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1、1,第二章 守恒定律,2.1 动量与冲量 质点的动量定理（牛顿第二定律积分形式一：动量定理）,微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的瞬时关系，对于中间的每个过程必须考虑。某些情况下，并不需要考虑中间过程，可以由几个状态求解问题。这时候，采用积分形式的牛顿第二定律更有效。这就是动量定理与动能定理。,1.动量定理（单个质点）,重写牛顿第二定律的微分形式,考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分,航天飞机,动量定理,左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。,于是得到积分形式,这就是动量定理：物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。,动量定理的几点说明：,(1)冲量的方向：,冲量
2、的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而是所有元冲量 的合矢量 的方向。,(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程,(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。,动量定理,打击或碰撞，力 的方向保持不变，曲线与t轴所包围的面积就是t1到t2这段时间内力 的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。,(4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。,(5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其使用范围是惯性系。,(6)动量定理在处理变质量问题时很方便。,动量定理,平均冲力,例：一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以 同样速率反弹，接触时间仅0.019s，求：对地平均冲力？,
3、解：篮球到达地面的速率,（m/s）,（N）,1.内力和外力,2.2 质点系的动量定理,内力,外力,2.质心系的动量定理,对于两个质点：,两式相加：,=常矢量,如果系统所受的外力之和为零（即），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律。,条件,定律,2.3 动量守恒定律,直角坐标系下的分量形式,=常量,=常量,=常量,火箭飞行,前苏联东方1号火箭,长征三号运载火箭,火箭发射,设在某一瞬时，火箭的质量为，速度为，在其后 到 时间内，火箭喷出了质量为 的气体，是质量 在 时间内的增量，喷出的气体相对于火箭的速度为，使火箭的速度增加了。,喷气前总动量为：,喷气后火箭的动量为：,所喷出燃气的动量
4、为：,M,t时刻,t+dt时刻,M-dm,由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变。根据动量受恒定律,设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量,设火箭开始飞行的速度为零，质量为，燃料烧尽时，火箭剩下的质量为，此时火箭能达到的速度是,多级火箭,例题 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。,解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力 和地面支持力，而且，在发射过程中 并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。,它的水平分量为,于是，炮弹在水平方
5、向的动量为m(vcos-V)，而炮车在水平方向的动量为-MV。根据动量守恒定理有,经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度，按速度变换定理为,由此得炮车的反冲速度为,解 物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即,例题 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。,所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大小相等方向相反，如图所示。因为v1和v2相
6、互垂直所以,由于 和 所成角由下式决定：,即 和 及 都成 且三者都在同一平面内,由于,所以 的大小为,1.角动量,质点对圆心的角动量,2.4 质点的角动量定理和角动量守恒定律,行星在公转轨道上的角动量,定义：质点对点的角动量为（翘翘板？）,角动量大小（面积）,角动量方向,（1）质点对点的角动量，不但与质点运动有关，且与参考点位置有关。,讨 论,（2）方向的确定,（3）做圆周运动时，由于，质点对圆心的角动量大小为,质点对圆心O的角动量为恒量,2.角动量守恒定律,表明小球对圆心的角动量保持不变,实验中发现,行星绕太阳的运动,表明行星在运动过程中，对太阳的角动量保持不变。,质点的角动量定理：如果作
7、用在质点上的外力对某给定点 的力矩 为零，则质点对 点的角动量在运动过程中保持不变。这就叫做角动量守恒定律。,角动量守恒定律,1.功的概念,功是表示力对空间累积效应的物理量。,物体在力 的作用下发生一无限小的位移(元位移)时,此力对它做的功定义为:力在力的位移上的投影和此元位移大小的乘积。,其中为力与位移的夹角。可以把上式写成两个矢量的标积,功是标量，没有方向，但有正负。,2.5 功 动能定理,当00，力对物体做正功。当=/2时，dA=0，力对物体不做功。当/2时，dA0，力对物体做负功。,功率：力在单位时间内做的功，用P 表示,功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大，做同样的功花费的时间就越
8、少。,在国际单位制中，功的单位是Nm，叫做焦(J)，功率的单位是J/s，叫做W(瓦)。,动能定理,2.能量,能量是反映各种运动形式共性的物理量，各种运动形式的相互转化用能量来量度。各种运动形式的相互转化遵循能量的转换和守恒定律。,到十九世纪，能量概念才逐步由力的概念中分离出来。实际上，只有在能量的转换和守恒定律发现以后，人们才认识功、动能和势能的真实含义。二十世纪初，爱因斯坦建立了狭义相对论，得到了“质能关系”，进一步揭示能量和质量的相当性，对于能量的认识才更深入了一步。,与机械运动直接相关的能量是机械能。,动能定理,3.牛顿第二定律的又一积分形式,(1)变力的功,b,a,物体在变力的作用下从
