[其它考试]材料力学课件.ppt

《[其它考试]材料力学课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[其它考试]材料力学课件.ppt（423页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、考研资料网 www.K,材 料 力 学,辅导课件,第一部分绪论材料力学的任务,一、研究构件的强度、刚度和稳定,1强度要求 所谓强度，是指构件或材料抵抗破坏的能力。为了保证构件的正常工作，首先要求构件应具有足够的强度，在荷载作用下不发生破坏。,2刚度要求 所谓刚度，是指构件抵抗变形的能力。工程中对构件的变形根据不同的工作情况给予一定的限制，使构件在荷载作用下产生的弹性变形控制在一定的范围内，这就是要求构件具有足够的刚度。,3稳定要求 所谓稳定要求，就是指承受荷载作用时构件在其原有形状下的平衡应保持为稳定平衡。对于受压杆件要求它在压力作用下不丧失稳定，而具有足够的稳定性。,二、研究材料的力学性质

2、材料力学还要通过试验来研究材料在荷载作用下表现的力学性质，并在此基础上为构件选择合适的材料。,三、合理解决安全与经济的矛盾 在满足强度、刚度及稳定性的条件下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，以及为构件选择所适宜的材料。并为设计提供必要的理论依据。,第二部分拉伸与压缩,例2 一悬挂杆件长 l，横截面面积为 A，容量为。试求杆件在自重作用下内力沿杆轴的变化并绘出轴力图。,例2图,当x=l时，为轴力最大处，其值为,设立坐标如图，在任意位置 x 处截取一段脱离体作为研究对象。根据平衡条件，可得：,b横截面上的应力,N 为正时，为拉应力；N 为负时，为压应力。,式(2-1)的应用：,图 2-

3、3 所示为例2 之悬挂杆，其轴力上面已求出，为：,任意横截面上的应力为：,图2-3,当 时，即为横截面，此时正应力达最大,其中：（横截面上的正应力）m-m面上的正应力 m-m面上的剪应力,图2-4 b,根据强度条件式(2-3)，我们可以对构件进行三种不同情况下的强度计算：,1强度校核 在已知荷载，构件的截面尺寸和材料的情况下，可对构件的强度进行校核，即,2截面设计 在已知荷载和选定了制造构件所用材料的情况下，可确定构件所需的横截面积，即,（1）若 P=10KN，校核两杆的强度；（2）结该构架的容许荷载 P；（3）根据容许荷载，试重新选择杆的直径。,例3 钢木构架如图，杆为钢制圆杆，A1=600

4、mm2，；杆为木杆，A2=10000mm2，。,例3图,解（1）校核两杆强度，先绘节点 B 受力图，由静力平衡条件得：,节点受力图,两杆强度均满足。,（2）确定该构架的容许荷载 P。,（3）由容许荷载 P=40.4KN，设计杆的直径。,当构架在 P=40.4KN 作用下，杆横截面上的应力恰到好处，正好是达到 值，对杆来说，强度仍有余，即杆的截面还可减小。根据强度条件：,三、轴向拉伸（压缩）时的变形计算及刚度条件,2式(2-4)的应用,b.阶梯杆，各段 EA 不同，计算总变形。,图2-6,总变形：,内力：,dx段的变形：,内力：N=P,dx段的变形：,总变形：,e.静定汇交杆的位移计算，以例题说

5、明。,例4 图示结构由两杆组成，两杆长度均为 l，B 点受垂直荷载 P 作用。（1）杆为刚性杆，杆刚度为 EA，求节点 B 的位移；（2）杆、杆刚度均为 EA，求节点 B 的位移。,例4图,节点B受力图,解（1）a.绘节点 B 受力图，并求出两杆内力。,由平衡条件可解得：,b.绘节点 B 的位移图，求解节点 B 的位移。,由节点位移图1可得节点 B 的位移：,节点B位移图1,解（2）节点受力图同上，节点位移图 2 见图。,节点B位移图2,由节点位移图 2 可得节点 B 的水平及垂直位移分别为：,节点 B 的总位移,节点B位移图2,2轴向拉（压）杆的刚度条件,和 视结构的适用条件而定。,四、轴向

6、拉伸（压缩）强度计算和刚度计算小结（见框图）,五、拉压超静定问题,*注：杆件内力与杆件变形必须相一致。,1简单超静定问题的求解方法（见框图）,由节点 C 受力图：,由节点 D 受力图：,（2）画节点位移图并建立变形几何关系方程。,节点位移图,将物理关系代入得：,化简后得：,（3）确定容许荷载P及各杆内力,由于三杆材料截面相同，各杆容许轴力相等。,联立(1)、(2)、(3)式可求得：,代入上面(a)、(b)、(c)三式可分别得,将P代入(a)、(b)、(c)式可得各杆内力为,解法一：（一）绘受力图，列平衡方程，根据实际情况，杆在 C 点安装后，杆受拉，杆受压，受力图如图示。,受力图一,根据平衡条

