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1、多边形的重心,218吴昀昕222许晋婕223游凯婷指导老师：桂雪萍老师、蔡芸兰老师,台北市立敦化国民中学资源丙班,研究动机,在上了基本几何作图后，桂老师向我们介绍了重心这个概念。在课中同学间的讨论及老师的讲解之后，我们决定要利用这次独立研究的机会，好好的探讨这个重心的延伸主题多边形的重心。,研究目的,1.搜集各种寻找平面图形的重心的方法 2.利用标尺作图，找出多边形的重心，并整理出最佳方式,方法讨论寻找重心的方法,方法一铅垂法 做法假定有一块如右图所示般形状不规则的木板，其重心在G点上。首先，用绳子穿过A点而将木板悬吊起来，木板就会如图般往右移动，直至重心G点在A点的正下方才稳定下来。此时，如
2、果我们从A点画一条铅垂线，G点必在这条铅垂线上。同样的我们把绳子穿过B点而将木板悬吊起来，等到木板稳定下来，自B点引一条铅垂线，重心G仍会在这条铅垂线上。由A、B二点分别所画的铅垂线的交点，正是这块木板的重心G。,分析不管是什么样的形状，这个方法都适用。因为不管是通过A点或B点的铅垂线，当此木板在悬吊并达到平衡(也就是不会晃动)时，铅垂线左右的重量必相同，才可达到平衡。而由A、B两点所做的两条铅垂线的交点，可使两组被铅垂线切成两块的木板都达到平衡。因此交点G便是此木板的重心顶着它可以达到平衡的点。这是个较偏向理化做法的方式。,方法二三角形的重心做法任两中线(连三角形任一边的中点至对顶点的线段)
3、的交点，即为此三角形之重心。分析一中线可以平分此三角形的面积(等底同高)，若此三角形是一张纸，厚度忽略不计，则中线也可平分重量。因此，两中线的交点便是重量的平衡点重心。p.s 课内教材，不再多说,方法三正多边形及圆形的重心做法正多边形取两条线对称轴的交点(奇数边形之对称轴为点与对边中点的连线；偶数边形的对称轴为点与对点的连线)，即为重心。圆形圆心即为重心。分析正多边形的线对称轴便是面积平分线，也就是质量平分线；圆形亦同。(同上),感觉上，似乎在平面图形上找出两条可平分面积(质量)的线，在找出其交点即可找到重心。,方法展示,在参考过以上的重心找法后，我们试着自己用标尺作图找出多边形的重心，以下是
4、我们的讨论：四边形 1.长方形、菱形、正方形、平行四边形的重心均是两对角线的交点。,2.任意四边形(包括鸢形、梯形)：,分割法连一条对角线将其切成两个三角形，分别找出重心，连两重心之线段(以下我们在本文均统称为重心线)；再连另外一条对角线，画出两个不同于上一次的三角形，也分别找出两个三角形的重心，连重心线。则此两条重心线会交于一点，此点即为重心。,【分析一】重心，可视为此图形的质量中心(p.s重心又称为质心)，因此，在作第一条三角形重心连线时，我们可以确定此四边形的重心一定会在此线段上。利用同样的思考再换个方向做一次，则重心会同时在这两条重心在线，即为两重心线的交点。,例一以图一四边形ABCD
5、中，求做重心：1.先连BD，得ABD、CBD2.分别作ABD、CBD之重心g1、g23.同理，连AC作出ACD、ACB之重心g3、g44.直线g1g2与直线g3g4之交点即为四边形ABCD之重心,(图一),杠杆法连一条对角线将其切成两个三角形，并分别画出它们的高及重心。连两重心线段，以高的反比平分此线段，则平分点即为重心。【分析二】这用到了理化的杠杆原理：重量1X臂长1=重量2X臂长2。用对角线切出来的三角形，它们有同底的性质，所以面积比就会等于高的比；而面积比又会等于其质量比，因此，两个三角形的重心连线，就可以视为一个杠杆；而这个杠杆的两端也就是两三角形的重心，就可以视为两三角形的质量中心。
6、又两三角形的高的比等于面积比等于质量比，则若两三角形的高之比为a：b，则两个三角形的质量比也就是a：b。而重心是整个四边形的平衡点，就相当于杠杆上的支点一样。,所以，综合上面的比例，我们不难了解：两三角形重心的连线也就是整支杠杆，必须以b：a(a：b的反比)的比例来分，配合上两端质量a：b，才可以符合杠杆原理：重量1X臂长1=重量2X臂长2。,例二以图二中之四边形ABCD：1.连AC得BAC、DAC2.作ACD、ABC之重心g1、g23.作DFAC于F，BEAC于E4.在g1g2上运用平行线裁等比例线段的性质(取g2D=DF，DB=BE，连g1B再过D做一直线平行于g1B交g1g2于G，则g2
