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1、第五章非线性方程及非线性方程组解法,由何满喜,尚绪凤制作,计算方法,计算方法课件,5.1 对分法,5.4 弦位法,5.3 牛顿迭代法,5.2 迭代法,在本章，你将学到,5.1 对分法5.2 迭代法5.3 牛顿迭代法5.4 弦位法5.5 解非线性方程组的牛顿迭代法,5.5 解非线性方程组的牛顿迭代法,第五章,非线性方程及非线性方程组的解法,一个非线性方程的根可能是实数也可能是复数，这里只考虑方程的根为实数的情况。,第五章,5.1 对分法,设非线性方程,（5.1）,第五章,5.1 对分法,若,则,就是,近似值.,如此下去，这就是求方程实根的对分法。,第五章,5.1 对分法,（5.4）,第五章,5.
2、1 对分法,并利用公式（5.2）和（5.3）继续以上过程，,解 记,则,第五章,5.1 对分法,第五章,5.2 迭代法,把非线性方程(5.1)改写成以下等价形式的方程,由此可作迭代公式,（5.5）,（5.6）,迭代法的几何意义如图5.2所示。,这就是非线性方程(5.1)求根的迭代法,并把,称为迭代函数。,第五章,5.2 迭代法,从点,出发，过点,做平行于,再过点,该交点,的坐标为,，又过点,第五章,5.2 迭代法,是发散的,第五章,5.2 迭代法,例2,解:,(1)将原方程化为等价方程,由此得迭代公式,取，则有,第五章,5.2 迭代法,显然迭代法发散。,(2)如果将原方程化为等价方程,则有迭代
3、公式：,仍取初值,，则有,第五章,5.2 迭代法,依此类推得,x3=0.9940 x4=0.9990 x5=0.9998x6=1.0000 x7=1.0000,同样的方程不同的迭代格式有不同的结果,已经收敛,故原方程的解为,迭代函数的构造有关,什么形式的迭代函数能够收敛呢?,第五章,5.2 迭代法,问题是方程（5.1）改写成（5.5）等价形式的方法较多，因此如何改写或如何选择迭代函数,才能由迭代公式（5.6）得到的序列收敛于,？,方程（5.1）的根,第五章,5.2 迭代法,定理1 把非线性方程（5.1）改写成（5.5）等价形式时，若迭代函数,满足,条件：,即对任意的,都有,（5.7）,常数.,
4、（5.8）,若L1,则由迭代公式（5.6）得到的序列,收敛于方程（5.1）的根,，并有误差估计式,第五章,5.2 迭代法,第五章,5.2 迭代法,连续，因此对迭代公式（5.6）两边求极限得,故定理得证。,第五章,5.2 迭代法,推论 设把方程(5.1)改写成(5.5)等价形式时，,在实际应用中验证迭代公式（5.6）的迭代函数,第五章,5.2 迭代法,解 由于方程,在区间,内有一个正根，所以将方程改写成下列形式：,因此取,所以迭代公式,第五章,5.2 迭代法,计算结果见表5.2，由此得正根为,。,第五章,5.3 牛顿迭代法,设,则其解为,并记为,第五章,（5.10）式就称为牛顿迭代公式。,（5.
5、10）,否则再把,在,就可得到一个迭代序列,及迭代公式：,点展开成泰勒级数，继续这个做法，,牛顿迭代公式的推导也可用以下方法得到。,5.3 牛顿迭代法,第五章,（5.11）,令,，则切线方程的根为,5.3 牛顿迭代法,若,则,就是,的近似值,否则继续以上,做曲线,的切线,过程,过点,令,则,记,第五章,并记为,（5.10）,继续考虑是否,，若满足，则,就是,所以牛顿迭代法也称为切线法。,5.3 牛顿迭代法,牛顿迭代法的几何意义就是用过点,的切线,与x轴的交点,逐步逼近方程（5.1）的根,见图5.3。,第五章,5.3 牛顿迭代法,第五章,定理2 设非线性方程（5.1）的函数,在区间,上有二阶导数
6、，,是由（5.11）得到的,的切线，那么,由此不难得到定理的结论（5.12）和（5.13）。,5.3 牛顿迭代法,由（5.11）得,第五章,5.3 牛顿迭代法,定理3 设非线性方程（5.1）的函数,满足：,（1）对任意,，,不变号，,（2）对任意,，,（3）,证明 由条件(1)、(2)知，函数,是单调函数.,再用条件(3)可知，,(见后面图)：,属于下列情况之一,则由迭代公式（5.10）得到的点列,一定收敛于方程（5.1）的唯一根,第五章,5.3 牛顿迭代法,（a）,（b）,（c）,仅就情况（c）来证明。,对初始值,，要使满足,，,则必有,因此在情况(c)下，若,实际上，因,，故由(5.11)
7、给出的切线,第五章,5.3 牛顿迭代法,对公式（5.10）求极限得,所以切线,的零点,，即点列,是单调下降且有界，故必有极限，设,即,，故,是方程的根，因为,因此必有,，从而,，定理得证。,满足条件（1）（3），所以方程根是唯一的，,第五章,5.3 牛顿迭代法,解 把方程,等价变为以下方程：,故迭代公式,5.4 弦位法,第五章,5.4 弦位法,弦位法是对曲线,做过点,的直线,（5.14）,并用直线,的零点来逼近方程（5.1）的根,。,先求方程,的根并把根记为,就得迭代公式:,（5.15）,这就是求方程(5.1)根的弦位法(也称双点弦截法).,弦位法的几何意义就是用直线的零点来逐步逼近方程（5.
8、1）的根，见图5.4。,第五章,5.4 弦位法,类似于以上双点弦截法，也有单点弦截法，即还可以得到单点弦截法的迭代公式：,第五章,5.5 解非线性方程组的牛顿迭代法,第五章,5.5 解非线性方程组的牛顿迭代法,以两个二元方程为例介绍解非线性方程组的牛顿迭代法。对非线性方程组,（5.16）,设（5.16）的一个初始近似解为,，把,展开公式展开，并只取其线性部分，对非线性方程组（5.16）就可得以下线性方程组：,第五章,5.5 解非线性方程组的牛顿迭代法,（5.17）,只要系数矩阵的行列式,(5.18),则方程组（5.17）的解可以求出，即有,第五章,5.5 解非线性方程组的牛顿迭代法,（5.19）,其中,（5.20）,考察,和,，若都满足,那么,第五章,5.5 解非线性方程组的牛顿迭代法,就是非线性方程组的近似解，否则继续以,上做法，即用迭代公式,（5.21）,其中,的计算与公式（5.18）、（5.20）相同，,只是把点,换成点,这就是求解非线性方程组的牛顿迭代方法。,即可。,第五章,5.5 解非线性方程组的牛顿迭代法,例4 设有非线性方程,试用牛顿迭代方法在,附近求解。,解 先计算对应线性方程组（5.17）的系数矩阵得,再用公式（5.18）、（5.20）计算出,第五章,5.5 解非线性方程组的牛顿迭代法,第五章,5.5 解非线性方程组的牛顿迭代法,所以非线性方程组的解为,
