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1、微分方程及其应用,6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法,6.2 一阶线性微分方程,6.3 二阶常系数线性微分方程,6.4 常微分在经济中应用,6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法,6.1.1 微分方程的基本概念1.微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。注：在微分方程中，如果未知函数是一元函数，则方程称为常 微分方程，简称微分方程。2.微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶.,一般地，n 阶微分方程的一般形式为：,3.微分方程的解、通解（1）若某函数代入微分方程后，能使该方程两端恒等，则这个函 数为该微分方程的解。如 y=x2+2是方程（1
2、）的解,显然 y=x2+C 也是方程（1）的解.（2）如果微分方程的解中所含独立常数的个数等于微分方程的阶 数，这样的解称为微分方程的通解.如 y=x2+C 是方程（1）的通解.,4微分方程的初始条件和特解（1）确定通解中任意常数值的附加条件叫做初始条件；,一般地 一阶微分方程的初始条件为：二阶微分方程的初始条件为：,（2）由初始条件确定了通解中任意常数后所得到的解，称为微 分方程的特解。如 y=x2+2是方程（1）的特解.,中含有一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程，,是所给方程的通解.,中含有两个任意常数，而所给方程又是二阶的，,6.1.2 分离变量法 1定义 形如,的方程称为可分离
3、变量的方程.,特点-等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个只是x 的函数，另一个只是y的函数,2解法 设,当g(y)0时，两端积分得通解,注(1)当g(y)=0时，设其根为y=，则y=也是原方程的解；,解 分离变量，得 ydy=-xdx,说明：在解微分方程时，如果得到一个含对数的等式，为了利用对数的性质将结果进一步化简，可将任意常数写成klnC的形式，k的值可根据实际情况来确定，如例2中取k=1/2.,例5 设降落伞从跳伞台下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞 离开塔顶(t=0)时的速度为零。求降落伞下落速度与时间的函 数关系.解 设 降落伞下落速度为v(t)时伞所受空气阻力为-k（负号表
4、示阻力与运动方向相反（k为常数）伞在下降过程中还受重力P=mg作用，,由牛顿第二定律得,于是所给问题归结为求解初值问题,由此可见，随着t的增大，速度趋于常数mg/k，但不会超过mg/k，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动.,6.2 一阶线性微分方程,6.2.1 一阶线性微分方程 1定义：形如,的方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的连续函数,Q(x)称为自由项特点：方程中的未知函数y及导数,都是一次的,2分类若 Q(x)=0,即,称为一阶线性齐次微分方程若Q(x)0,则方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程,3一阶线性齐次方程的解法,类型：可分离变量的微分
5、方程,其中 C 为任意常数.,4一阶线性非齐次方程的解法 用常数变易法,在方程（1）所对应的齐次方程的通解的基础上进行变易,假设方程（1）有如下形式的解：,其中 C（x）为待定函数,于是方程(1)的通解为：,（4）式称为一阶线性非齐次方程（1）的通解公式上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求一阶线性非齐次方程的通解的一般步骤为：(1)先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解；(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解将所求 出的齐次方程的通解中的任意常数C改为待定函数C(x)即可；(3)将所设解带入非齐次线性方程，解出C(x)，并写出非齐次线性 方程的通解,式对应的齐次方程为
6、,将方程分离变量得,两边积分得,即,所以齐次方程的通解为：,将上述通解中的任意常数C换成待定函数C(x)，将其待入方程得,将C(x)代入式 得原方程的通解：,例3在串联电路中，设有电阻R，电感L和交流电动势E=E0sint，在时刻t=0时接通电路，求电流i与时间t的关系（E0,为常 数）,解设任一时刻t的电流为i 我们知道，电流在电阻R上产生一个电压降uR=Ri，,由回路电压定律知道，闭合电路中电动势等于电压降之和，即,在电感L上产生的电压降是,式为一阶非齐次线性方程的标准形式，其中,利用一阶非齐次线性方程之求解公式得通解：,6.2.2 可降阶的高阶微分方程,特点：方程y(n)=f(x)的右端
7、仅含有自变量解法：将两端分别积分一次，得到一个n-1阶微分方程;再积分 一次，得到n-2阶微分方程，连续积分n次，便可得到该 方程的通解,解 将所给方程连续积分三次，得,特点：方程右端不含未知函数y解法：令y=t，则y=t，于是原方程可化为以 t 为未知函 数的一阶微分方程t=f(x,t),解 令y=t，则y=t，,代入原方程得,分离变量得,两边积分得,即,再积分得,例6 如图，位于坐标原点的我舰向位于x轴上B(1,0)点处的敌舰发 射制导鱼雷，鱼雷始终对准敌舰设敌舰以常速v0沿平行于 y 轴的直线行驶，又设鱼雷的速率为2v0，求鱼雷的航行曲线方程,解 设鱼雷的航行曲线方程为 y=y(x)，在