9、a运动到b。,怎样计算这个力的功呢？,采用微元分割法,动能定理,第i 段近似功：,总功近似：,第2段近似功：,第1段近似功：,动能定理,当 时,可用 表示,称为元位移;用 表示,称为元功。,微分形式：,积分形式：,总功精确值：,在数学形式上，力的功等于力 沿路径L从a到b的线积分。,动能定理,例：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦 系数 m，在外力作用下小物体（质量 m）以速率 v做匀 速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。,解：小物体对环带压力,走一段小位移 D s 所做的功,转一周,(2)质点动能定理,根据功的积分形式,定义质点的动能为：,动能定理,质点动能定理:合外力对质点所做的功
10、等于质点动能的增量。,a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质点动能减小。,d.功是一个过程量，而动能是一个状态量，它们之间仅仅是一个等量关系。,b.动能的量值与参考系有关。,c.动能定理只适用于惯性系。,几点注意：,动能定理,多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又要考虑质点间的相互作用力（内力）。,二质点组成的系统,多个质点组成的系统,两个质点在外力及内力作用下如图所示：,(3)质点系动能定理,动能定理,对m1运用质点动能定理：,对m2运用质点动能定理：,动能定理,作为系统考虑时，得到：,动能定理,质点系动能定理：所有外力与所有内力对质点系做功之和等于质点系总动能的增量。,动能定理,迄今，最
11、不可思议的动能是，宇宙射线中有些质子的动能 达到 1019 eV，是其静止能量的1010倍。,例：炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为 弹片的动能。,例：有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置在 光滑水平面，一小球（质量m），从静止开始沿圆面从 顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体 时速度 v，求：1）重力所做的功；2）内力所做的功。,解：重力只对小球做功,水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒。,对m，内力所做的功,对M，内力所做的功,*本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。,1.保守力,功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关，这类力
12、叫做保守力。不具备这种性质的力叫做非保守力。,设质量为m的物体在重力的作用下从a点任一曲线abc运动到b点。,1.1 重力作功,2.6 保守力 势能,在元位移 中，重力 所做的元功是,由此可见，重力作功仅仅与物体的始末位置有关，而与运动物体所经历的路径无关。,设物体沿任一闭合路径 运动一周，重力所作的功为：,表明：在重力场中物体沿任一闭合路径运动一周时重力所作的功为零。,1.2 弹性力的功,弹簧劲度系数为k，一端固定于墙壁，另一端系一质量为m的物体，置于光滑水平地面。设 两点为弹簧伸长后物体的两个位置，和 分别表示物体在 两点时距 点的距离。,由此可见，弹性力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与
13、具体路径无关。,1.3 万有引力的功,两个物体的质量分别为M和m，它们之间有万有引力作用。M静止，以M为原点O建立坐标系，研究m相对M的运动。,由此可见，万有引力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。,2.成对力的功,设有两个质点1和2，质量分别为 和，为质点1受到质点2的作用力，为质点2受到质点1的作用力，它们是一对作用力和反作用力。,由此可见，成对作用力与反作用力所作的总功只与作用力 及相对位移 有关，而与每个质点各自的运动无关。,表明：任何一对作用力和反作用力所作的总功具有与参考系选择无关的不变性质。,保守力的普遍定义：在任意的参考系中，成对保守力的功只取决于相互作用质点的始末
14、相对位置，而与各质点的运动路径无关。,势能：质点在保守力场中与位置相关的能量。它是一种潜在的能量，不同于动能。,3.势能,几种常见的势能：,重力势能,弹性势能,万有引力势能,保守力的功,成对保守内力的功等于系统势能的减少（或势能增量的负值）。,注意：,（1）势能既取决于系统内物体之间相互作用的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。,（2）物体系统在两个不同位置的势能差具有一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。,（3）势能差有绝对意义，而势能只有相对意义。势能零点可根据问题的需要来选择。,4.势能曲线,1.质点系统动能定理,设系统由两个质点1和2组成
15、，它们的质量分别为m1 和m2。,2.7 功能原理,对质点1应用动能定理：,对质点2应用动能定理：,系统外力的功,系统内力的功,系统动能的增量,质点系统的动能定理：系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。,2.系统的功能原理,因为对系统的内力来说，它们有保守内力和非保守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功 和非保守内力的功。,系统的功能原理：当系统从状态1变化到状态2时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的总和，这个结论叫做系统的功能原理。,注意：,(1)当我们取物体作为研究对象时，使用的是单个物体的动能定理，其中外力所作的功指的是作用在物体上的所有外力所作的总功，所以必须
16、计算包括重力、弹性力的一切外力所作的功。,(2)当我们取系统作为研究对象时，由于应用了系统这个概念，关于保守内力所作的功，已为系统势能的变化所代替，因此在演算问题时，如果计算了保守内力所作的功，就不必再去考虑势能的变化；反之，考虑了势能的变化，就不必再计算保守内力的功。,例题 一汽车的速度v0=36km/h,驶至一斜率为0.010的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻力为车重G的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？,解 解法一：取汽车为研究对象。汽车上坡时，受到三个力的作用:一是沿斜坡方向向下的摩擦力,二是重力,方向竖直向下，三是斜坡对物体的支持力,如图所示。设汽车能冲上斜坡的距离为s，此时汽
