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1、欧拉公式 常微分方程,2016/2017 学年 第一学期（16周）, 在科学与工程技术领域中，常需要求解常微分方 程的定解问题。这类问题的最简单形式，是一阶 常微分方程的初值问题。 我们知道，只要右端函数 f(x,y) 适当光滑，如关 于 y 满足利普希茨条件 理论上就可以保证初值问题的解 y=y(x) 存在并 且唯一。,微分方程数值解法, 在 处的导数 可以近似地表示成差商 用 近似地代替 ，可将初值问题离散化成 为 即 以上公式称为显式欧拉公式。 为了不引起混淆 表示解 在 处 的精确值，而 表示其近似值。,显式欧拉公式, 在显式欧拉公式中，除了 外，有 和 。因此，用显式欧拉公式计算 所
2、得到点列的散点图，是一条近似欧拉折线。,显式欧拉公式几何意义, 在 处的导数 ，可以近似表示成差商 用 代替 ， 代替 ，可将初值 问题离散化成为 即 以上公式称为隐式欧拉公式。,隐式欧拉公式, 公式 (1) 和 (2) 均为欧拉公式，但有本质的区 别。式 (1) 是关于 的一个可直接进行的计算 公式，这类公式称作显式的；而式 (2) 的右端含 有未知的 ，它实际上是一个关于 的计算 方程，这类公式称作隐式的。,欧拉公式, 隐式公式不能直接求解，需采用迭代法求解。用 显式欧拉公式提供迭代初值，其迭代公式为： 因为 这里，L 是 f(x,y) 关于 y 的利普希茨常数，如果 选取 h 充分小，使
3、得 hL1，则当 时，有 ，这说明以上迭代公式是收敛的。,欧拉公式, 对方程 从 到 积分，得 利用数值积分中的梯形公式 并将式中的 用 代替， 用 代替 可导出 称此公式为梯形公式。容易看出，梯形公式实际 是显式和隐式欧拉公式的算术平均。,梯形公式, 可以不难看到，梯形公式虽然提高了精度，但其 算法复杂，在应用迭代公式进行实际计算时，每 迭代一次，都要重新计算函数 f(x,y) 的值，而迭 代又要反复进行若干次，计算量很大。为了控制 计算量，通常只迭代一次就转入下一步的计算， 这样就简化了算法。,改进的欧拉公式, 具体的说，先用显式欧拉公式求得 的近似 值 ，称这个值为预报值，预报值的精度可能 较差，再将该预报值代入梯形公式，求得 ， 称这个值为校正值，校正值的精度会有所提高， 如此建立的计算公式称为改进的欧拉公式。,改进的欧拉公式, 在实际计算中，通常将改进欧拉公式表述称以下 形式： 预报： 校正： 改进：,改进的欧拉公式,例题, 例：利用欧拉方法、改进欧拉方法求解以下初值 问题，其中步长 。, 解： 欧拉计算公式： 改进欧拉计算公式：,例题, 解：计算结果如表所示。,例题,例题, 例：利用欧拉方法求以下公式在给出点处的近似 值（取 ）。, 解：问题等价于求解 记 ，取 则 于是欧拉计算公式： 可得：,例题,