7、件得：,（二）绘变形几何关系图如图示,即：,根据图可得变形几何关系方程为,变形几何关系图一,（三）求解内力和应力,联立(a)、(b)可得：,N1的负号表示与假设拉力不符，杆应是受压力。,联立(a)、(b)可解得：,（三）求解内力和应力,式中：为材料的线膨胀系数。,解（一）绘受力图如图示（设二杆均受压）,列平衡方程,受力图,（二）绘变形几何关系图如图示,由图可列出变形几何关系方程,动画,（三）求解内力和应力,联立（1）、（2）可解得：,材料力学,第三部分剪切,设两块钢板有 n 个铆钉联接，钢板两端受拉力 P 作用（见图3-1）。,一、剪切强度计算及挤压强度计算,1单剪,（1）绘铆钉受力图：,（2

8、）剪切强度条件为：,式(3-1)还可计算接头所需的铆钉个数：,（3）挤压强度计算,计算铆钉个数时：,2双剪,设图示接头有 n 个铆钉连接。,（1）绘铆钉受力图：,式中：AC1=t1d;AC2=t2d。,（2）剪切强度条件为：,如需求铆钉的个数，则,挤压强度条件：,二、连接件强度计算实例,在连接件强度计算中，除了要满足连接件的剪切强度和挤压强度外，还必需满足连接件的抗拉强度。,例1：图示一铆接接头，已知材料的容许应力分别为，试校核该接头的强度。,解：（一）绘铆钉受力图。,（二）铆钉的剪切强度校核,（三）挤压强度校核,比较：,（四）绘主板和盖板的轴力图并进行强度校核。,II-II截面,I-I截面,

9、（五）综合各项强度计算的结果可知，该接头的强度是足够的。,材料力学,第四部分扭转,一、扭转时的内力及扭矩图,扭转时横截面上的内力以 Mn 表示，称为扭矩。杆件上各截面上的扭矩如果以图来表示，该图就是扭矩图。,下面结合实例来加以说明。,由平衡条件可解得各段内力为：,负号说明与假设方向相反。,二、关于剪应力的一些性质,1.剪应力互等定理,3.的关系,低碳钢：,三、圆轴扭转时的应力和强度条件,1.应力横截面上的剪应力,平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，两相邻截面只相对转过一角度，但两截面间距离保持不变，由实验观察结果可得出横截面上只有剪应力。剪应力公式推导由下例步骤可导出。,a.

10、由圆截面杆扭转变形的几何关系可找出应变的变化规律,b.由应变应力间的物理关系可找出应力的分布规律,c.根据扭转和应力间的静力平衡关系可导出应力的计算式,2.极惯性矩和抗扭截面的模量,式(4-4)中 Ip 称为极惯性矩，Wn 称为抗扭截面模量，它们均与横截面的形状、尺寸有关。,3.剪应力强度条件,四、圆轴扭转时的变形和刚度条件,1.圆轴扭转时的变形计算,式(4-6)、(4-7)中 GIp 称为抗扭刚度。,单位长度的扭转角：,相距为 l 的两个截面间的扭转角：,2.式(4-7)的应用,从中取 dx 段，dx 段两相邻截面的扭转角为：,AB 截面相对扭转角为：,从中取 dx 段，该段相邻两截面的扭转

11、角为：,AB 截面相对扭转角为：,式中：,或,3.扭转时的刚度条件,五、工程中的三类问题,在已知荷载、构件的截面尺寸以及材料的情况下，对构件进行强度、刚度校核。即,1.强度、刚度校核,2.截面设计,在已知荷载和选定了构件所用材料后，可确定构件所需的横截面面积。即,由强度、刚度求得二个面积，取大的面积作为容许使用面积。,3.计算容许荷载,在已知构件横截面面积及材料的容许条件下，可确定构件能够承受的荷载。即,由强度、刚度条件所求得的二个荷载，应取小的荷载作为容许荷载。,下列框图表示了求解过程：,例2图,例2 实心圆轴受力如图示，已知材料的试设计轴的直径 D。,扭矩图,解（一）绘制扭矩图如图。,（二

12、）由强度条件设计 D。,解得：,（三）由刚度条件设计 D。,从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm。,解得：,六、矩形截面杆的自由扭转,两式中 是与截面尺寸有关的系数，根据 的比值可查教材中表4-1。,最大剪应力发生在长边中点处：,单位长度的扭转角为：,当 时，为狭长矩形，此时系数。,第五部分平面图形的几何性质,一、定义,图5-1,b.组合图形的静矩和形心,式5-4，式5-5中：A1、A2An各简单图形的面积,*圆截面对形心的极惯矩为：,对形心坐标的惯性矩为：,*空心圆截面对形心的极惯矩为：,对形心坐标的惯性矩为：,二、平行移轴公式,上面计算式是已知对z、y 轴（形心轴

