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1、第一单元 常微分方程,一、两个实案案例,引言：微分方程的应用（人口增长、自动控制、市场控制、力学、电学）,项目1(1.1)一阶微分方程的解法,任务1-1 微分方程的基本概念,引言：微分方程的应用（人口增长、自动控制、市场控制、力学、电学）,解,曲线上任意点的坐标为(x,y)，则,案例1.3 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶，制动时列车获得加速度m/s.问开始制动后多长时间列车才能停住，在这段时间内列车行驶了多少路程？,解 设列车开始制动的时刻为t=0，制动t秒行驶了s米后停止，由导数的力学意义，列车制动阶段运动规律的函数 应满足,S(t)还应满足,（1）式两边积分得：,两边再积分得：,代
2、入以上两式得：,将,令,得,定义1 含有自变量、未知函数及未知函数的导数,(或微分)的方程，叫做微分方程.,未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程.,微分方程中未知函数的导数（或微分）的最高阶数，称为微分方程的阶,1.微分方程的定义,2.微分方程的阶,二、基本概念,判定下列等式是否微分方程？如果是，指出它的阶数。,(1)y+2xy=e x(2)y-5 y=2 x 2-x+1(3)2 y-3(y)3+5y=8x(4)y 2-x+1=0(5)(sinx)=cosx(1)y=0(7)(y)4=e x y,定义2 如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则称此函数为微分方程的解。,（1）通解：如
3、果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。,3.微分方程的解,（2）特解：在通解中，给任意常数以确定的值而得到的解称为特解。,（3）初始条件：用来确定通解中任意常数的条件,如案案例1,（通解）,（初始条件）,（特解）,解,4.指出微分方程的阶、通解或特解,一阶微分方程的一般形式为 F（x，y，y）=0,下面我们仅讨论几种特殊的一阶微分方程 及解法,则该微分方程称为可分离变量的微分方程,任务 1-2(1.1.2)分离变量法,如果一个一阶微分方程 F（x，y，y）=0可化为,的形式，,两边积分，得,则微分方程的通解为：,解,分离变量,两端
4、积分,（C=2C1),案例1.5 求解微分方程,的通解。,即,为方程的通解,案例1.1 求微分方程 xydy+dx=y 2dx+ydy 的通解,解,分离变量,两端积分,故方程的通解为,案例1.7 求微分方程 满足初始条件y（0）=1的特解,解,分离变量,两端积分,故所求的特解为,由初始条件y（0）=1，得,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,案案例如,线性的;,非线性的.,任务1-3(1.1.3)常数变易法,齐次方程的通解为,线性齐次方程,我们先讨论 一阶齐次线性微分方程的解法,(使用分离变量法),下面我们用常数变易法在齐次线性方程的通解式的基础上来求解非齐
5、次线性方程式的通解，即把齐次线性方程的通解式中的C看作是x的函数C（x）.,设,是非齐次方程的通解,把它代入非齐次方程，由此来确定待定函数C（x）.这时,两边积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,案例 求微分方程 的通解.,解一 将原方程变形为,（1）先求对应齐次方程,的通解.,（2）把 换成，即设,（3）把它代入方程，化简后得：,两边积分，得,（4）把C(x）代入，即得原方程的通解是：,解二 我们也可以直接利用通解公式求解，此时,，得通解,案例1.9 求微分方程 x2dy+(2xy x+1)dx=0 满足初始条件y(1)=0的特解,解,把初始条件 y(1)=0 代入上式，得C=1/2,故所求方程的特解为,补充：求微分方程(y 2-1 x)dy+2ydx=0的通解,（y为自变量）,解,故所求方程的通解为,
