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1、甘朝华,第五章 图形的几何变换,5.1 齐次坐标表示5.2 二维几何变换5.3 通用二维复合变换5.4 二维坐标系变换5.5 三维空间的几何变换,图形的几何变换是计算机图形学中利用简单基本图元生成复杂场景的主要方法之一;同时在观察过程中通过对图形进行一系列连续的几何变换可方便达到用户的要求。图形的几何变换一般是指将表示图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形的过程。,5.1 齐次坐标表示,在计算机图形学中使用齐次坐标技术，图形几何变换中的复杂计算可通过将图形的点集矩阵与某些变换矩阵相乘的方式来实现，从而可以利用计算机的高速运算功能。,5.1 齐次坐标表示,齐次坐标表示法就是用n+1维矢量表示一
2、个n维矢量。即n维空间中的点的位置矢量(P1,P2,Pn)被表示为具有n+1个坐标分量的位置矢量(hP1,hP2,hPn,h)，且不唯一。规范化齐次坐标表示?,5.1 齐次坐标表示,采用齐次坐标表示法的优点：(1)用变换矩阵实现对图形的几何变换；(2)它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法；(3)它可以表示无穷远的点。,5.2 二维几何变换,平移、旋转和缩放是所有图形软件均支持的基本几何变换形式，在有些软件包中还支持反射和错切变换。,5.2 二维几何变换,平移（translation）变换:通过将平移位移量加到一个点的坐标上来生成一个新的
3、坐标位置的过程来实现。,5.2.1 二维平移变换,5.2 二维几何变换,旋转（rotation）变换:通过指定一个旋转轴和一个旋转角度，将图形对象按指定角度围绕旋转轴旋转的刚体变换。二维对象的旋转:在xoy平面内进行，旋转轴垂直于xoy平面并穿过平面上的某一坐标点，该坐标点称为旋转基准点。,5.2.2 二维旋转变换,5.2 二维几何变换,5.2.2 二维旋转变换,5.2 二维几何变换,缩放（scaling）变换:是一种改变图形对象大小的非刚体变换。,5.2.3 二维缩放变换,5.2 二维几何变换,当Sx、Sy取不同值时，图形可产生多种变化，典型的4种情况如下：当Sx=Sy=1时，为恒等比例变换
4、，即图形不变。当Sx=Sy1时，图形沿两个坐标轴方向等比例放大。当Sx=Sy1时，图形沿两个坐标轴方向等比例缩小。当SxSy时，图形沿两个坐标轴方向作非均匀的比例变换。,5.2.3 二维缩放变换,5.2 二维几何变换,经过缩放变换既可以改变物体的大小，同时也改变了图形对象的位置。为了控制缩放后对象的位置，可使图形对象以某一固定点为参考进行缩放变换。,5.2.3 二维缩放变换,5.2 二维几何变换,分类:(1)图形是由顶点集合组成，且相邻顶点间有线段相连，如多边形、曲线等。对每一顶点施加几何变换(2)以某些参考点为中心并使用某种算法来生成的图形，如圆锥曲线。选择中心点变换,对其他控制量进行变换（
5、3）可用参数表示的曲线或曲面图形。直接进行几何变换,复杂图形的几何变换,5.2 二维几何变换,反射（reflection）变换:是围绕某一反射轴产生镜像图形的变换。,5.2.4 反射变换,写出它们的变换矩阵？,5.2 二维几何变换,错切（Shear）变换:是一种使对象形状相对某个坐标轴发生比例变化的变换。其效果相当于对象内部夹层沿某一坐标方向发生滑动。,5.2.5 错切变换,写出它们的变换矩阵？,5.3 通用二维复合变换,复合变换:是指图形在几何上发生一次以上变换，其变换结果是每次的变换矩阵相乘。,5.3 通用二维复合变换,5.3.1 复合二维平移,5.3 通用二维复合变换,5.3.2 复合二
6、维旋转,5.3 通用二维复合变换,5.3.3 复合二维缩放,5.3 通用二维复合变换,旋转、缩放变换过程均与参考点有关，前述基本几何变换都是相对于坐标原点的变换。,5.3.4 相对任一参考点的二维几何变换,5.3 通用二维复合变换,而相对于某个参考点（xf,yf）的二维几何变换，其基本过程相同：（1）将参考点进行平移变换，使其与坐标原点重合。变换式为T(-xf,-yf)。（2）针对原点进行二维几何变换。变换式为R()或S（Sx，Sy）。（3）进行逆平移变换，将参考点移回原始位置。变换式为T(xf,yf)。,5.3.4 相对任一参考点的二维几何变换,5.4 二维坐标系变换,在计算机图形应用中经常
7、需要在不同的坐标系间进行变换。,5.4 二维坐标系变换,5.4.1 指定角度和原点位置的2个笛卡尔坐标系间的转换,5.4 二维坐标系变换,指定向量和原点位置的2个笛卡尔坐标系间的转换,5.5 三维空间的几何变换,三维空间的几何变换是在二维空间几何变换的基础上拓展了z轴所代表的第三维空间变换，其特点如下：（1）在平移、旋转、缩放等变换中增加了第三维分量；（2）旋转变换的参考对象由二维变换中以绕某个点坐标变化为绕某个旋转轴进行；（3）齐次坐标表示变为4元列向量，变换矩阵也变为44矩阵。,5.5 三维空间的几何变换,三维平移变换是一种使得图形对象沿x、y、z方向移动一个位置的刚体几何变换。,三维平移
8、变换,5.5 三维空间的几何变换,三维旋转的参考对象为一条直线（称为旋转轴），该旋转轴最简单的情况是使用三个坐标轴，而较复杂的情况是绕任意轴的旋转。绕每个旋转轴的三维旋转可看成在另外2个坐标轴组成的平面内的二维旋转变换，而旋转轴坐标值不变。三维旋转变换也是只改变对象的位置和方向而不改变对象的大小的刚体变换。,简单三维旋转变换,5.5 三维空间的几何变换,绕z轴的旋转:,简单三维旋转变换,5.5 三维空间的几何变换,在三维缩放变换中也可区分为以坐标原点做为参考点的简单变换和以任意点为参考点的复杂变换。三维缩放也是一种非刚体变换，缩放变换会引起图形对象大小和位置的改变。,简单三维缩放变换,5.5 三维空间的几何变换,三维反射变换可以相对于给定的反射轴，或相对于给定的反射平面来进行变换。,三维反射变换,5.5 三维空间的几何变换,三维错切变换可用来修改对象形状，也可用于透视投影的三维观察中。,三维错切变换,5.5 三维空间的几何变换,与二维复合变换相同，简单的三维同类型变换遵守与二维变换相同的规律，如两个连续三维平移的复合矩阵的结果是相加的。,三维复合变换,5.6 OpenGL几何变换函数,习题,Q&A？,
