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1、概率论与数理统计,冯 熙,第一章 概率论的基本理论,随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型（古典概型）条件概率 独立性,确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。（抛石头必然下落、同性电荷必不 相互吸引等等）,另一类现象，在试验或观察之前不能预知确切的结果，但是在大量试验或观察下，它的结果呈现出某种规律性。,（多次重复抛一枚硬币正面朝上的次数大概是总试验数的一半）,统计规律性：大量重复试验或观察中所呈 现的固有规律性.随机现象：在个别试验中其结果呈现不确 定性，而在大量重复试验中结 果又具有统计规律性的现象,下面的现象哪些是随机现象？,A.太阳从东方升起；B.明天的最高温度；C.上
2、抛物体一定下落；D.新生婴儿的体重.,1 随机试验,观察下列试验：E1:抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况.E2:将一枚硬币抛三次，观察正面H、反面T出现的情况.E3:将一枚硬币抛三次，观察出现正面H的情况.E4:抛一颗骰子，观察出现的点数.E5:纪录某城市120急救电话台一昼夜接到的传呼次数.E6:在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命.E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.,这些试验的共同特点：1、可以在相同的条件下重复进行；2、每次试验的可能结果不止一个，并且能 事先明确试验的所有可能结果；3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果 出现具有以上特点的试验称为随机试验通过研究随机试
3、验来研究随机现象。,2 样本空间、随机事件,（一）样本空间 对于随机试验，虽然每次试验之前不能预知试验的结果，但是试验的所有结果组成的集合是已知的。据此定义 样本空间：随机试验E的所有可能结果组 成的集合，记为S；样本点：样本空间的元素，即E的每个 结果,S1:H，T；S2:HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT；S3:0，1，2，3；S4:1，2，3，4，5，6；S5:0，1，2，3，；S6:t|t 0S7:（x，y)|T0 x y T1，x表示最低气温，y表示最高气温，设此地区的温度不会小于T0也不会大于T1,样本空间的元素（即样本点）由试验目的确定，E2 E3实验
4、方法一样，但是样本空间却不一样,（二）随机事件在实际中，往往关心满足某些条件的样本点所组成的集合。随机事件（事件）：试验E的样本空间S的子集。每次试验中，当仅当此子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。基本事件：由一个样本点组成的单点集。（如E1两个基本事件 H 和 T）,两个特殊的子集：样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生，称为必然事件（或用表示）空集不包含任何事件，也是样本空间S的子集，每次试验都不发生，称为不可能事件,同一个样本空间，可以有不同的子集，因而所对应的事件可以不同例1 试验E2:将一枚硬币抛三次，观察正面H、反面T出现的情况.样本空间S2:HHH，HHT，HTH，T
5、HH，HTT，THT，TTH，TTT 事件A1：“第一次出现的是正面”，即 A1=HHH，HHT，HTH，HTT事件A2：“三次出现同一面”，即 A2=HHH，TTT,又如E6:在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命.S6:t|t 0A3=t|0 t 1000,E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.S7:（x，y)|T0 x y T1，x表示最低气温，y表示最高气温，设此地区的温度不会小于T0也不会大于T1 A4=（x，y)|y x=10，T0 x y T1,在掷骰子试验中，试举例说出下列事件必然事件：不可能事件：,“掷出点数小于7”;,“掷出点数8”,事件是一个集合，事件的关系和运算就自
6、然的按照集合的关系和运算进行事件的关系和运算对应着各自在概率论中的意义。,（三）事件间的关系与事件的运算,1 若，则称事件B包含事件A，即指事件A发生必导致事件 B发生 若，则称事件A与事件B相等。,设试验E的样本空间为S，而A，B，Ak（k=1,2,）是S的子集。,2 事件 称为事件A与事件B的和事件；事件 发生 A、B中至少有一个发生；类似的，,3 事件 称为事件A与事件B的积事件；事件 发生 A、B同时发生（也记作AB）；类似的，,事件 称为事件A与事件B的差事件；A发生、B不发生 事件 发生,5 若，则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的，即事件A与事件B不能同时发生。它们包含的基本
7、事件是两两互不相容的。,若，则称事件A与事件B互为逆事件，或互为对立事件，即指对每次试验而言，事件A、B中必有且仅有一个发生。A的对立事件记为，,事件的运算定律,交换律：结合律：分配律：德摩根律：,例2 试验E2:将一枚硬币抛三次，观察正面H、反面T出 现的情况.S2:HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT A1：“第一次出现的是正面”，A1=HHH，HHT，HTH，HTT A2：“三次出现同一面”，A2=HHH，TTT求请说出这些事件在概率论中的意义,例3 所示的电路中，A表示“信号灯亮”；B、C、D分别代表I、II、III接合,补充例题从某系的学生中任选一名学生，事
8、件A表示被选学生为男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该生为运动员，问1、的意义 2、什么条件下ABC=C成立,3 频率与概率,问题：对于一个事件（除必然事和不可能事件），在每一次试验中，它有可能发生也有可能不发生，要找一个数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小。为此，引入频率描述事件发生的频繁程度和概率表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数,（一）频率,定义 在相同的条件下进行n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数 称为事件A发生的频数。比值 称为事件A发生的频率，记为,频率的基本性质：1 23 若 是两两互不相容的事件，则,当重复试验的次数n逐渐增大时，频率 呈现出稳定性，
9、逐渐稳定与某一常数。“频率稳定性”统计规律性。因此让实验重复大量次数，计算频率 可用它来表示事件A发生的可能性大小,频率的大小表示事件A发生的频繁程度，频率大，A发生的可能性就大，是否能用频率来表示事件A在一次试验中发生的可能性大小呢？,（二）概率,定义 设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋于一个实数，记作，称为事件的概率，如果集合函数()满足非负性：对于每一个事件，有规范性：对于必然事件，有可列可加性：对于两两不相容事件,概率的性质,有限可加性：若 是两两不相容的事件，则有设、是两个事件，若，则有,4 对任一事件A，5（逆事件的概率）对任一事件A，有,6（加法公式）对于任意两事件A，B，有,事件互斥时的加法公式,事件相容时的加法公式,答案：(1)0.8(2)0.3(3)0.2(4)0.1(5)0.8,2.已知,解：,3、,
