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1、1,第四篇 振动和波动,2,物体在一定位置附近来回往复的运动。,机械振动,3,振动:任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化波动:振动在空间的传播,物体在一定位置附近来回往复的运动称为机械振动。,广义地：任何一个物理量只要它在某一定值附近反复变化，都可以称为振动。,特征：重复性、周期性,简谐振动,4,第十二章 振动,5,*12-5 两个相互垂直的简谐振动的合成,12-4 一维简谐振动的合成 拍现象,*12-3 阻尼振动 受迫振动 共振,12-2 简谐振动的能量,12-1 简谐振动,12-6 振荡电路 电磁振荡,6,12-1 简谐振动,一、谐振动,作简谐振动的物体称为谐振子。（最典型的例子是弹簧
2、振子的运动）,简谐振动是最基本的振动:任何复杂的振动都可由简谐振动合成,7,弹簧振子系统,轻弹簧刚性物体,胡克定律,弹性力大小,坐标x 为物体相对于平衡位置的位移,8,平衡位置物体受合力为的位置,谐振动定义：弹簧振子系统在平衡位置附近位移不太大，沿直线周期性来回往复运动。,原长？,坚直？,水平弹簧振子,弹簧原长（坐标原点）,9,谐振动方程,即,令,受力回复力牛顿第二定律,为积分常数,*,求解得运动方程：,10,物体所受合外力大小F=-kx 的运动为简谐振动,d.简谐振动定义,令,加速度与位移成正比且方向相反的振动为简谐振动,位移是时间的余弦（正弦）函数的运动为简谐振动,简谐振动的微分方程,解为
3、,简谐振动方程,11,e谐振动物体的速度及加速度,12,二.简谐振动的振幅、周期及频率,振幅 A,周期 T,物体作一次完全振动所需的时间，单位 s,频率 v,单位时间内所作完全振动的次数，单位 Hz,角(圆)频率,秒内物体作全振动的次数,单位 rad/s 或 s-1,13,简谐振动方程可以表示为,振动周期和频率可以表示为,固有周期,固有频率,伽利略曾观察的比萨教堂的吊灯,14,符合定义的几种简谐振动模型,竖直弹簧振子,平衡时,振动方程,15,三.谐振动的相位、初相和振幅的决定,确定 t 时刻振动物体位置和运动方向,相位,t=0 时的相位,初相,由初始条件确定A和,设 t=0 时，,振幅,16,
4、由 给出 的两个可能值,由 的正负号，确定 的值,初相 的决定,17,例弹簧振子从平衡位置向正方向运动，振幅为，经过，其位移如何？,解:,18,例：一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为0.5 s。当t=0时，,求 运动方程,代入,解：,19,20,2.旋转矢量法(振幅矢量法),21,例3 用旋转矢量法求简谐振动物体在下列情况的初相.(1)起始时,物体具有负最大位移.(2)t=0时,物体在平衡位置且向负向运动.(3)t=0时,物体的位移为A/2且向正向运动.,解:,22,旋转矢量 与谐振动的对应关系,23,例4例题 12-2 设质点在Ox轴上作谐振动，振幅为A。若某时刻 t 测得质点的位移，向O
5、x轴负方向运动。求该时刻质点振动的相位。,作旋转矢量图，t 时刻质点振动的相位,解1 旋转矢量法,解2 解析法,24,谐振动的基本问题：证明物体做谐振动（满足三个定义之一）写运动方程（确定）,例5、一轻弹簧振子水平放置，m=0.40kg，当它受力为 F=810-3 kg 时伸长量为 x=4.9cm。就下列情形分别求谐振动方程,（1）将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后释放。,（2）将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后并给物体以 向左的速度0.20m/s释放。,25,解：小球受力为 F=-k x：小球作简谐振动,（1）,26,（2）,应取,27,求解振动问题的解题步骤：1、对振子进行
6、受力分析，判断振子是否作简谐振动（是否有简谐振动三个特征之一）2、确定振动的平衡位置（振子所受合力为零的位置）3、建立坐标系。最好选取平衡位置为坐标原点。若坐标原点选在别处，应注意：1）振动方程中的 x 是对平衡位置而言的，要进行变换 2）初始条件中x0 也是对平衡位置而言，也要进行变换4、求出 A、就可写出振动方程。,28,例6例P29 12-13,解:,平衡时:,任意时:,满足作谐振动的定义式,故物体作谐振动。,29,k,30,例7、例P29 12-15,解(1)m,自由落体,保守力作功,砝码的振动是简谐振动,以平衡位置为坐标原点,(2)碰撞,动量守恒,(3)谐振,平衡时:任意时:,31,
7、振动方程为：,32,解：作t=0时刻的旋转矢量,作x=-12cm处的旋转矢量,12,-12,33,解：设运动方程：,由图：A=2m,t=1：,解得：,t(s),例9：已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中数据写出振动表达式。,t=0：,34,15-2 简谐振动的能量,简谐振动系统机械能守恒,35,36,37,例10:谐振动物体m=0.02kg,当其经平衡位置时,v=0.6m/s,问其位移为A/2时,解:,38,例11 弹簧的倔强系数为k,一端固定,另一端连一质量为M的物体,其振幅为A.在下列两种情况下,一块质量为m的粘土从h高处自由落下,正好落在M上,问(1)振动周期有何变化?(2)系