13、）的惯性矩和惯性积求对 z1、y1 轴的惯性矩和惯性积。,解（1）在距 z 轴任意高度 y 处取狭长条作为微面积，即,（2）圆对z轴的惯性矩为：,半圆对z轴的惯性矩为：,利用平行移轴公式，半圆对形心轴 的惯性矩为：,例1图,例2 试计算图示槽形截面的形心主惯性矩。,例2图,Z 为对称轴，故为形心主轴，另一条形心主轴必须过形心并与 z 轴垂直，即图中 y 轴。,（2）确定形心主轴,例2图,（3）形心主惯矩计算,例2图,例2图,材料力学,第六部分弯曲内力,一、指定截面上的剪力和弯矩,解（一）求支座反力,（二）C 截面的剪力和弯矩，取脱离体图如图 a 所示。,图 a,（三）B 截面的剪力和弯矩，分别

14、取 B左 截面和 B右 截面脱离体图如图 b、c 所示。,图 b,图 c,二、剪力方程和弯矩方程，剪力图和弯矩图,1.剪力方程和弯矩方程,梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同而变化，如以横坐标表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩可表示成 x 的函数。,2.剪力图和弯矩图,同拉伸（压缩）、扭转一样，我们也可用图来表示梁在各横截面的剪力和弯矩，沿轴线的变化情况。这种图可分别称为剪力图和弯矩图。绘图时，将正号的剪力和弯矩画在 x 轴的上面，负号的剪力和弯矩画在 x 轴的下面。,下面以实例来加以说明。,解（一）求支座反力,（二）列出各段的剪力方程，弯矩方程,AC 段：,CB 段：,（

15、三）绘剪力图和弯矩图,由上面的剪力方程和弯矩方程可绘出 Q 图和 M 图如图示。,故得出结论：在集中力作用处，剪力图上发生突变，突变值的大小等于该集中力的大小。,从 Q 图可看 C 截面：,剪力图在 C 截面发生一突变，其大小为：。,解（一）求支座反力,（二）列出各段的 Q、M 方程,AC 段：,CB 段：,（三）绘 Q 图，M 图,由剪力方程和弯矩方程可绘出 Q、M 图如图示。,弯矩图在 C 截面发生一突变，其大小为：。,由此可得出结论：在集中的偶作用处，弯矩图上发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。,对剪力图而言，集中力偶作用的截面并无改变。,从 M 图可看出，在 C 截面：,解（一）求

16、支座反力,距支座 A 为 x 处截面上的剪力为：,相应位置的弯矩为：,（二）列出剪力方程和弯矩方程,（三）绘 Q 图和 M 图,1.由剪力方程可知，Q(x)为二次曲线。,作 Q 图。,2.由弯矩原方程可知，M(x)为三次曲线。,作 M 图。,三、分布荷载集度 q(x)、剪力 Q(x)、弯矩 M(x)三者间的关系,剪力对 x 的一阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。,弯矩对 x 的一阶导数等于梁上相应位置上的剪力。,弯矩对 x 的二阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。,根据上面三个关系式，对正确绘制剪力图和弯矩图有很大帮助。下面来分析一下绘剪力图和弯矩图时常见的几种情况。,1.在梁某一段内无

17、荷载作用。,2.在梁某一段内作用着均布荷截。,3.在梁某一截面上 Q(x)=0。,5.对整根梁而言，不但可能发生在 Q=0 的截面上，也有可能发生在集中力或集中力偶作用处。,下面就利用以上关系绘制内力图。,（二）作剪力图,由于 B 处有向下集中力 P1 的作用，Q 图上向下有一突变，突变值为 P1=-10KN，所以 B 右段面的剪力值为：,BC 段内无分布荷载，所以 BC 段的剪力图为一水平线，并从 B右 一直延伸到 C 点。,由于 CD 段有向下的均布荷载作用，即 q(x)=-2KN/m（常数），所以该段 Q 图为一下降的斜直线。,C、D 两截面的剪力之差等于荷载在该段之和，即-22=-4K

18、N，所以 D左 截面的剪力值为：,由于A 为铰支座，又没有集中力偶作用，所以 MA=0；弯矩从零开始在 AB 段内 Q=7KN0，所以 M 为一上升斜直线。,（三）作弯矩图,在 BC 段内剪力为常数 Q=-3KN，所以 M 为一下降斜直线。C左、B 两截面弯矩之差等于 BC 段剪力图的面积，即,C 处有集中力偶作用，弯矩图在 C 处有突变，突变值就是，所以 C右 截面的弯矩为,在 CD 段内，由于 q(x)=-2KN/m，所以 M 图在该段为一上凸的二次曲线。D、C右 截面的弯矩之差就等于该段剪力图的面积，即：,材料力学,第七部分弯曲应力,一、梁的正应力及强度条件,1.矩形截面梁纯弯曲时，横截

