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1、名家之言,“有很多人很聪明，却被聪明所误。”“样样好，样样也干不好。”学会欣赏,名言警句,车尔尼雪夫斯基,人的活动如果没有理想的鼓舞，就会变得空虚而渺小!,在今天和明天之间，有一段很长的时间；趁你还有精神的时候，学习迅速办事!,歌德,读书之法,在循序而渐进,熟读而精思!,朱熹,第四章 高阶微分方程,主要内容 微分方程的一些基本概念及其应用；一阶微分方程的初等求解方法;一阶微分方程解的存在定理及其分析性质。,一、复习,结论 求解微分方程的一些基本方法；微分方程解的性质。,二、引言,在前面的讨论中已经看出，在实际问题中除了已讨论的一阶微分方程外，还将遇到一些其它类型的非一阶的微分方程，即高阶微分方
2、程，也就是二阶及二阶以上的微分方程。对于高阶微分方程度基本理论（包括存在唯一性定理）和求解方法，分两步来处理：对于线性微分方程（组）在本章和下一章讨论；而非线性微分方程（组）在第六章讨论。,在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究得十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术中也有着广泛的应用。所以，本章着重讨论线性微分方程的基本理论和常系数微分方程的解法，对于高阶微分方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法也作适当地介绍。,二、引言,主要内容 线性微分方程的一般理论;常系数线性微分方程的解法;高阶微
3、分方程的降阶和幂级数解法.,本章重点 线性微分方程的基本理论;常系数微分方程的解法.,主要手段 转化法，即简化问题.,三、主要内容和方法,一般的n阶线性微分方程为,这里 是 的已知函数。,主 题：讨论下列形式微分方程的解及其结构.,4.1 线性微分方程的一般理论,1、n阶线性微分方程,称（4.2）为n阶齐次线性微分方程，简称齐线性微分方程。,4.1.1 基本概念和主要定理,2、n阶齐次线性微分方程,定义：（n阶齐次线性微分方程，或齐线性方程）称（4.2）为n阶齐线性微分方程，简称齐线性方程。,3、基本概念,定义：（n阶非齐次线性微分方程，或非齐线性方程）而一般的方程（4.1）称为n阶非齐线性微
4、分方程，或简称非齐线性方程，并且通常把方程（4.2）叫做对应于方程（4.1）的齐线性方程。,4、高阶微分方程解的存在唯一定理,定理1,证明：利用线性微分方程组的相关理论证明（在此略）。以后将给出该定理的证明。,4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构,当k=n时，有,在什么条件下，表达式（4.4）能构成为n阶齐次线性方程（4.2）的通解？它将具有什么特性？为此，先研究函数组的相关性。,1、叠加原理(定理2),2、问题,如果 是方程（4.2）的k个解，则它们的线性组合 也是齐次线性微分方程（4.2）的解，这里 是任意常数。,注：齐次线性微分方程的任意k个解的线性组合仍然是这个方程的解。,3、函数的
5、相关性,考虑定义在区间 上的函数，如果存在不全为零的常数，使得恒等式,对于所有 都成立，则称这些函数是线性相关的，否则就称这些函数在所给区间上线性无关的。,线性无关的；,线性相关的.,4、函数组的伏朗斯基（Wronsky）行列式,由定义在区间 上的k个可微k-1次的函数 组所作成的行列式,定理3 若函数 在区间 上n-1次可微且线性相关，则在a,b上它们的伏朗斯基（Wronsky）行列式为零，即有.,证明（理论基础）：线性方程组的解理论。,(除教材上p123的证明方法外，还可以用反证法。),方法：构造法证明，即构造一个以伏郎斯基行列式为 系数行列式的线性方程组。,注：该定理的逆命题不一定成立。
6、如下函数：,要求：同学们验证。,结论：定理3的条件必要而不充分，即W(t)=0是函数组线性相关的必要条件，而不是充分条件。,但是，如果 是齐线性微分方程（4.2）的解，则有如下定理：,定理4 如果方程（4.2）的解 在区间 上线性无关，则 在a,b内的任何点上都不等于零，即有：,证明的基本思想：反证法，并用构造法进行证明，以及解的唯一性定理。,证明：采用反正法。设有某个 使得。考虑关于 的齐次线性代数方程组,(4.9),根据假定，线性方程组(4.9)有非零解。现以这组常数构造函数,根据叠加原理，是方程(4.2)的解，注意到(4.9)，知道这个解 满足初始条件,(4.10),但是 显然也是方程(
