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1、第四章 几何造型与自由曲线曲面,描述形体的信息表示形体的模型特征造型技术自由曲线曲面理论基础,4.1.1 基本几何元素的定义,描述形体形状特征的信息：,几何信息：用来表示几何元素的性质和度量关系的信息。,拓扑信息：表示形体各个几何元素之间连接关系的信息。,1.点：最基本的几何元素。任何几何形体都可用点的有序集合表示。,2.边：两个或多于两个相邻面的交界。边具有方向性：由起点沿边指向终点。,3.面：形体表面或表面的一部分，其范围由一个外环和若干内环界定。面具有方向性：通常由面的外法矢方向作为其正方向。外法矢方向：由组成面的外环的有向边按右手规则确定。,4.1.1 基本几何元素的定义,4.环：由有
2、序、有向边组成的面的封闭边界。外环：确定面的最大外边界。内环：确定面中内孔或凸台边界。环的方向性：外环各边按逆时针排列 内环各边按顺时针方向排列,5.体：由面围成的封闭三维空间。,6.外壳：在观察方向上所能看到的形体的最大外轮廓线。,7.体素：指可用有限个尺寸参数定位和定型的形体。基本体素：如长方体、圆柱体、球体、棱柱体、圆环体等；由轮廓线沿指定的空间参数曲线扫描或回转所形成的形体。,正则形体和非正则形体,4.1.3 基本几何要素间的关系及层次结构,形体定义的层次结构,外壳：V1 V2 V3 V6 V5 V8 V1 E1 E2 E7 E6 E10 E11,F1外环：V1 V2 V3 V4 V1
3、,F1内环：V12 V11 V10 V9 V12,一、线框模型：用顶点和边表示形体。,缺点：无法自动消隐，所构造的形体易产生不确定性，即具有二义性。,不能明确定义给定点与形体之间的关系，无法对构造形体进行物性分析、有限元分析，不能生成加工表面的刀具路线，不能生成剖切图、渲染图等。,无法处理曲面的侧轮廓线。,线框模型的二义性,线框模型示例,二、表面模型：是将有向棱边围成的部分定义形体的表面，用面的集合表示形体的模型。,从美学和外形功能要求的角度对构造模型进行评价和修改。对构造曲面生成NC加工程序，以完成对该曲面的加工。,平面模型：用多边形网格描述形体表面。,曲面模型：用曲面片代替平面模型中的小平
4、面片。,表面模型的缺点：模型中所有面未必形成封闭的边界。没有明确定义形体位于面的那一侧，仍不能有效地用来表示形体。,三、实体模型：由具有一定拓扑关系的形体表面定义形体。表面之间通过环、边、点建立联系，表面的方向由围绕表面的环的绕向决定，表面法失总是指向形体之外。,实体模型的拓扑合法检验 任一棱边必然只与两个表面相邻，且在这两个表面环上的方向必须相反。,与表面模型的区别：实体模型中构成形体的表面之间具有一定的拓扑关系，根据表面的方向可以判断形体在表面的哪一侧。,一、基本几何形体（体素）创建,二、实体造型的方法,1.扫描法,平移扫描法：将二维图形沿某一轨迹移动构造三维形体的方法。正平移：二维图形沿
5、与其垂直的直线移动；斜平移：二维图形沿任意直线方向移动；缩放平移：二维图形移动构造形体的过程中不断放大或缩小。,蒙皮法：将二维图形沿任意曲线移动同时调整二维图形的尺寸甚至形状，这种构造三维形体的方法称为蒙皮法。,旋转扫描法：将二维图形绕某一轴线旋转构造三维形体的方法。,2.构造实体几何法（Constructive Solid Geometry，CSG）,集合运算（布尔运算）：并、交、差,A-*B,B-*A,A*B,A*B,构造实体几何的表示方法（CSG二叉树),用二叉树形式说明通过基本体素间的集合运算来构造复杂形体的历史过程。,叶子节点体素或几何变换参数,中间节点施加在其上的集合运算或几何变换