19、面上的正应力。,根据上述现象，设想梁内部的变形与外表观察到的现象相一致，可提出如下假设：,a.平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。,从式（7-1）（7-2）可看出，应变和应力均是 y 的函数，分布规律为线形分布。,2.正应力强度条件,根据正应力强度条件，可解决工程中的三类问题：,强度校核,截面设计,确定容许荷载,3.梁的正应力及强度计算实例,(三)截面对中性轴的惯性矩,截面形心距底边,（二）确定中性轴的位置,3讨论,如果将此梁的截面倒放成形，这时梁的最大拉应力将发生在A截面的上边缘，其值为：,这时梁的强度就不足。由此可见，对于抗拉、拉压强度不

20、相同，截面上下又不对称于中性轴的梁，须根据梁的受力情况来合理放置梁的截面。,二梁的剪应力强度条件,图 7-4,2.工字型截面梁的剪应力,3.圆形截面梁横截面上的最大剪应力,4.剪应力强度条件,梁内最大剪应力一般发生在剪力最大的横截面的中性轴上，若以 表示中性轴以下（或以上）部分面积对中性轴的静矩，则梁的剪应力强度条件为：,在校核梁的强度或进行截面设计时，必须同时满足梁的正应力强度条件和剪应力强度条件。在工程中，通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后进行剪应力强度校核。,（三）梁的剪应力强度校核,三、弯曲中心 平面弯曲的特点,1.弯曲中心,如外力作用在非对称轴的平面内，梁除了发生弯曲外，还会

21、发生扭转。要使梁在外荷载作用下只产生弯曲而没有扭转变形，就必须使荷载作用平面或作用线通过截面的弯曲中心。对于一般常见的薄壁截面，为了找到它们的弯曲中心。可掌握以下几条规律：,具有两个对称轴或反对称轴的截面（见图7-9）弯曲中心与形心重合。,具有一个对称轴的截面（图7-10），弯曲中心（S）必在对称轴上。,2.平面弯曲的特点：,材料力学,第八部分弯曲变形,一积分法求梁变形,2挠曲线的近似微分方程（推导略）,式(8-1)积分一次得：,式(8-2)再积分一次得：,式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D可由边界条件确定。,3.转角方程和挠曲线方程,解：（一）列出 弯矩方程,（二

22、）建立挠曲线微分方程并积分二次：,(三)由边界条件定常数，并建立挠曲线方程和转角方程。,(四)求最大挠度和转角,由于荷载对称，挠曲线见图，最大挠度在跨中，最大转角则在 A、B处,将 代入式d得：（负号说明与y坐标相反）,将 和 分别代入式c得：,解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次,（二）确定积分常数,上述a、b、c、d四式中有四个积分常数，必须有四个条件求解，除了上面所述的边界条件外，还要根据梁变形的连续条件，列出有关方程，现分别叙述如下：,2.连续条件,当 时，代入a、c,并令两式相等，得,当 时，代入b、d，并令两式相等，得：,（三）列出转角方程和挠曲线方程：将 代入

23、式a,b,c,d得：,(四)求最大挠度,上面得到最大挠度表达式为：,梁跨中的挠度为：,现在来讨论跨中挠度和最大挠度之间的误差。显然，当P作用点移至跨中时，最大挠度就是跨中挠度，其误差为零。P作用点越靠近支座B，两者的误差就越大。现考虑误差最大时，即P作用点就在近支座B处，上面式中b0。b2为高阶小量，可忽略不计，两式为：,比较上述结果可知，如用跨中挠度来代替最大挠度，其最大误差仅为2.65%。,因此，在简支梁中，不论受什么荷载作用，只要挠曲线上无拐点，最大挠度值都可用跨中挠度来代替，其精度能够满足工程计算的要求。,二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核,1.叠加法求梁的变形,当梁上同时受几种荷载作

24、用时，我们可用叠加法来计算梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表8-1，以供选用。,（二）求,(),例3分解图,（二）求,2.梁的刚度校核,工程中所设计的梁，除了满足强度条件外，还须满足刚度条件。也就是说，梁在荷载作用下，不容许产生大的弯曲变形。,例如：民用建筑中的楼面梁的变形过大会使抹灰层发生裂缝和剥落；厂房中的吊车梁变形过大会影响吊车的正常运行；桥梁的变形过大会影响行车安

25、全并引起很大的振动。刚度条件由挠度和转角来控制，可写作,在土建工程中，一般只对梁的挠度加以控制，控制范围在 内。,一、简单超静定梁的解法,采用变形比较法解超静定梁的一般步骤：,首先选定多余约束，并把多余约束解除，使超静定梁变 成静定梁基本静定梁。,把解除的约束用未知的多余约束反力来代替。这时基本静 定梁上除了作用着原来的荷载外，还作用着未知的多余约 束反力。,列出基本静定梁在多余约束反力作用处梁变形的计算式，并与原来超静定梁在该约束处的变形进行比较，建立变 形协调方程，求出多余约束反力。,在求出多余约束反力的基础上，根据静力平衡条件，解 出超静定梁的其它所有支座反力。,按通常的方法（已知外力求

