、数,例：,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,例如：,例如：,(1)幂函数,4.初等函数,(2)指数函数,(3)对数函数,(4)三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,(5)反三角函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,我们以后遇到的函数大多都是初等函数，分段函数除外。,思考题1,思考题1解答,设,则,故,二、函数的极限,领域：设是某个正数，称
4、开区间(x0-,x0+)为以为x0中心，以为半径的邻域，简称点x0的邻域，记为U(x0,),空心领域：,1.x 时函数(x)的极限,（1）设函数(x)，当x0且无限增大时，函数(x)趋于一个确定的常数A，则称函数(x)当 x 时以A为极限.记,如：,(2)设函数(x),当x0且x的绝对值无限增大时，函数(x)趋于一个确定的常数A，则称函数(x)当 x 时以A为极限.记,如：,定义2：设函数(x),当x的绝对值无限增大时，函数(x)趋于一个确定的常数A，则称函数(x)当 x 时以A为极限.记,定理1 函数y=(x)当x 时极限存在且为A的充要条件是函数y=(x)当 x 与 x 时极限都存在且等于
5、A.即,例2,2.xx0 时函数(x)的极限,当x从大于1和小于1的方向趋于1即当x 1时,函数(x)无限接近于1,记为 f(x)1,o,x,y,1,1,y=x,(1,1),例3 函数 y=(x)=x(如右图),例如,例4,注：(3)中函数虽在x=1处无定义,但 x时极限却存在.这说明函数在 x0点的极限是否存在与函数在 x0 处有无定义无关.这是因为函数在 x0点的极限是函数在 x0 附近的变化趋势,而不是在 x0处函数值。,如,3.函数(x)的左、右极限,(1)左极限,当x 从 x0 左侧(小于)趋于x0 时,(x)以A为极限.则 A是(x)在 x0处的左极限.记为,则只能考察 x 从 0
6、 的右侧趋于,0 时的极限.因而必须引进左、右极限的概念.,(2)右极限,当x从 x0 右侧(大于)趋于x0 时,(x)以A为极限.则A是(x)在 x0 处的右极限.记为,左极限和右极限统称为单侧极限.它们之间有如下关系:,定理2.函数y=(x)当 xx0 时极限存在且为A的充要条件是函数y=(x)的左极限和右极限都存在且等于A。即,此定理给出了怎样利用单侧极限判断函数极限存在的方法;特别对分段函数适用.,例5 设(x)=|x|,求,解 因,则,故,讨论下列函数当 x 时的极限.,o,x,y,y=|x|,例6 y=x在 x1 时极限是否存在？,解 因,故,例7,解 因,三、无穷小量与无穷大量,
7、研究函数极限时,有两种变量非常重要.一种是在极限过程中变量可以无限变小,而且要多么小就有多小;一种是在极限过程中,变量可以无限变大,而且要多么大就有多大.我们分别将它们称为无穷小量和无穷大量.,1.无穷小量,定义4 以零为极限的变量称为无穷小量.例:,注1.很小很小的非零常量不是无穷小量,但数“0”是无穷小量;而无穷小量却不一定是数“0”,仅极限值为0.,无穷小量的性质:,性质1.,注2.无穷小量与自变量的变化过程有关.,性质2.有界变量(x)与无穷小量(x)之积仍为无穷小量.,例,2.无穷大量,注1 无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量,而不是一个很大的常量.当(x)取正值无限增大(取负值
8、绝对值无限增大)时,称为正无穷大量(负无穷大量).,注2 通常,记为,是极限不存在的记号,定义5 如果 时，无限增大，则称函数(x)为该变化过程下的无穷大量.记为,无穷小量与无穷大量的关系：,定理3 在自变量的同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零无穷小量的倒数为无穷大量.,由此定理可知,要证,例8 求,只需证,即可.,(1)若,3.无穷小量阶的比较,无穷小量都是以0为极限,但它们趋于0的“速度”却不一定相同.例,y=2x,y=x,为了描述这种情况,有下述定义:设(x),(x)是同一极限过程中的两个无穷小量,则称(x)是比(x)更高阶的,无穷小量,记为(x)=o(x),(3)若,则称(x)是比(x)更低阶的无穷小量,记为,(2)若,则称(x)与(x)是同阶的无穷小量,特别地,当C=1时,则称(x)与(x)是等价的无穷小量,记为(x)(x),(x)=O(x).,例:,故当 x0时,x与2 x 是同阶的无穷小量.,故当 x时,x2是比 x 更高阶的无穷小量.,故当 x0时,sin x与x是等价的无穷小量.,作业：习题1.1：1、2、6、8、9,