6、定义,优点：数据结构简单、紧凑，数据管理方便；实体构造无二义性；操作方便，概念直观，可通过修改构造环节改变形体的形状；容易实现参数化造型。,缺点：造型过程只能采用集合运算，一些局部修改功能，如拉伸、倒圆等不能使用；边界以及边界与实体的连接关系难以提取；形体显示效率低，不利于图形显示。,根节点所构造的几何形体,4.边界表示法（Boundary Representation,B-Rep),用组成实体边界的基本元素（即顶点、棱边和面）及其连接关系信息表示实体。,采用边界表示法定义的实体为有限数量的面的集合，面则由边及顶点加以定义。,实体造型系统中一般采用CSG与B-Rep混合表示法，即用CSG模型表
7、示实体几何造型的过程和设计参数，用Brep模型维护详细的几何信息和存储、管理、运算以及显示输出等操作。在基于CSG模型的造型过程中，可将形状特征、参数化设计引入造型过程的体素定义、几何变换及最终的模型中；Brep信息的细节则为设计参数提供参考几何基准。,优点：显示效率高；边界信息提取容易，可进行局部修改。缺点：数据结构复杂；修改操作不方便。,5.倒圆和拉伸（形体的局部处理）倒圆：用光滑的圆弧表面取代形体上的棱边及棱角。拉伸：将形体的某个表面或表面的一部分拉起，使原形体得以延伸的处理方法。,拉伸面,倒圆角,一、特征造型：以实体造型为基础，使设计者采用常见的、具有一定设计或加工功能的特征作为造型的
8、基本单元来构造几何模型的方法。,二、特征的定义及特点,1.特征的定义：特征是具有属性，与设计、制造活动有关，并含有工程意义的基本几何实体或信息的集合。,特征是零件表面上有意义的区域。（基于几何和加工的定义）特征是产品信息传递的载体。（从信息传递的角度）特征是与零件描述或零件之间关系相关的信息集。特征是零件的形状或其它属性的信息集。,2.特征所具有的特点,特征与零件的几何描述相关；特征具有一定的工程实际意义，不同工程领域，特征的内容会有所不同，具体应用时，特征应覆盖所需要的信息；特征可被识别与转换。,三、特征的分类,形状特征：与描述零件几何形状、尺寸相关的信息集合，包括功能形状、加工工艺形状、装
9、配辅助形状等，是用于描述零件或产品的主要特征。主特征：用以构造零件的基本几何形体。简单主特征：简单的几何形体。（如圆柱体、长方体、球体等）宏特征：指具有相对固定的结构形状和加工方法的形状特征，其几何形状较复杂，且不便于进一步细分为其他形状特征的组合。（如如盘类零件、轮类零件的轮辐和轮毂等，基本上都是由宏特征及附加在其上的辅助特征构成）辅特征：依附于主特征（也可是另一辅特征）之上的几何形状特征，是对主特征的局部修饰，反映零件几何形状的细微结构。（如螺纹、花键、V形槽、T形槽、U形槽等）组合特征：由一些简单辅特征组合而成的特征，如中心孔、同轴孔等。复制特征：指由一些同类辅特征按一定的规律在空间的不
10、同位置上复制而成的形状特征，如周向均布孔、矩形阵列孔、油沟密封槽、轮缘（如齿圆、V型带轮槽等）。,精度特征：描述零件几何形状、尺寸许可变动量的信息集合；（包括尺寸公差和形位公差，表面粗糙度等）,技术特征：描述零件性能、制造技术要求、装配要求的信息集合；,管理特征：与零件管理有关的信息集合；（包括题栏信息，如零件名、设计者、设计日期等；零件材料，未注粗糙度等信息）,材料热处理特征：与零件材料和热处理有关的信息集合；（如材料性能、热处理方式、硬度值等）,特征的信息模型（见P61：图4-14）,三、特征的分类,方位特征：针对箱体类零件提出的特征，即箱体类零件各表面的方位信息的集合；（如方位标识、方位
