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1、1,第三章 单服务窗排队模型,第一节 损失制M/M/1/1第二节 等待制M/M/1第三节 混合制M/M/1/m第四节 可变服务率的M/M/1第五节 可变输入率的M/M/1第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m第八节 有差错服务的M/M/1,2,2.1 单服务窗等待制排队模型M/M/1,顾客到达参数为的泊松流顾客服务时间负指数分布，服务率为,3,2.2 M/M/1排队模型分析,k=k=0,1,2,3.k=k=1,2,3,4,0,1,2,k-1,k,k+1,4,2.3 M/M/1的平稳分布,5,2.4 M/M/1的目标参量,1.平均系统队长2.顾客在系统内平均逗
2、留时间,6,2.4 M/M/1的目标参量,3.系统内排队等候的平均顾客数4.顾客平均排队等候时间,7,2.4 M/M/1的目标参量,5.系统内多于k个顾客的概率6.记ls为系统内顾客数，则其方差 为7.记lq为系统内排队等候的顾客数，则其方差为,8,某音乐厅设有一个售票处，营业时间为8时到16时，假定顾客流和服务时间均为负指数分布，且顾客到来的平均间隔时间为2.5分钟，窗口为每位顾客服务平均需1.5分钟，试求：顾客不需等待的概率p0；平均排队长度Ls；顾客在系统中平均逗留时间Ws；平均排队等待人数Lq；平均排队等待时间；,2.5 例题,9,某音乐厅设有一个售票处，营业时间为8时到16时，假定顾
3、客流和服务时间均为负指数分布，且顾客到来的平均间隔时间为2.5分钟，窗口为每位顾客服务平均需1.5分钟，试求：系统内顾客人数超过4个的概率 p=P（ls4）；顾客在系统内逗留时间大于15分钟的概率P（Ws1/4）在六天工作日内系统中没有顾客的小时数；若决定当顾客平均逗留时间超过半小时时，就应增加一个售票窗口，试问这相当于要求顾客的平均到达率是原有的几倍？,2.5 例题,10,3.1 单服务窗混合制排队模型M/M/1/m,顾客到达间隔时间参数为的负指数分布服务时间参数为的负指数分布排队系统容量：m如果顾客到达系统发现系统满员，则不得不离开，是系统损失了的顾客,11,3.2 M/M/1/m排队模型
4、分析,k=k=0,1,2,3,m-1k=k=1,2,3,4,m可约、状态有限，因此是个遍历链，必定存在唯一的平稳分布,12,3.3 M/M/1/m的平稳分布,13,3.4 目标参量（1）,1 P损2 相对通过能力Q3 等待队列的平均长度,14,3.4 目标参量（1）,4 服务机构平均顾客数L服5 系统内平均顾客数Ls,15,3.4 目标参量（1）,6 单位时间内平均损失的顾客数7 单位时间内平均进入系统的顾客数8 平均等待时间,16,3.4 目标参量（1）,9 服务窗平均服务强度任何一个单服务窗的平均服务强度等于平均队长,17,3.4 目标参量（=1）,当=1时，,18,3.5 例题,设某自行
5、车修理处只有一个修理工，修理处内最大容量可以停放7量自行车，又自行车按平均每小时3辆的速率到达修理处要求修理，而修理工平均修理一辆自行车需要15分钟，试求各相应目标参量。,书57页,19,4 可变服务率的M/M/1排队模型,服务率会因为系统中的顾客数不同而变化举例1（有2种服务率的情况）等待制排队系统，服务率大于到达率时系统才能进入统计平衡状态,0,n-1,2,1,n,1,1,1,1,1,n+1,2,2,2,2,2,顾客数小于等于n时，采用服务率1,顾客数大n时，采用服务率2,20,4 可变服务率的M/M/1排队模型,举例2（服务率根据系统内顾客数成倍增长的情况）系统内顾客数为jm+1时，服务