26、内力、应力、变形的方法）进行所需的强度和刚度计算。,下面以实例来说明,解：（一）解除多余约束（B处支做座）以多余约束 来 代替，基本静定梁的受力形式见图a所示。,（二）建立变形协调方程，求出多余约束反力。,（三）由静力平衡 方程解出其余的表反力并绘 Q、M 图,解：（一）CD杆为刚性杆时的内力。,材料力学,第九部分能量法,一、外力功与变形能,本部分考虑杆件在线弹性范围内的能量法计算问题。,（一）外力功,广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义位移就是线位移（沿力方向的线位移）；如广义力是力偶，相应的广义位移就是角位移（在力偶作用处的角位移）。,（二）变形能和比能,1.轴向拉伸与压缩时的

27、变形能,a.扭矩为常量,一般梁中各段弯矩 M(x)不同。则上面积分应分段进行，然后求出其总和。,5.组合变形时的变形能,注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能。,解：求各梁的变形能,从例1 可看出,a,b,c,（三）利用功能原理计算位移,由平衡条件解出：,总变形能：,（三）利用功和能的原理求位移,（二）变形能计算,（三）利用功能原理求位移,总变形能为：,二、求位移的卡氏定理,（二）卡氏定理的应用,3.组合变形（不计剪力的影响）,(9-13),由式（9-11）得：,（二）求 B 处的转角,由式（9-11）得：,令式中，则有,令：则有,（二）建立变形协调方程，求出多余约束反力。,由 C 处的约束情

28、况可知：变形条件为,(1)(2)联立求解得：,绘 Q、M 图,材料力学,第十部分应力状态理论基础,一、平面应力状态分析的数解法,图10-1a 所示的是一个平面应力状态单元体，又可以图10-1b来表示。现在来讨论该单元体在各个方位的变化。,1任意斜面上的应力,式(10-1)(10-2)就是任意斜截面上的应力计算式。由式(10-1)又可得：,2.主应力与主平面,由式(10-1)，令，可得：,式(10-3)表明互相垂直截面上的正应力之和是常数，与截面位置无关。,正应力 随 角度变化而变化，其极值等于多少？又在什么方位呢？,式(a)表示正应力为极值的截面，也就是剪应力 的截面。这个截面就是主平面，极值

29、应力就是主应力。由式(a)可得到主应力的方位：,以 表示应力取得极值的方位，则有：,同样最大正应力与最小正应力之和应满足式(10-3)，即,以 表示剪应力取得极值的方位，上式可化为：,3.极值剪应力及其方位,比较式(10-5)和式(10-7)可得,比较式(10-4)和式(10-6)得：,图10-2b,将 表示于图中。,（二）主应力大小及方位,一个主平面的方位角为，另一主平面的方位角为，将两个方位角分别代入式(10-1)可得两个面上的主应力。,也可由式(10-5)求出主应力,应当指出，由于平面应力状态单元体前后两平面是零应力平面，主应力为零，因此，它也是主平面，按三个主应力排列次序，应为：,（三

30、）主剪应力大小及方位,将 代入式(10-2)可得：为 所在方位，则为 所在方位。,二、平面应力状态分析的图解法,由数解法中任意斜面上的 二式可处理成圆的方程式，即,1.应力圆方程,2.应力圆的画法：,3.用应力圆确定主应力大小和方位,4.利用应力圆确定最大剪应力的大小和方位,5.一些特殊应力单元体,a)单向应力状态,b)纯剪切应力状态,c)平面应力状态,按已知条件绘应力圆,从 点逆时针转过 得 点，量得：,从 顺时针转到 点，量得：,三、三向应力状态、广义虎克定律,1.三向应力圆,工程中还会遇到三向应力状态问题，本节只对三向应力状态作简单分析。,2.广义虎克定律,a)主应力表示的虎克定律,二向

31、应力状态时（设），上式为；,式中，为主应变。,b)广义虎克定律的一般形式,平面应力状态时（设）,解（一）A 点的应力,轴力 引起的正应力,横向力 引起的剪应力,A 点的应力状态如左图,（二）求 和,沿 方向的应力表示在单元体上，方向的应力表达式为：,将应力代入广义虎克定律中，得,联立两式可解得：,材料力学,第十一部分 强度理论,一、强度理论的概念及材料的两种破坏形式,前式适用于单向应力状态，式左边的工作应力 常为拉（压）杆横截面上的正应力或梁弯曲时最大弯矩横截面边缘处的正应力。后者适用于纯剪切应力状态，式左边的工作应力 常为圆轴受扭最大扭矩横截面边缘处的剪应力或梁最大剪力横截面中性轴处的弯曲剪