11、外法线与各坐标平面的夹角等）尺寸链特征：针对工艺特征模型提出特征，即反映轴向尺寸链信息的集合；装配特征：与零部件装配有关的信息集合。（如零部件的配合关系、装配关系等）,四、特征的联系,继承联系：构成特征之间的层次关系。超类特征：位于层次上级的特征；亚类特征：位于层次下级的特征。亚类特征可继承超类特征的属性和方法。特征与特征实例之间的联系也属于继承关系。,从属联系：描述形状特征中各形状特征之间的依从和附属关系。从属特征依赖于被从属的特征而存在，对被从属的形状特征作局部修饰。,邻接联系：反映形状特征之间的相互位置关系。,引用联系：描述特征类之间作为关联属性而相互引用的联系。,五、特征造型方法,人机
12、交互方式特征自动识别的方式特征库,如阶梯轴：相邻两个轴段之间的关系就是邻接联系，其中每个相邻面的状态可共享。,引用联系主要存在于形状特征对精度特征、材料特征的引用。,六、特征造型系统的框架（见P62：图4-17）,七、特征库的组织方式,1.特征库应具备的功能完备的形状特征，以适应众多的零件；完备的产品信息（几何/拓扑信息，各类特征信息，零件的总体信息）；特征库的组织方式，应便于操作、管理，方便用户对特征进行修改、增加和删除。,2.特征库的组织方式图谱方式：画出各类特征图，附以特征属性，建立表格形式。用形式化数据规范语言对特征进行描述，建立特征的概念库；EXPRESS语言描述方式：PDES（Pr
13、oduct Data Exchanging Standard 产品数据交换信息规范 美国国家标准和技术协会）/STEP（Standards for Transmission and Exchange of Product ISO：产品信息交换和传输标准）推荐的一种计算机可处理的形式建模语言。用于建立特征库，以便使那些基于特征的计算机辅助系统根据系统本身的软、硬件的需要，映射为适合于自身的实现语言描述特征。用计算机程序设计语言描述特征，设计时直接 调用特征库及程序文件，进行绘图和建立产品信息模型。,八、特征造型零件信息模型实例：轴的零件信息模型,一、概述,1.工业产品的形态：,2.采用何种工业产
14、品形态的决定因素：纯美学要求产品性能对形态的要求产品结构唯一性要求,二、曲线及曲面的数学描述,1.基本概念,点：构造曲线与曲面的最基本的几何元素，用于确定、修改曲线与曲面的位置及形状。,控制点：用于确定曲线和曲面的位置与形状，所控制的曲线或曲面不一定通过控制点。,型值点：用于确定曲线和曲面的位置与形状，所控制相应曲线或曲面一定通过型值点。,插值点：为提高曲线和曲面的输出精度，或为修改曲线和曲面形状，在型值点或控制点之间插入的点。,型值点,控制点,规则形体,自由曲面形体,插值：根据给定的一组有序的数据点，构造一条曲线，使其顺序通过这些数据点，或根据未知函数f(x)上的若干个互异的型值点f(xi)
15、，构造新函数g(x)，使g(xi)=f(xi)（i=0,1,n）。,g(x)：f(x)的插值函数；xi：插值节点；注意：插值函数必须严格通过所有插值节点。,逼近：构造一条曲线，使在一定条件下最为接近给定的数据点，或构造新函数，使其最佳逼近原函数。,注意：逼近不要求通过所有给定的数据点，只是对数据点的最佳逼近。,拟合：插值和逼近的统称，即在允许的误差范围内贴近或通过所有给定的数据点，并使所构造的曲线或曲面光滑连接。,光顺：所构造的曲线或曲面是否光滑和顺眼。,几何连续性：曲线或曲面在连接处的连接状态。零阶连续：边界重合；一阶连续：一阶导数连续，切线矢量连续；二阶连续：二阶导数连续，曲率连续。,光滑
16、是客观评判，指空间曲线曲面的连续阶，数学上一阶导数连续的曲线即为光滑曲线；顺眼是主观评价，是指人对空间曲线曲面的鼓瘪凹凸的感觉,二、曲线及曲面的数学描述,2.曲线及曲面的数学描述：参数方程,曲线参数方程,三维曲线参数方程,曲线上点的位置矢量：,曲线方程的规范化形式：,二、2.曲线及曲面的数学描述：曲线参数方程,例：由空间两点所定义曲线的参数方程,一般形式：,由空间若干点描绘的曲线的参数方程：,二、2.曲线及曲面的数学描述：曲线参数方程,：基函数、权函数、混合函数、调和函数,采用不同的基函数，可得到不同的参数曲线。,曲面参数方程,二、曲线及曲面的数学描述2.曲线及曲面的数学描述,曲面数学描述的过