6、率发生变化,1,0,m,m+1,2,2,2m,2m+1,3,3,2,jm,jm+1,(j+1),j,(j+1),21,4 可变服务率的M/M/1排队模型,平均服务率平均服务时间平均服务强度,22,5 可变输入率的M/M/1排队模型,顾客到达排队系统，因为不愿进入排队系统而离开，顾客进入系统、离开系统的概率与系统内顾客人数有关。,最大顾客数,因不愿排队而损失的顾客,（1k）,k,23,5 可变输入率的M/M/1排队模型,举例:顾客进入系统的概率为实际进入到排队系统的顾客输入率为,0,k-1,2,1,k,/2,/3,/(k-1),/k,k+1,/(k+2),/(k+1),24,5 可变输入率的M/
7、M/1排队模型,平均输入率平均服务强度损失概率，系统内有k个顾客时，损失概率为(1-k),25,6 具有不耐烦顾客的M/M/1排队模型,顾客在排队等候的过程中，会因为不耐烦而离开排队系统，使系统顾客数减1，成为系统损失的顾客,最大顾客数,因不耐烦而离开的顾客k,排队等候的顾客k个,26,6 具有不耐烦顾客的M/M/1排队模型,假如离开的顾客流泊松流，强度与系统内排队等候的顾客数有关k，则系统内顾客数变化是生灭过程,0,k-1,2,1,k,+1,+2,+k-2,+k-1,k+1,+k,27,7 单服务窗闭合式排队模型M/M/1/m/m,顾客到达排队系统间隔时间服从负指数分布顾客接受服务的时间服从
8、负指数分布，参数为假定顾客源中单个顾客的到达率为,最大顾客数m,(m-c),系统内的顾客数c,顾客源中的顾客数m-c,0cm,28,7 单服务窗闭合式排队模型M/M/1/m/m,到达率分析顾客源中单个顾客的到达率为当系统中有k个顾客的时候，顾客源中有(m-k)个顾客，到达率为(m-k)，,0,m-1,2,1,m,m,(m-1),(m-2),2,M/M/1/m/m排队模型的状态流图,29,7 单服务窗闭合式排队模型M/M/1/m/m,求平稳分布得：,30,7 单服务窗闭合式排队模型M/M/1/m/m,此排队模型虽然系统内顾客最大数有限，但是不会出现顾客损失的情况，所有的顾客都可以进入到排队系统等
9、候、接受服务目标参量,31,7 单服务窗闭合式排队模型M/M/1/m/m,例题设机器维修工人一人负责看管3台机器，每台机器平均正常工作5天后出现一次故障，维修工人平均每天可以修复半台机器。试求平均停机台数Ls，平均停机等待修理台数Lq，机器发生故障停机到修复的平均耗时Ws，出故障机器平均等待检修的时间Wq，以及机器运转的效率与维修工人的劳动强度,32,习题2 M/M/1,在以M/M/1为模型的分组传输系统中，设分组的到达为泊松流，平均到达率为（分组/秒），分组长度服从负指数分布，平均长度为1/（比特/分组），输出速率为c（比特/秒），求每一分组在系统中经历的平均时延系统中的平均分组数将与c同时
10、提高N倍，重复(1)(2)，并对结果加以解释,33,课后习题,1、病人以平均每小时8人的速率来到只有一名医生的诊所，候诊室有9把座椅供病人等候，若每一病人平均诊断需6分钟，（假定病人到达和诊断时间均为负指数分布），试求：1）开诊时间内候诊室满员所占的时间比例2）分别求出有1个病人、有2个病人在候诊室外排队的概率。,34,课后习题,9、设顾客到达收款处是泊松流，每小时平均来20人，为保证顾客排队等候平均时间不超过5分钟，问收款员工作的平均速率应为多少,35,课后习题,20、为开办一个小汽车冲洗站，必须决定提供等待汽车的使用的场地的大小。假设要冲西的汽车到达服从泊松分布，平均每4分钟一辆。冲洗的时间服从负指数分布，每3分钟洗一辆。如果所提供的场地仅能容纳1）一辆2）三辆3）五辆（包括正在冲洗的一辆），比较由于等待场地不足而转向其他冲洗站的汽车占要冲洗汽车的比例,36,课后习题,29、某车间有5台机器，每台机器连续运转时间为指数分布，平均连续运转15分钟。设有一个修理工，每次修理时间为指数分布，平均每次修理需12分钟，试求：1）修理工空闲的时间2）5台机器同时出故障的概率3）出故障机器的平均台数4）等待修理的平均台数5）机器的平均停机时间6）机器的平均修理时间,