7、4.2)的满足初始条件(4.10)的解，由解的唯一性定理，即知，即,因为 不全为0，这就与 线性无关的假定矛盾。命题得证。,注释：根据定理3和定理4知道，由n 阶齐线性方程（4.2）的n个解构成的伏朗斯基行列式，或等于零，或在方程的系数函数为连续的区间内处处不等于零。并根据定理1，构造一组初始条件：,满足这组初始条件的解 一定存在，且又因为,于是由定理3知道，这n个解一定是线性无关的。于是有：,定理5 n阶齐线性方程（4.2）一定存在n个线性无关的解。,于是由定理3知道，这n个解一定是线性无关的。于是有：,定理6（通解结构定理）如果 是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可
8、表为：（4.11）其中 是任意常数。且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。,证明的基本步骤：1、（4.11）是（4.2）的通解(含有n个独立常数)；2、（4.11）包含了（4.2）的所有解，即任给一初始条件能 确定（4.11）中的常数,使（4.11）满足该初始条件。,5、通解结构定理,第一步：（4.11）是（4.2）的通解(含有n个独立常数),只须证明 相互独立即可。事实上，有,第二步（4.11）包含了（4.2）的所有解，即任给一初始条件能确定（4.11）中的常数,使（4.11）满足该初始条件。,分析：要证明（4.11）包含了（4.2）的所有解，由定理1，方程的解唯一地决定于初始条件
9、，因此，只须证明，任给一初始条件,(4.12),能够确定(4.11)中的常数 的值，使(4.11)满足(4.12).,若(4.11)满足(4.12),得到如下关于 的线性代数方程组,(4.13),该方程组的系数矩阵是由这n个线性无关的解构成的Wronsky行列式，于是不等于0，因此，该方程组有唯一解。命题得证。,推论：方程（4.2）的线性无关解的最大个数等于n。因此有：n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间。注意：把方程（4.2）的一组n个线性无关解称为方程的一个基本解组。显然,基本解组不唯一。,上述通解定理：给出了求解高阶奇次线性方程的方法和步骤：,求出n个线性无关的解；写出对应n阶奇次
10、线性方程的通解。,特别地，当 时称其为标准基本解组。,例1 已知方程，求它的基本解组？并写出它的通解。,分析：试探方法求其基本解组。,则原方程的通解为,性质2 方程（4.1）的任意两个解之差必为方程(4.2)的解。,其中 为任意常数，而且这个通解（4.14）包括了方程（4.1）的所有解。,4.1.3 非齐线性方程与常数变易法,性质1 如果 是方程（4.1）的解，而 是方程（4.2）的解，则 也是方程（4.1）的解。,定理7 设 为方程（4.2）的基本解组，而 是方程（4.1）的某一个解，则方程（4.1）的通解可表为,1、基本性质和定理,（4.14）是（4.1）的解：检验式证明方法;（4.14）
11、是（4.1）的通解：只需证明（4.14）中的n个常数是独立的即可;（4.14）包括了（4.1）的所有解：证明（4.1）的任意解都可以由（4.14）表示。利用性质2.,本质：定理6和定理7反映了齐线性方程与非齐线性方程解结构之间的紧密联系。于是得到求解非奇次线性方程的基本步骤：,2、定理7的证明思路,由定理可知：要求解非齐线性方程，只需要知道它的一个解和对应的齐线性方程的基本解组。只要知道对应的齐线性方程的基本解组就可以利用常数变易法求得非齐线性方程的解。,一阶非齐线性微分方程求解中常数变易法的精神实质是什么？,提问：,为了寻找，只要再找n-1个限制条件即可，而这些条件在理论上是任意取的，当然以
12、运算上“方便”为前提。适当选取方法，就可得到一关于 的线性方程组，进而利用求解线性方程组的方法可求得。,注意：方程。,3、非齐线性方程的求解步骤,求对应齐线性方程的一个基本解组；用常数变易法求非齐线性方程的通解。,求非齐线性方程的一个特解；求对应的齐线性方程的一个基本解组；写出非齐线性方程的通解。,常数变易方法：把对应齐线性方程的通解中任意常数看成待定函数，给出n个限制条件即可求解。,例1 求方程 的通解，已知它的对应齐线性方程的基本解组为：.,解：（常数变易方法）。,第二步，用常数变易法求非齐线性方程的通解,令,步骤：第一步，求对应齐线性方程的一个基本解组；,将它代入原方程，则可得有关 的方程组：,然后求解得原方程的解,解得,由此,其中 是任意常数。,例2 求方程 于域 上的所有解.,求解方法的选择：第二种（先求一特解，再求对应齐线性方程的基本解组）；求一特解：,再求对应齐线性方程 的基本解组：,于是原方程的所有解为：,分析：,注意：可以采用第一种方法进行求解，并且直观而具有公式化。,作业 P.131132 1(思),2,3（1,3,5）,4,5,7(思),介绍了齐次线性微分方程解的性质和结构；介绍了非齐线性微分方程解与齐线性微分方程解之间的关系；高阶微分方程的常数变易求解方法。,小结,