8、时刻，鱼雷的坐标为P(x,y)，敌舰 的坐标为Q(1,v0t)因为鱼雷始终对准敌舰，所以,令y=p，方程可化为,这是不显含y的可降阶微分方程,根据题意，初始条件为,分离变量可解得,从上面两式消去v0t得：,两边关于x求导得:,即,即,所以,而,所以,积分得,以 y(0)=0代入，得,所以鱼雷的航行曲线方程为：,特点：方程右端不含变量x,从而将原方程化为一阶微分方程：,代入原方程得,当y0，P0时，分离变量得：,两端积分得：,当P 0时，则y=C（C为任意常数），,显然，它已含在解,所以原方程的通解为：,6.3 二阶常系数线性微分方程,定义 形如,的方程，称为二阶常系数线性微分方程其中p,q为常
9、数.,注 当f(x)0时，方程(1)称为二阶常系数非齐次线性微分方程；当f(x)=0时，即,方程(2)称为二阶常系数齐次线性微分方程,6.3.1 二阶常系数线性微分方程解的性质1齐次线性方程解的结构,定义：设y1=y1(x)与y2=y2(x)是定义在区间(a,b)内的函数，如果存在两个不全为零的常数 k1,k2，使得对于(a,b)内的任一x恒有,k1 y1+k2 y2=0成立，则称y1与y2在(a,b)内线性相关，否则称为线性无关,由定义知：y1与y2线性相关的充分必要条件是,不恒为常数，则y1与y2线性无关,定理1（齐次线性方程解的叠加原理）,若y1与y2是齐次线性方程(2)的两个解，则y=
10、C1 y1+C2 y2也是(2)的解，且当与线性无关时，y=C1 y1+C2 y2就是式(2)的通解证 将y=C1 y1+C2 y2 直接代入方程(2)的左端，得,所以 y=C1 y1+C2 y2是方程(2)的解,又 y1 与 y2线性无关，C1和C2是两个独立的任意常数,即 y=C1 y1+C2 y2中所含独立的任意常数的个数与方程(2)的阶数相同,所以 它又是方程(2)的通解.,2非齐次线性方程解的结构 定理2（非齐次线性方程解的结构）,若yp为非齐次线性方程(1)的某个特解，yc为方程(1)所对应的齐次线性方程(2)的通解，则 y=yp+yc为非齐次线性方程(1)之通解证 将y=yp+y
11、c代入方程(1)的左端有,所以 yp+yc 确为方程(1)的解 又 yc 中含有两个独立的任意常数，所以 y=yp+yc 中也含有两独立的任意常数，故 y=yp+yc 为方程(1)的通解,定理3 若y1为方程,y2为方程,则 y=y1+y2 为方程,的解.,证：将y=y1+y2代入方程(3)左端得,6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法,其中 p,q 为常数.,令方程(2)的解为,（r为待定常数）,代入方程(2)得,(4),由此可见，只要r满足方程(4)，函数,就是方程(2)的解,定义 称方程(4)为微分方程(2)的特征方程，方程(4)的两个根 r1,r2 称为特征根,由于特征方程(
12、4)的两个根,只能有三种,不同情形，相应地，齐次方程(2)的通解也有三种不同的形式,当=p2-4q 0时，特征方程(4)有两个不相等的实根r1 r2,由上面的讨论知道,是方程(1)的两个解,又y1与y2线性无关，因此方程(2)的通解为:,当=p2-4q=0时，特征方程(4)有两个相等实根 r=r1=r2,我们只能得到方程(1)的一个解,对y2求导得,代入方程(2)，得,又 r是特征方程的二重根，,因为u(x)不是常数，不妨取u(x)=x，,这样得到方程（2）的,另一个解,从而方程（2）的通解为,如果=p2-4q 0，即特征方程(4)有一对共轭复根,为了求出方程(2)的两个实数形式的解，利用欧拉
13、公式,将y1与y2分别改写为,由定理1知，,仍是方程(2)的解，这时,不是常数，,即,综上，求二阶常系数齐次线性微分方程通解的步骤如下：,第一步 写出方程的特征方程,第二步 求出特征方程的两个根r1及r2;,第三步 根据特征根的不同情况，写出微分方程的通解 具体如下：,特征方程的根,解 特征方程为,特征根,因此，方程的通解为,解 特征方程为,特征根,因此，方程的通解为,解 特征方程为,特征根为,于是方程的通解为,解 特征方程为,特征根,因此方程的通解为,故所求特解为,三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法,其中p,q为常数，f(x)0,它对应的齐次方程为：,其中为常数，Pm(x)为x的m次
14、多项式，即,设想方程(5)有形如,其中Q(x)是一 个待定多项式,代入方程(5)，整理后得到：,(6),当2+p+q 0时，设,(7),其中b0,b1,bm 为m+1个待定系数,将式(7)代入式(6)，比较等式两边同次幂的系数，得到以b0,b1,bm为未知数的m+1个线性方程的联立方程组，从而求出b0,b1,bm，即确定Q(x)，于是可得方程(5)的一个特解为,当2+p+q=0且2+p 0 时，(即为特征方程的单根),那么式(6)成为,由此可见，Q与Pm(x)同次幂，故应设,其中Q m(x)为m次待定多项式,将Q m(x)代入式(6)确定Q m(x)的m+1个系数，从而得到方程(5)的一个特解
15、：,当 2+p+q=0 且2+p=0 时，(即为特征方程的重根),那么式(6)成为,故应设,将它代入式(6)，确定Q m(x)的系数,所以方程(5)的一个特解为,综上所述，我们有如下结论：二阶常系数非齐次线性微分方程,(5),具有形如,的特解，其中Q m(x)为m 次多项式，k的确定如下：,根据欧拉公式及前面分析的结果可以推出下面的结论（讨论过程从略）：,其中 Q m(x)与R m(x)均为m次多项式(m=maxl，n)，其系数待定，而,解 原方程对应的齐次方程的特征方程为,其特征根为,代入原方程得,即,比较系数得：,所以,解 对应的特征方程为,特征根,所以，齐次方程的通解为,=3 恰是二重特征根,代入原方程后化简得：,于是,所以，原方程的通解为,解 对应的特征方程为,特征根,对应的齐次方程的通解为,=2 是特征单根，,代入原方程得：,整理得：,比较两端得,于是,故所给方程的通解为,解 特征方程为,特征根为,代入原方程得,比较等式两端得：,于是,由线性微分方程解的结构定理可知，所给方程的特解形式为,的特解,因此所给方程的特解为,6.4 常微分在经济应用,
