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1、数值分析典型例题 I,一、二章内容提要典型例题分析例题与练习题实验题介绍,具有n 位有效数字,则绝对误差满足,相对误差满足,如果一个浮点数,1.设x*是 f(x)=0在a,b内的唯一根,且 f(a)f(b)0,则二分法计算过程中,数列,满足:|xn x*|(b a)/2n+1,2.Newton迭代格式:,3.弦截法迭代格式:,(n=0,1,2,),设,若存在 a0,r0 使得,则称数列xn r 阶收敛.,定理2.6 设x*是 的不动点,且,而 则 p阶收敛,例1.设x1=1.21,x2=3.65,x3=9.81都具有三位有效位数,试估计数据：x1(x2+x3)的误差限。,解：由|e(x1)|0
2、.510-2，|e(x2)|0.510-2，|e(x3)|0.510-2所以,|e(x2+x3)|10-2|e(x1(x2+x3)|(1.21+0.513.46)10-2=7.9410-2,例2.设计算球体V允许其相对误差限为 1%,问测量球半径R 的相对误差限最大为多少?,解：由球体计算公式分析误差传播规律,故当球体V 的相对误差限为 1%时，测量球半径R的相对误差限最大为0.33%。,相对误差传播规律,Ex1.对球冠体积若允许其相对误差为1%,问应该对R,h 如何限制?,例3*.采用迭代法计算，取x0=7,(k=0，1，2，),若xk具有n位有效数字，求证xk+1具有2n位有效数字。,Ex
3、2：对 是否都有这一性质?,1-8 序列 yn 满足递推关系 yn=10yn-1 1(n=1,2,)若取 y0=2 1.41(三位有效数字).递推计算 y10 时误差有多大？,思考:由递推导出符号表达式可否用于计算？,Ex3.用递推公式:In=1 nIn-1(I0=1-e-1)推导 In 的符号表达式,1-12 利用级数可计算出无理数 的近似值。由于交错级数的部分和数列Sn 在其极限值上下摆动，试分析，为了得到级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。,解:由部分和,只需,n 1000时,Sn有三位有效数,Ex4.推导部分和数列加速的计算表达式,2-6 应用牛顿迭代法于方程 x3 a=0,导出
4、求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶。,解：令 f(x)=x3 a，则牛顿迭代公式,故立方根迭代算法二阶收敛,例 4.设a 为正实数，试建立求1/a 的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式的收敛。,xn+1=xn(2 a xn)，(n=0，1，2),所以,当|1 a x0|1 时，迭代公式收敛。,解:建立方程,利用牛顿迭代法，得,例2.10 用牛顿迭代法求解非线性方程组,分别取初值(1,0),(2,2),牛顿迭代法计算数据如下,Ex6.若 x*是f(x)=0的m重根,试分析牛顿迭代法的收敛阶,Ex7.若 x*是f(x)=0的m重根,试证明修正的牛顿迭代法,至少为二阶收敛,
5、Ex9 隐函数定理条件满足时,利用G(x,y)=0可以计算隐函数的值,设有G(x0,y0)=0,则在x0附近有y=y(x).试分别构造牛顿迭代法和割线法计算函数值的迭代格式,Ex8 证明割线法可改写如下迭代公式,Ex11 确定下列方程的全部隔根区间,(1)x sin x=1；(2)sin x e-x=0；(3)x=tan x；(4)x2 e-x=0,Ex10 在计算机上对调和级数逐项求和计算,当 n 很大时，Sn 将不随n 的增加而增加。试分析原因。,Ex12 对于复变量 z=x+i y 的复值函数 f(z)应用牛顿迭代公式,时为避开复数运算,令 zn=xn+i yn f(zn)=An+i Bn，f(zn)=Cn+i Dn,证明,牛顿迭代法的收敛域问题:用牛顿迭代法求解复数方程 z3 1=0，该方程在复平面上三个根分别是,z1=1,选择中心位于坐标原点，边长为2的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，把收敛到三个根的初值分为三类，并分别标上不同颜色（例如红、黄、蓝）。对充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图。,收敛到 z1 的牛顿迭代初值点集合,收敛到 z2 的牛顿迭代初值点集合,收敛到 z3 的牛顿迭代初值点集合,在复平面内,有一些例外点是牛顿迭代不收敛的初值点.这些例外点构成了茹利亚集(为纪念法国女数学家Julia).,
