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1、第八节 多元函数的极值及其求法,在实际问题中常常遇到多元函数的最值问题.在一元函数的微分学中,我们曾经用导数求解极值和最值问题;现在讨论如何利用偏导数来求多元函数的极值与最值,讨论时以二元函数为例,其结论可类似地推广到三元及三元以上的函数.,一.多元函数的极值及最大值,最小值,多元函数极值的定义定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内不同于(x0,y0)的任何点(x,y),都有f(x,y)f(x0,y0)，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值(极小值)极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,(0,0)处函数值为R;而在(0
2、,0)邻域内，(0,0)的点的函数值都小于,在点(0,0)处有极小值.因为在任何不,在点(0,0)处有极大值,因为在,与z轴的交点.,例1,同于(0,0)的点处的函数值都大于函数在(0,0)处的值.从几何图形上看这是显然的.因为点(0,0)是圆锥,在（0，0）处的顶点。,.例2 函数,R.事实上(0,0,R)是上半球面,例3 函数z=-2xy 在点(0,0)处不取得极值.因为在(0,0)点的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.2.极值存在的必要条件和充分条件 与一元函数类似,我们用偏导数来判定二元函数的极值.定理1(极值存在的必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0
3、)处可微分且在点(x0,y0)处有极值,则在该点的偏导数必然为零.证明:只就极大值的情形加以证明.,因为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值,所以对于(x0,y0)的某个邻域内不同于(x0,y0)的任一点(x,y),有 f(x,y)f(x0,y0)特别在该邻域内取点(x,y0)(xx0),则上面不等式变为 f(x,y0)f(x0,y0).这表明一元函数f(x,y0)在x=x0处取极大值.因此有fx(x0,y0)0，从几何上看,这时如果曲面z=f(x,y)在点=0 同理 fy(x0,y0)=0,成为平行坐标平面xoy的平面,.使,处有切,函数z=f(x,y)在点,平面,则切平面的方程
4、,上面定理提供了寻找极值点的途径,对于可微函数,如果有极值点则极值点一定是驻点;但是上面的条件并不是充分的.即函数的驻点不一定是极值点.如例3中的函数z=-2xy,(0,0)是其驻点,可是函数在这点并不取得极值.另外,定理只是说明可微函数的极值点必定是驻点,即对于可微函数,找极值点只须在其所有驻点中去找.例1说明函数不可微点也可能是函数的极值点,因此寻找可能的极值点,只须在驻点和不可微点中去寻找.,同时成立的点称为函数的驻点.,下面定理回答了驻点在什么条件下成为极值点.定理2(极值存在的充分条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一个邻域内连续,且有连续的一阶,二阶偏导数,fx(x0
5、,y0)=0,fy(x0,y0)=0,记A=fxx(x0,y0)=0,B=fxy(x0,y0)=0,C=fyy(x0,y0)=0.则:(1)当=B2-AC0时 有极小值;(2)当=B2-AC0时,(x0,y0)不是极值点.(3)当=B2-AC=0时,函数在(x0,y0)可能有极值,也可能没有极值,需要讨论.定理证明从略.,第一步 解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0.求出所有的实数解,即得一切驻点;第二步 对于每个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数A,B和C;第三步 由=B2-AC的符号判断驻点是否为极值点,若是极大值还是极小值;第四步 求极值点处的函数即得所求极值.,3.极值的求法
6、 利用定理1和定理2,可得到具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的极值的步骤:,z=0,例4 求函数的极值,二 最大值和最小值,由连续函数性质知,函数在有界闭区域D上连续,则函数在D上一定有最大值和最小值.和一元函数一样,多元函数的最大值和最小值可能在D内取得,也可能在D的边界上取得.因此,求可微函数的最值的一般方法是:求出函数f(x,y)在D内所有的驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值,把它们加以比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.有时根据问题的实际意义或性质,知道函数的最大值(最小值)一定在区域D内取得,那么没有必要求函数在D的边界上的最大值(最小值),只须求出D内的
7、驻点处的函数值,并加以比较,最大的就是最大值;若只有一个驻点,那么驻点处的函数值就是函数在D上的最大值(最小值).,例5 作一个三角形,使得它的三个角的正弦乘积最大.解:设三角形三个角度分别为 x,y,-(x+y),先不妨设,由于在边界上,函数值为0.在闭区域内函数值0.所以最大值一定,在区域内得到.解方程组,得到x=y=/3.所以等边三角形为最大.最大值为,例6 要用钢板做一个体积为2立方米的有盖长方体水箱,问当长,宽高各取怎样的尺寸时,用料最节省.解:设水箱的长为x米,宽为y米,则其高应该为2/xy米.此水箱所用的材料面积为,三 条 件 极 值,(1)其中x,y,z须满足约束条件 xyz=
8、2(米3)(2)依题意,例6成为求(1)式满足条件(2)的最小值.这类附有条件限制的极值问题称为条件极值在一些极值或最值问题中,函数的各自变量之间还会受到另外一些条件的限制,例如例6,若设长方体水箱的长,宽,高分别为x,y,z(米),则表面积为 A=2(xy+yz+xz)问题.解条件极值问题的一个办法是化为无条件极值,即普通极值问题.,例如由(2)得到z=2/xy,代入(1),象例6那样去解普通极值问题.但是对于一般的条件(x,y,z)=0,解出其中的某个变量,有时是复杂的,困难的,甚至是不可能的.例如,不能显化的隐函数就是这样.下面我们介绍Lagrange乘数法是求解条件极值的常用方法.,例
9、如要求函数 u=f(x,y,z,t)(3)在约束条件(x,y,z,t)=0和(x,y,z,t)=0(4)下的极值.我们由(3)和(4)先构成Lagrange函数,其中1,2称为Lagrange常数,求L对其各变元的偏导数,并令其为0,并和条件(4)联列,组成方程组,即,是否极值点由实际问题的本身的性质来判断.由此可见,应用Lagrange乘数法,把求(3)在条件(4)的约束下的条件极值问题,转化成求函数(5)的无条件极值的驻点问题,这样就解决了隐函数显化的困难.,就是可能的极值点的坐标,方程组（6）的解,例6 要用钢板做一个体积为2立方米的有盖长方体水箱,问当长,宽高各取怎样的尺寸时,用料最节省.解:设水箱的长为x米,宽为y米,则其高为z米.此水箱所用的材料面积为A=2(xy+yz+xz)(1)和xyz=2(米3)(2)我们构造Lagrange函数,例7.在已知的椭球面内一切内接的长方体(各边分别平行坐,标轴)中,求其体积最大的.椭球面方程为,