8、统的能量有何变化?情况之一:粘土是在M通过平衡位置时落至M;之二,粘土是在M位于最大位移处落至M.,解:振动系统为弹簧+(M+m)振动周期取决于系统,故在两种情形(M+m)系统振动周期都相同.,因能量与振幅的平方成正比,所以核心是根据初始条件定出A.,39,m 粘上M之前:水平速度 m为0,M为,m粘上M之后:(M+m)水平速度为v.,t=0时,情形一:略去摩擦,M+m系统在水平方向动量守恒,之一:m是在M通过平衡位置时落至M,40,情形二:略去摩擦,M+m系统在水平方向动量守恒,m 粘上M之前:水平速度 m为0,M为0.,之二:m是在M位于最大位移处落至M.,m 粘上M之后:(M+m)水平速
9、度为v.,t=0时,有,41,例12:弹簧的串并联,弹簧的串并联与电阻串并联相反截取一截弹簧,其中一断KK原长,42,一.阻尼振动,能量衰减,不等幅的振动,12-3 阻尼振动 受迫振动 共振,例:摆动的秋千、单摆,阻尼振动的周期,谐振动：理想的等幅能量不衰减速的振动。,43,使振动能量减少的原因：,1（振动系统所受）摩擦阻力的作用2一部分能量转变为波的能量（由于振动系统在弹性媒质中引起波动）向四周辐射,二.受迫振动,系统在周期性外力作用下发生的振动,无周期性外力作用下发生的振动-自由振动,例：音叉,敲击之后，音叉发生振动-自由振动电磁铁使音叉振动-受迫振动,（电磁周期性变化供给音叉周期性外力）
10、,44,三、共振,周期性外力频率振动系统固有频率,受迫振动振幅,共振,45,长850米、宽12米的美国华盛顿州Tacoma Narrows 桥，于1940年，在通车几个月后，由凌晨的风引起大幅摆动因共振而垮塌,46,振幅,初位相,一质点同时参与两个同方向、同频率简谐振动,合振动位移,一、两个同方向、同频率简谐振动的合成,12-4 一维简谐振动的合成 拍现象,47,1.相位相同,2.相位相反,3.一般情况下,相位差 的影响,48,合振动的强弱与两分振动相位差的关系,49,例题 12-5 物体同时参与N个同方向、同频率的谐振动，其振幅都等于a，每相邻二振动的相位差都等于 成等差级数。求合振动振幅。
11、,解,设N个简谐振动的振动方程为,旋转矢量表示,可以证明 内接于同一圆弧。,50,合振动的振幅,其中,51,52,二、两个同方向、不同频率的简谐振动的合成拍现象,两个同方向、不同频率的简谐振动可表示为,合振动的位移为,若|w1-w2|w1+w2,合振动可看作角频率为,振幅为,53,合成后振幅时大时小的现象，称为拍,拍频,w拍=|w2 w1|,拍的周期,双簧管的两个簧片的频率相差无几，能产生悦耳的拍音,哨片,双簧管,54,一、两个互相垂直的、同频率的简谐振动的合成,两个互相垂直、同频率的简谐振动可表示为,合振动的轨道方程,为一椭圆,*12-5 两个互相垂直的简谐振动的合成,55,轨道是过原点斜率
12、为 的直线,1.两振动相位差 时，轨道方程为,质点简谐振动振幅为,56,2.两振动相位差 时，轨道方程,质点简谐振动振幅为,轨道是过原点斜率为 的直线,57,3.两振动相位差 时，轨道方程,其轨道是一以坐标轴为主轴的椭圆，质点在椭圆上沿顺时针方向运动,58,4.两振动相位差 时，轨道方程,其轨道是一以坐标轴为主轴的椭圆，质点在椭圆上沿逆时针方向运动,59,二、两个互相垂直的、不同频率的简谐振动的合成,李萨如图形,60,称为电磁振荡,最简单的振荡电路 LC 振荡电路,电容器开始放电,I=0,Wm=0,C,L,+,-,q0,一、LC 振荡电路振荡过程,12-6 振荡电路 电磁振荡,电路中电压和电流
13、（或电荷）的周期性变化,产生电磁振荡的电路称为振荡电路,前一瞬间,61,LC电路的充、放电过程,q0,-,q0,62,当电容器极板上带电量为 q，电路中电流为 I 时,线圈的自感电动势为,不计电路中内阻时，有,二、LC 振荡电路振荡过程的定量描述,电容器两端电势差为,63,代入,并令,所以电磁振荡是简谐振动,得,简谐振动微分方程,解为,并得,电流的振幅,64,1.电荷和电流都随时间作周期性变化,周期和频率分别为,角频率为,三、无阻尼电磁振荡的特点,电流比电荷的相位超前,设初相,电荷振幅和电流振幅都不变，称为等幅振荡,65,电感线圈中的磁场能,总能量为,2.振荡过程中的能量转换,电容器中的电场能,称为无阻尼自由振荡,振荡过程中没有能量耗散,66,LC 电路的振荡周期,弹簧振子的振动周期,3.LC 电路电磁振荡和弹簧振子简谐振动的比较,LC 电路,弹簧振子,对应关系,x v m k,位移 速度 质量 动能 势能,劲度系数,电荷 电流 电感 电容 磁能 电能,q I L,机械振动规律可推广到电磁振荡,67,耗散焦耳热以及电路辐射电,四、阻尼振荡和受迫振荡,在电路中加一周期性变化的外加电动势，就可以维持振荡的振幅不变，称为受迫振荡,形成阻尼振荡或减幅振荡,磁波使电磁振荡能量减少，,实际电路中因存在电阻,