32、应力。式中的许用正应力 和许用剪应力 是由轴向拉（压）试验和纯剪切试验所测得的极限应力除以安全系数而得。这两类强度条件是能够直接通过试验来建立。,然而，在工程实际中许多构件的危险点是处于复杂应力状态下，其应力组合的方式有各种可能性。如采用拉（压）时用的试验方法来建立强度条件，就得对材料在各种应力状态下一一进行试验，以确定相应的极限应力，这显然是难以实现的。,强度理论就是根据对材料破坏现象的分析，采用判断推理的方法，提出一些假说，从而建立相应的条件。,二、四种常用的强度理论,（一）关于脆性断裂的强度理论,实践证明，该理论适合脆性材料在单向、二向或三向受拉的情况。此理论不足之处是没有考虑其它二个主

33、应力对材料破坏的影响。,2第二强度理论（最大伸长线应变理论）,这一理论认为最大伸长线应变是引起材料脆性断裂破坏的主要因素，即材料在复杂应力状态下，当最大伸长线应变1达到单向拉伸断裂时的最大拉应变时，材料就发生断裂破坏。建立的强度条件为：,（二）关于塑性流动的强度理论,1第三强度理论（最大剪应力理论）,这一理论认为最大剪应力是引起材料塑性流动破坏的主要因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态，只要构件危险点处的最大剪应力达到材料在单向拉伸屈服时的极限剪应力就会发生塑性流动破坏。建立的强度条件为：,这一理论能较好的解释塑性材料出现的塑性流动现象。在工程中被广泛使用。但此理论忽略了中间生应力 的影响

34、，且对三向均匀受拉时，塑性材料也会发生脆性断裂破坏的事实无法解释。,2第四强度理论（形状改变比能理论）,这一理论认为形状改变比能是引起材料塑性流动破坏的主要因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态。只要构件危险点处的形状改变比能，达到材料在单向拉伸屈服时的形状改变比能，就会发生塑性流动破坏。建立的强度条件为：,这一理论较全面地考虑了各个主应力对强度的影响。试验结果也与该理论的计算结果基本相符，它比第三强度理论更接近实际情况。,（三）强度理论的选用,1相当应力,四个强度理论可用如下统一的形式表达：,式（11-5）中的 称为相当应力。四个强度理论的相当应力分别为：,2强度理论的选用,对于强度理论的

35、选用，须视材料，应力状态而异，一般说，脆性材料（如铸铁、石料、混凝土等）在通常情况下以断裂的形式破坏，所以宜采用第一和第二强度理论。塑性材料（如低碳钢、铜、铝等）在通常情况下以流动的形式破坏，所以宜采用第三和第四强度理论。,必须指出，即使是同一材料，在不同的应力状态下也可以有不同的破坏形式。如铸铁在单向受拉时以断裂的形式破坏。而在三向受压的应力状态下，脆性材料也会发生塑性流动破坏。又如低碳钢这类塑性材料，在三向拉伸应力状态下会发生脆性断裂破坏。,将主应力代入第三、第四强度理论公式中可得：,解：（一）画梁的剪力图和弯矩图,（二）强度校核,a正应力强度校核（K1）点,正应力和剪应力强度条件均满足。

36、,c校核腹板和翼板交接处（K3）点的强度。,说明钢梁在K3点处的相当应力超过许用应力，不能满足强度要求。必须增大工字钢的型号，才能满足钢梁在K3点处的强度。,由于钢梁为塑性材料，K3点处的强度可由第三或第四强度理论进行校核。,三、莫尔强度理论,1莫尔强度理论的概念,莫尔强度理论是在最大剪应力理论基础上发展起来的一个强度理论。它认为材料在某一截面滑移与剪断，不仅与该截面上的剪应力大小有关，而且还和该截面上的正应力有关。,由于剪切的结果会使剪切破裂面上发生面与面之间的相对滑移，因而就会在两面之间产生摩擦，而摩擦力的大小又与截面上的正应力有关。,因此莫尔强度理论的极限条件为：,2莫尔强度理论的强度条

37、件（推导略）,如以相当应力来表达，即,莫尔强度理论是对第三强度理论的改进，它一般能适用于脆性材料和塑性材料，特别适用于拉、压性能不同的脆性材料。因而它被广泛用于土力学、岩石力学和地质力学中。,材料力学,第十二部分组合变形时杆件的强度计算,解组合变形的一般步骤（见框图）,一、斜弯曲,（一）平面弯曲与斜弯曲的区分,斜弯曲：,（二）斜弯曲时的强度条件,a.中性轴与z轴的夹角,以图12-2为例，此时中性轴位置的表达式为：,图12-2,从式(12-1)可看出，只要，则，即荷载作用平面与中性轴不垂直，这是斜弯曲与平面弯曲的区别之一。对于圆截面，正方形截面及正多边形，形心主惯性矩Iz=Iy，此时，说明是平面

