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1、第3章 高阶微分方程,要求掌握线性微分方程的基本理论常系数方程的解法！,3.1 线性微分方程的一般理论,3.1.1 引言n阶非齐次（齐次）线性微分方程,定义,称为n阶齐次线性微分方程,例,解的存在唯一性定理（P32）,定理3.1.1,4.1.2 齐线性方程的解的性质和结构,定理3.1.2,叠加原理,证明:,故有,解:,问题在什么条件下，能够成为n阶齐次线性微分方程的通解？它将具有什么特性？函数线性相关与线性无关,定义3.1.1(线性相关与线性无关),例,定义3.1.2,伏朗斯基(Wronsky)行列式,函数的线性相关性与Wronsky行列式的关系,定理3.1.3,证明:,使得,由线性代数理论知
2、,要使方程组存在非零解,则它的系数行列式必为零,注,定理3的逆不成立.,如函数,事实上,若有恒等式,则,推论3.1.1,定理3.1.4,证明:,“反证”,（定理3.1.3的逆否命题）,现以这组常数构造函数,由定理3.1.2知,又因为,由解的唯一性定理知,由定理3.1.4易得下面结论,推论3.1.2,推论3.1.3,由定理3.1.1知,方程(3.1.2)满足下面n个初始条件,又因为,由此得下定理,齐线性方程线性无关解的存在性,定理3.1.5,通解的结构,定理3.1.6,考虑方程组,以这组常数构造,由解的唯一性定理得:,即,推论,基本解组:,注:,基本解组不是唯一的.,例1,因而有,证明:,由于,
3、微分上述行列式,得,这时行列式最后一行的元素是,则,即,从而,所以,故,这是著名的刘维尔公式,解:,由刘维尔公式得,由此可得,则,就是二阶方程的另一解,又因为,从而通解为,解:,由上面导出的二阶方程的通解公式可得,4.1.3 非齐次线性方程与常数变易法,非齐线性微分方程,对应齐线性微分方程,齐线性微分方程解的性质,性质3.1.1,证明:,因为,所以,由微分性质两式相加得,性质3.1.2,证明:,则,故,通解的结构,定理3.1.7,证明:,这些任常数是相互独立的,(3.1.8)为方程(3.1.1)的解,由定理3.1.6的证明过程易知,由性质3.1.1知,故(3.1.8)为方程(3.1.1)的通解
4、.,则由性质3.1.2知,由定理3.1.6知,故,即方程(3.1.1)的任一解都可由(3.1.8)表出,(3.1.8)包括了(3.1.1)的所有解.,常数变易法,则,为方程(3.1.2)的通解.,此时(3.1.9)变为,将它代入(3.1.1),在理论上,这些限制条件可以任意给出,但为了运算方便,我们按下面方法来给出这n-1个条件,令,得,和表达式,继续上面做法,直到获得第n-1个条件,和表达式,因而方程组的解可唯一确定,设由上面方程求得,积分得,求解步骤,例3,解:,利用常数变易法,令,解得,因此,故通解为,例4,解:,对应的齐线性方程为:,将该齐次方程改写成:,积分得:,所以,故方程有基本解组:,将原方程改写成:,解得,因此,故原方程的通解为,