17、程：采用插值方法定义横向、纵向两组曲线；由两组曲线所构成的网格定义一组曲面片，每个曲面片由4条光滑连续的曲线作为边界；用二维插值法描述各个曲面片；分片描述的各曲面在保证相邻曲面片光滑连续的条件下，组成完整的光滑曲面；,曲面的参数方程,二、曲线及曲面的数学描述2.曲线及曲面的数学描述曲面参数方程,曲面上点的位置矢量：,曲面方程的规范化形式：,用（n+1）（m+1）个点描述的曲面的参数方程：,曲面沿 u方向的基函数,曲面沿 v方向的基函数,曲面片：曲面的基本单元，一张曲面通常由若干张曲面片拼合而成,二、常用的曲线,1.参数曲线,（1）参数曲线方程：以幂函数为基函数,（2）三次参数曲线（Hermit
18、e曲线）：由两端点及两端点处的切矢定义的参数曲线。,边界条件：,二、常用的曲线参数曲线（2）三次参数曲线,二、常用的曲线参数曲线（2）三次参数曲线,二、常用的曲线参数曲线,（3）三次参数曲线的拼接,光滑拼接条件：边界重合：前一段曲线的终点为后一段曲线的起点；切向矢量连续：前一段曲线终点处的切矢等于后一段曲线起点处的切矢；曲率连续：前一段曲线终点处的二阶切矢等于后一段曲线起点处的二阶切矢。,Hermite曲线方程,两段三次参数曲线光滑连接的条件：,n段三次参数曲线光滑连接的条件：,二、常用的曲线参数曲线（3）曲线的拼接,三切矢方程,二、常用的曲线参数曲线,（3）参数曲线的特性,n段拼接的参数曲线
19、通过n+1个点参数曲线由其端点（或通过点）位置以及各个点处的切矢确定，改变数据点的位置矢量，调节切矢的方向或者切矢的长度，都可以改变曲线形状。,Hermite曲线方程,n段Hermite曲线方程光滑拼接的条件：,2.Bezier曲线由曲线上的两个端点和若干个不在曲线上但能决定曲线形状的点确定。,通常n次Bezier曲线由n+1个顶点构成的特征多边形确定。特征多边形上的各顶点为曲线的特征点或控制点。,（1）n次Bezier曲线数学表达式：,二、常用的曲线,三次Bezier曲线,规定：,二、常用的曲线2.Bezier曲线,n次Bezier曲线:,（2）一次Bezier曲线：n=1,二、常用的曲线2
20、.Bezier曲线,n次Bezier曲线:,（3）二次Bezier曲线：n=2,通过p0、p2点的抛物线,二、常用的曲线 2.Bezier曲线,n次Bezier曲线:,（4）三次Bezier曲线：n=3,P85习题4-10（P85）：已知特征多边形4个顶点：p0(0,0)、p1(1,1)、p2(2,1)、p3(3,0)，构造一条三次Bezier曲线，并计算当u=0，1/3，1/2，1时，曲线上的型值点坐标。,解：（1）构造三次Bezier曲线参数方程,n次Bezier曲线:,三次Bezier曲线方程为：,P85习题4-10（P85）,由题中给定特征多边形4个顶点构造的三次Bezier曲线为：,
21、（2）求给定参数u处的型值点坐标,P85习题4-10（P85）,二、常用的曲线 2.Bezier曲线,n次Bezier曲线:,（5）Bezier曲线的几何特性,Bezier曲线通过首末两个控制点,二、常用的曲线 2.Bezier曲线,n次Bezier曲线:,（5）Bezier曲线的几何特性,Bezier曲线首末两个控制点处的切向矢量与特征多边形首末两段的走向一致,结论：Bezier曲线首末两个控制点处的切向矢量与特征多边形的首末两段的走向一致,结论：Bezier曲线上的任意点是其特征多边形各顶点的加权平均，Bezier曲线上所有点均落在由特征多边形各顶点所构成的凸包之中。,二、常用的曲线 2.