38、弯曲，荷载作用面与中性轴垂直。,b.强度条件,例1 矩形截面的悬臂梁受荷载如图示。试确定危险截面、危 险点所在位置；计算梁内最大正应力及AB段的中性轴位 置；若将截面改为直径 D=50mm 的圆形，试确定危险点 的位置，并计算最大正应力。,例1图,解（一）外力分析,梁在P1作用下绕z轴弯曲（平面弯曲），在P2作用下绕y轴弯曲（平面弯曲），故此梁的弯形为两个平面弯曲的组合斜弯曲。受力简图如图示。,例1图,受力简图,（二）内力分析,受力简图,分别绘出Mz(x)和My(x)图如图示。两个平面内的最大弯矩都发生在固定端A截面上，A截面为危险截面。,（三）应力分析和最大应力,绘出A截面的应力分布图，从应

39、力分布图可看出a、b两点为最大拉应力和最大压应力点，即为危险点。,应力分布图,（四）计算中性轴位置及最大正应力,AB段中性轴与z轴的夹角为：（坐标原点可设在C截面处）,从上式可看出，中性轴位置在AB段内是随x的变化而变化的。在A截面处（x=1m），中性轴位置为：,解得：（见图）,应力分布图,如以合成后的总弯矩以矢量表示，中性轴与M的矢量不重合，说明荷载作用平面与中性轴不垂直，这是斜弯曲的特征之一。,应力分布图,（五）改为圆截面时的计算,合成后总变矩为：,此时式中Mz引起的应力 在图中a点；My引起的应力 在图中b点，显然不能将不同点处的应力进行相加，作为该截面上的最大正应力。,a,b,二、拉（

40、压）与弯曲、偏心压缩（拉伸）,（一）拉伸（压缩）与弯曲的组合,最大正应力和最小正应力发生在弯矩最大的横截面上离中性轴最远的点（由于是单向应力状态）建立的强度条件为：,（二）偏心压缩（拉伸）,a.中性轴的位置,式(12-4)中ay,az为中性轴在直角坐标轴上的截距（图12-3）；ey,ez为偏心力P的作用点的位置（图中E点），iy,iz为惯性半径，其计算式为：,b.正应力强度条件,最大正应力和最小正应力发生在离中性轴最远的点，危险点的应力状态是单向应力状态，建立的强度条件为：,例2构件受偏心压力如图示，已知P=100KN,a=0.2m,b=0.4m,ey=0.05m,ez=0.2m,，试确定中性

41、 轴位置并校核构件的强度。,解（一）外力简化（见图）,例2图,（二）内力计算,例2图,（三）中性轴位置,中性轴见图示位置,（四）校核危险点的强度,最后得出结论，构件强度满足,由于各横截面上的内力相同，可取底截面来计算。中性轴位置确定后，离中性轴最远的点就是危险点。图中A点为拉应力最大，B点为压应力最大。,三、弯曲与扭转的组合,强度条件可用第十一部分中所述的第三、四强度理论。对于图12-4所示的应力状态，强度条件可写作：,对于圆截面杆，抗扭截面系数Wn是抗弯截面系数W 的二倍，将 和 代入式(12-6)、(12-7)后可得：,式(12-6)和式(12-7)适用于弯扭组合变形的圆轴。若圆杆受扭转与

42、拉伸（压缩）的联合作用，危险点的应力状态与图12-4相同，只是正应力为，强度条件用式(12-6)和式(12-7)来计算，式中 以 代替。,若圆杆受拉伸（压缩）、弯曲和扭转的联合作用，危险点应力状态还是图12-4所示的单元体，此时正应力，强度条件用式(12-6)和式(12-7)，式中 以 来代替。,图12-4,例3图示钢制实心圆轴，其齿轮C上作用铅直切向力5KN，径向力1.82KN；齿轮D上作用有水平切向力10KN，径向力3.64KN。齿轮C的直径dC=400mm，齿轮D的直径dD=200mm。圆轴的容许应力。试按第四强度理论求轴的直径。,例3图,解（一）外力分析,例3图,（二）内力分析,画出内

43、力图如图，从内力图分析，B截面为危险截面。B截面上的内力为：,（三）应力分析,a点的位置则可由下式求解：,（四）按第四强度理论求轴所需直径,由式(12-7),材料力学,第十三部分 压杆稳定,一、细长压杆的临界力,1两端铰支细长压杆的临界力（欧拉公式）,若令，则式(a)可写作,此微分方程的通解为：,式中有c1,c2,k三个未知量。根据边界条件：当x=0时，yA=0；代入式(c)得c2=0。式(c)成为,当x=l时，yB=0；代入式(d)后可得,由 可得：,使压杆可能在微弯状态下保持平衡的最大轴向压力，应该是式(f)中n=1时的P值，这就是所求的两端铰支压杆的临界力Pcr，即,式(13-1)习惯上

