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1、第2章 导数与微分,1.1 导数的概念1.2 导数的运算1.3 微分,结束,定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，属于该邻域，记 若存在，则称其极限值为y=f(x)在点x0 处的导数，记为,或,2.1 导数的概念,导数定义与下面的形式等价：,若y=f(x)在x=x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y=f(x)在x=x0 不可导，此时意味着不存在.,左导数与右导数 左导数:,右导数:,显然可以用下面的形式来定义左、右导数,定理3.1 y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.,导数的几何意义,当自变量 从变化到 时，曲
2、线y=f(x)上的点由 变到,此时 为割线两端点M0，M的横坐标之差，而 则为M0，M 的纵坐标之差，所以 即为过M0，M两点的割线的斜率.,曲线y=f(x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近 时的极限位置M0P，因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：,所以，导数 的几何意义是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率.,M0,M,设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：而当 时,曲线 在 的切线方程为,(即法线平行y轴).,当 时,曲线 在 的法线方程为,而当 时,曲线 在 的法线方程为,例1 求函数 的导数解:(1
3、)求增量:(2)算比值:(3)取极限:同理可得:特别地,.,例2 求曲线 在点 处的切线与法线方程.解:因为,由导数几何意义,曲线 在点 的切线与法线的斜率分别为:于是所求的切线方程为:即法线方程为:,即,2.1.2 可导性与连续性的关系,定理2 若函数y=f(x)在点x0处可导，,则f(x)在点x0 处连续.,例3 证明函数 在x=0处连续但不可导.,证 因为,所以 在x=0连续,而,即函数 在x=0处左右导数不相等,从而在,x=0不可导.,由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件,即可导定连续,连续不一定可导.,2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则,2.2
4、导数的运算,特别地,如果,可得公式,注：法则（1）（2）均可推广到有限多个可导函数的情形,例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，则,解：,例2 设,解：,例1,解：,即,类似可得,例3 求y=tanx 的导数,基本导数公式表,2.2.2 基本初等函数的导数,解：,例4,2.2.3 复合函数的导数,例6,解：,解：,例5,1.隐函数的导数,例7 求方程 所确定的函数的导数,解：,方程两端对x求导得,2.2.5 隐函数的导数,隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出。,即,例8,2.3.1 微分的概念,2.3 微分,于是函数,，称自变量的微分，,上式两端同除以自变量的微分，得,因此导数也称为微商,f(x)在点x0 处的微分又可写成,f(x)在(a,b)内任一点x处的微分记为,记为,解：,于是,2.3.3 微分的运算法则,1.微分的基本公式：,2.微分的四则运算法则,设u=u(x)，v=v(x)均可微，则,（C 为常数）；,