22、Bezier曲线,n次Bezier曲线:,（5）Bezier曲线的几何特性,凸包性：Bezier曲线上所有点均落在由特征多边形各顶点所构成的凸包之中。,二、常用的曲线 2.Bezier曲线,n次Bezier曲线:,（5）Bezier曲线的几何特性,几何不变性：Bezier曲线的形状仅与特征多边形各顶点相对位置有关，而与坐标系选择无关。,对称性质：如果保持特征多边形各顶点位置不变，只将其次序颠倒，即:对应的新Bezier曲线与原Bezier曲线形状相同，只是曲线走向相反。,二、常用的曲线 2.Bezier曲线,n次Bezier曲线:,特征多边形的顶点分布不均匀时，参数在曲线上对应点的分布也不均匀
23、；特征多边形的顶点个数越多，对曲线的控制越弱。Bezier曲线的形状与定义它的特征多边形相距甚远；Bezier曲线不具备局部修改的可能性，改变特征多边形的一个顶点将影响整条曲线。,（6）Bezier曲线的缺点,（7）Bezier曲线的拼接,两段三次Bezier曲线实现拼接的条件：,一阶连续条件：p2和q1位于p3(q0)两侧，且p2、q1和p3(q0)共线。,二阶连续条件：连接处两曲线段的切平面重合，且连接处两曲线段曲率相等。,边界连续条件：p3和q0重合。,三次B样条曲线,3.B样条曲线用B样条基函数代替贝塞尔曲线方程中的Bernstein基函数所构造的曲线。,二、常用的曲线,均匀B样条曲线
24、 准均匀B样条曲线 非均匀B样条曲线 非均匀有理B样条曲线（NURBS，Non-uniform Rational B-spline非均匀有理B样条）,（1）B样条曲线的数学表达,若给定N=m+n+1个顶点（m为最大段号，n为阶次）则第i段、n次均匀B样条曲线函数方程为：,B样条基函数,二、常用的曲线 3.B样条曲线,（2）三次均匀B样条曲线：n=3,l=0,1,2,3,三次B样条曲线的基函数：,二、常用的曲线 3.B样条曲线,（2）三次均匀B样条曲线,二、常用的曲线 3.B样条曲线,（3）三次均匀B样条曲线的几何性质,端点性质,结论：第 i 段均匀B样条曲线的起点位于由pi、pi+1、pi+2
25、三点组成的三角形中线 pi+1A 的1/3处；第 i 段均匀B样条曲线的终点位于由pi+1、pi+2、pi+3三点组成的三角形中线 pi+2B 的1/3处；前一段终点和后一端起点的具有共同的三角形，因此前一段终点和后一段起点相同。,端点处一阶导矢的性质,结论：第 i 段均匀B样条曲线的起点处的一阶导矢平行于pipi+2，模为pipi+2连线长度的1/2；第 i 段均匀B样条曲线的终点处的一阶导矢平行于pi+1 pi+3，模为pi+1 pi+3连线长度的1/2。前后两段连接处具有相同的一阶导矢，即一阶导矢连续。,端点处二阶导矢的性质,结论：第 i 段均匀B样条曲线的起点处的二阶导矢等于以pi p
26、i+1和pi+1 pi+2为相邻两线段所构成的平行四边形的对角线；第 i 段均匀B样条曲线的终点处的二阶导矢等于以pi+1 pi+2 和pi+2 pi+3 为相邻两线段所构成的平行四边形的对角线；前一段曲线终点和后一段曲线起点处的平行四边形相同，因此曲线在连接处的二阶导矢相等，即二阶导矢连续。,综合 可知：三次均匀B样条曲线在连接处边界连续，一阶矢和二阶导矢连续，因此可保证曲线光滑连接。,局部性：三次均匀B样条曲线的每一段由特征多边形的4个控制点的位置矢量决定，对一个控制点的修改最多影响4曲线段，而对其他曲线段不产生影响，可进行局部修改。,扩展性：每增加特征多边形的一个顶点，就相应增加一段B样