44、称为两端铰支压杆的欧拉公式。当各个方向的支承情况相同时（如两端为球铰），压杆总是在它的抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以式(13-1)中的EI是压杆的最小抗弯刚度，即I应取截面的最小形心主惯性矩Imin。,2一端固定，一端自由细长压杆的临界力,3两端固定细长压杆的临界力,4一端固定，一端铰支细长压杆的临界力,5临界力的统一表达式,当压杆杆端的约束情况在最大和最小抗弯刚度平面内完全相同时，则式(13-5)中的I应取压杆横截面的最小形心主惯性矩Imin。如果压杆在最大和最小抗弯刚度平面内的约束情况不相同时，则应分别计算在两个形心主惯性平面内失稳时的临界力，然后再确定该压杆的临界力。,二、临界力（欧

45、拉公式）的适用范围,欧拉公式是以压杆的挠曲线的近似微分方程式为依据导出的，这个微分方程只是在材料服从虎克定律的条件下才成立。因此，只有在压杆内的应力超过材料的比例极限 时，才能用欧拉公式来计算临界力。,在临界力作用下，压杆横截面上的平均压应力称作临界应力，以 表示，由欧拉公式(13-5)可得：,引入惯性半径，则有,三、临界应力总图,当 p时，这类压杆属于临界应力超出比例极限的压杆稳定问题。其临界应力一般运用由实验所得的经验公式来计算。常用的经验公式有二种，一种是直线型经验公式，另一种是抛物线型经验公式。,对于柔度(sp)的中柔度杆（中长压杆），临界应力与的关系采用直线公式：,抛物线与欧拉公式的

46、交点C，相应的柔度c为,图13-3和图13-4表示了压杆的临界应力与压杆的柔度间的关系，称为塑性材料压杆的临界应力总图。它表示了临界应力随柔度变化的规律。从图中可看出，临界应力随柔度的增大而减小。,临界力计算的步骤,(3)计算临界力,从上面计算可知：zy（绕z失稳）,四、压杆的稳定计算,（一）稳定安全系数法,应用式(13-14)的稳定条件，能够解决压杆下列三方面的问题。,（二）确定BC杆的临界荷载,BC杆的临界力可用欧拉公式计算,（三）确定结构的容许荷载,BC杆能承受的容许荷载为：,结构的容许荷载:,解：（一）由平衡条件解出两杆内力与荷载 P 的关系。,AB杆的容许荷载为：,代入后得：,（二）

47、用折减系数法求容许荷载P,例3图,b由AC杆确定容许荷载P2。,AC杆的容许荷载为：,代入后得：,采用插入法确定：（见图）,c比较P1 和P2确定P=162KN（取小者）,材料力学,第十四部分动荷载,前面部分内容中讨论的构件，都是在静止状态下承受荷载作用的构件。所谓静荷载，是指荷载由零逐渐增长至最终值，以后就保持不变或变动不明显的荷载。,如果构件本身处于加速度运动状态或静止的构件承受处于运动状态的物体作用时，那么构件受到的荷载就是动荷载。,本部分主要研究构件作等加速运动时，或受到作等加速运动的物体作用时的应力和变形计算、构件受到冲击荷载作用时的应力和变形计算。,一、等加速度运动构件的应力和变形

48、计算,（一）等加速度直线运动构件的应力和变形,式（14-1）中，KD 称为动荷系数。说明绳中的动应力等于静应力 乘以动荷系数 KD。同理，绳中的动伸长可表示为：,（二）构件作等速转动时的应力计算,圆环内各点的向心加速度为：,该微段的离心惯性力为：,用截面法切出半个圆环（图b），其截面上的内力为：,圆环内的正应力为：,强度条件为：,从强度条件可知，若要旋转圆环不能因强度不足而破坏，则应限制圆环的速度。从式（14-4）可得到容许的最大线速度为：,解：（1）计算杆内最大应力,a.离 A 端为 x 处取一微段，该微段的惯性力为：,（2）计算杆件的伸长,杆件的伸长为：,dx 段的伸长为：,二、杆件受到冲

49、击荷载作用时的应力和变形计算,在工程实用计算中，一般采用能量法进行计算。在计算中采取以下几个假设：,根据能量守恒，冲击物的全部动能完全转变为弹性体（构件）的变形能，即,（一）冲击物为自由落体,杆件的变形能为（图b）：,将式（c）代入式（b）后得：,构件受冲击时的应力为和变形为：,冲击物的动能为：,被冲击构件的变形能为：,根据 T=UD 得：,解出,动荷系数：,（三）起吊重物时的冲击（推导略）,动荷系数：,动荷系数为：,最大静应力为：,B 点静位移为：,B 点的静位移为：,动荷系数为：,最大静应力为：,（三）最大正应力之比和最大动位移之比,最大静应力：,冲击点静位移：,最大静应力：,冲击点静位移：,最大静应力：,冲击点静位移：,