7、G：Gg1=DF：BE)，画出G点即为四边形ABCD之重心,图二,任意五边形分割法连一条对角线，将其切成一个四边形及一个三角形。分别用以上的方法找出重心后连线；再换另外一条对角线，再画出一条两重心连线，则此两线段的交点即是此五边形的重心。【分析一】此想法与四边形类似，只是边数增加，画起图来比较复杂。,例一在图三的五边形ACBDE中：1.连EC，得EDC及四边形ABEC2.分别作EDC及四边形ABEC的重心g1、g23.同理，连AD做AED及四边形ABCD的重心g3、g44.连g1g2、g3g4，则两线段交点即为五边形ACBDE的重心G,图三,杠杆法连一条对角线，将此五边形切成一个三角形与一个四
8、边形，分别找出重心并做一重心线。利用四边形做法二的想法，将四边形转化为一个同底(底即为对角线)且面积相同的三角形，再用此两三角形的高的反比去分重心线，则分点即为重心。【分析二】这种做法利用到四边形形变成等底等面积三角形，而简化了原题。因为在同底的情况下，只有三角形的高的比可以利用标尺作图在重心在线直接画出反比例，四边形主要是由于它不能以某一线段比上另一三角形的高代替质量、体积比例，因而需采取这个较间接方式。不过，需注意的是刚开始所做的重心线乃五边形一对角线所切成的一三角形与一四边形之重心线，而不是四边形形变成三角形后与原三角形的重心线。,例二在下图四的五边形ABCDE中：1.连AC，分别作AB
9、C及四边形CDEA的重心g1、g2，并连重心线g1g2 2.连EC并延长射线AE，做一直线过D平行于EC，交射线AE于F。等底(EC=EC)同高(两平行线中垂距相等)，ECF的面积同于ECD3.做FIAC，BJAC4.连线段g1g2，在g1g2上运用平行线裁等比例线段的性质(可将五边形ABCDE视为四边形ABCF，但重心线仍以五边形ABCDE为主)取g2J=BJ，JI=FI，连g1I再过J做一直线平行于g1I交g1g2于G，则g2G：Gg1=BJ：IF，画出G点即为五边形ABCDE的重心,图四,任意六边形分割法连一对角线，将其切成两个四边形，分别用四边形的重心找法找出重心并连线；再连另外一条对
10、角线，再画出一条两四边形的重心的连线，则此两重心连线之交点即为此六边形的重心。【分析一】此方法的想法与四边形、五边形均同。找出两重心线的交点即为重心。,例一在下图五的六边形ABCDEF中：1.连BE，分别作四边形ABEF及BCDE的重心g1、g2(方法请参考上面的说明)并连出重心线g1g22.连AD，分别作四边形ADEF及ABCD的重心g3、g4并连出重心线g3g43.两重心线的交点G即为此六边形的重心,图五,杠杆法连一条对角线，将此六边形切成两个四边形，并分别找出重心及重心线。再利用形变将两个四边形转为两个同底且与原来的四边形同面积的三角形，最后用此两个三角形的高的反比去分两个四边形的重心线
11、，分点即为此六边形的重心。【分析二】此方法大致上与五边形类似，只是五边形的形变只是针对唯一一个四边形来做，而六边形必须对两个由对角线切成的四边形各做一次形变，才能利用两形变后的三角形的高之反比，找出分重心线的比例而求出重心。,例二在下图六的六边形ABCDEF中：1.连BE，分别作四边形ABEF、BCDE的重心g1、g2，并做重心线g1g22.延长EF，并过A做一直线平行于BF且交EF延长于H，则三角形的面积等于四边形ABEF的面积3.延长ED，过C做一直线平行于BD且交ED延长于I，则三角形BIE的面积等于四边形BCDE的面积4.做HK、IJ垂直于BE5.在重心线g1g2上运用平行线裁等比例线
12、段的性质，做出一点G，使g1G：Gg2=JI：KH，则G点即为此六边形的重心,图六,方法讨论,在这里，我们要针对任意四、五、六边形的主要两种方法分割法(以上的方法一)及杠杆法(以上的方法二)做讨论。讨论项目分为：1.作图中所需重心线条数 2.在相同大小的多边形上作图时，哪一种方法所占空间较大 3.当多边形边数增加时，是否可通用,四边形,分割法,杠杆法,五边形,分割法,杠杆法,六边形,分割法,杠杆法,结论,经由我们一连串对重心的探讨，我们做出了以下的结论：1.在平面上，重心可以是两条面积平分线(须为直线)的交点，因其平分面积就等于平分质量2.在圆形及正多边形中，两对称轴的交点即为重心3.铅垂法是最好用的找重心方式，利用自然的地球引力使物体平衡后找其两垂线交点，没有作图的麻烦及复杂,4.标尺作图法有两种分割法及杠杆法。感觉上杠杆法是比较有技巧的，因其有利用到以一长度代替左右两图形的质量比，使题目简化；而分割法则是一小块一小块的切，再去找许多重心线的最后一个交点，有点暴力法的味道。不过，分割法不管在哪种多边形上均可采用，只是边数越多越困难；而杠杆法则要再继续讨论如何利用形变找出两线段比再去分一重心线5.n边形杠杆法的重心线公式：n-2-1可切成n-2个三角形，而重心线条数为三角形个数-1,参考资料及网站,观念物理(二)牛顿科学研习百科,The End,谢谢观赏 请多指教,