27、条曲线，且不影响原有三次均匀B样条曲线，新增曲线段与原曲线的连接处具有一阶导矢和二阶导矢连续性。,（4）特殊的三次均匀B样条曲线（见书76页，图4-25）,二、常用的曲面,1.双线性参数曲面：由4个顶点及4个顶点所确定直线边界定义的曲面。,二、常用的曲面1.双线性参数曲面,四个顶点共面时，曲面为平面；四个顶点不共面时，曲面为空间三维双线性参数曲面。,2.孔斯（Coons）曲面（双线性Coons曲面）,二、常用的曲面,二、常用的曲面1.孔斯曲面,边界条件分析：,二、常用的曲面 1.孔斯曲面,孔斯曲面方程：,双线性曲面方程：,Coons曲面=p3(u,v)-双线性参数曲面,二、常用的曲面,3.双三
28、次参数曲面片（双三次Coons曲面）,一般参数曲面方程：,双三次参数曲面方程：,双三次参数曲面的边界条件,二、常用的曲面 3.双三次参数曲面片,双三次参数曲面的边界条件,u,v,由边界条件确定的方程可求解出各aij,二、常用的曲面 3.双三次参数曲面片,双三次参数曲面方程：,u,v,二、常用的曲面 3.双三次参数曲面片,双三次参数曲面的缺点：一个曲面片需要16个几何量才能定义，而不同类型的矢量数值上一般具有不同的数量级，不便于设置。几何矢量中含有一阶偏导数和混合偏导数，这些参数对于设计而言缺乏直观性，会给曲面形状的控制和修改造成困难。,双三次参数曲面方程：,4.贝塞尔曲面（Bezier曲面）,
29、Bi,n(u)、Bj,m(v)：u向和v向的Bernstein基函数；pij：(n+1)(m+1)个顶点的位置矢量，由其构造一特征网格。（见书83页图4-29）,二、常用的曲面,贝塞尔曲面的定义：,双三次贝塞尔曲面方程：,双三次贝塞尔曲面的特性分析：（参看书83面图4-29）贝塞尔曲面由16个控制点所构成的空间特征网格控制，特征网格边界上的12个控制点与曲面片的边界曲线相联系，其中四个角点本身是曲面片边界端点；特征网格内部的4个控制点确定曲面内部形状。曲面的几何变换可通过对每个控制点的几何变换来实现。双三次贝塞尔曲面片的由双三次贝塞尔曲线交织而成，四条边界曲线为由边界上控制点定义的双三次贝塞尔
30、曲线。贝塞尔曲面的几何矢量矩阵由16个控制点的位置矢量组成，几何意义非常明确，便于曲面修改和控制。贝塞尔曲面不具备局部修改特性，控制点位置的改变主要改变该控制点附近的曲面形状，但对其它部分也有影响。,二、常用的曲面 4.Bezier曲面,二、常用的曲面 4.Bezier曲面,双三次贝塞尔曲面光滑拼接的条件：（参看书83面图4-30）两拼接边重合，即共同使用定义公共边界曲线的4个控制点；拼接边处的一阶切矢、二阶扭矢应相同：公共边两侧8个控制点和定义公共边的4个控制点分为4组，每组3点必须共线，且定义公共边的4个控制点分别把共线线段分成等比例。(p1,23,p1,33,p2,13)、(p1,22,p1,32,p2,12)、(p1,21,p1,31,p2,11)、(p1,20,p1,30,p2,10),4.B样条曲面,二、常用的曲面,B样条曲面的定义：,双三次B样条曲面方程：,