17、车的末速度为0。根据动能定理,上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反抗摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因fr=N=G1,所以,按题意，tg=0.010，表示斜坡与水平面的夹角很小，所以sin tg，G1 G,并因G=mg,上式可化成,（1）,（2）,（3）,或,代入已知数字得,解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，则系统内只有汽车受到 和 两个力的作用，运用系统的功能原理，有,机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守内力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。,常量,或,或,1.机械能守恒定律,条
18、件,定律,2.8 机械能守恒定律,2.能量守恒定律,一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。这就是普遍的能量守恒定律。,能量守恒定律,例：在光滑的水平面上，有一质量为 的静止 物体B，在B上又有一质量为 的静止物体A，A受冲击，以（相对于水平面向右运动，A和B之间的摩擦系数为，A逐渐带动B一起运动，问A从开始运动到相对于B静止时，在B上运动多远？,内力做功不为零，由系统的动能定理,解：取A和B组成的系统，根据动量守恒,例：假定地球的密度是均匀的，并沿地球得直径钻一个洞，质点从很高的位置 落入洞中，求质点
19、通过地心的速度。,由动能定理：,解：设通过地心的速度为,又质点在地球内、外受力不同,1.刚体,刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。,2.平动和转动,刚体最简单的运动形式是平动和转动。,当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。,2.9 刚体的定轴转动,刚体的平动过程,b,c,a,刚体的平动过程,b,刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点
20、的速度和加速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。,刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。,3.刚体的定轴转动,定轴转动：,刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同的时间内转过相同的角度。,特点：,角位移，角速度和角加速度均相同；质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。,刚体的定轴转动,角位移,角速度,角加速度,4.角速度矢量,角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。,角速度矢量,在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。,例题 一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4,式中a、b
21、、c 都是常量。求它的角加速度。,解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为,角加速度是角速度对t的导数，因此得,由此可见飞轮作的是变加速转动。,刚体的角动量 转动动能 转动惯量,1.刚体的角动量,右图为以角速度绕定轴oz转动的一根均匀细棒。,把细棒分成许多质点，其中第i个质点的质量为,当细棒以转动时，该质点绕轴的半径为,它相对于o点的位矢为,方向如图所示。,则 对o点的角动量为：,从图中可以看出：,因此,而这个分量 实际上就是各质点的角动量沿 轴的分量 之和。,对于定轴转动，我们感兴趣的只是 对沿 轴的分量，叫做刚体绕定轴转动的角动量。,刚
22、体对 点的角动量，等于各个质点角动量的矢量和。,刚体转动惯量：,刚体绕定轴的角动量表达式：,式中 叫做刚体对 轴的转动惯量，用J表示。,2.刚体的转动动能,因此整个刚体的动能,刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。,设刚体中第i个质点的质量为，速度为,则该质点的动能为：,上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此叫刚体的转动动能。,式中 是刚体对转轴的转动惯量，所以上式写为,质元的质量,质元到转轴的距离,刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式,3.转动惯量的计算,按转动惯量的定义有,转动惯量是转动中惯性大小的量度。,质量是平动中惯性大小的量度。,区别：,平动：平动动
23、能,线动量,转动：转动动能,角动量,转动惯量的计算,例题 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。,解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的 质量dm=2rdr。可得,转动平面,沿Z 轴分量为 对Z 轴力矩,对O 点的力矩：,力矩 刚体定轴转动定律,1.力矩,力不在转动平面内,注（1）在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力 对转轴的力矩。,是转轴到力作用线的距离，称为力臂。,（2）,（3）对转轴的力矩为零，,在定轴转动中不予考虑。,2.刚体定轴转动定律,应用牛顿第
24、二定律，可得：,O,对刚体中任一质量元,-外力,-内力,采用自然坐标系，上式切向分量式为：,O,用 乘以上式左右两端：,设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N 个方程左右相加，得：,根据内力性质(每一对内力等值、反向、共线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：,得到：,上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以J 表示。于是得到,刚体定轴转动定律,刚体定轴转动定律,讨论：,（4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。,（3）J 和质量分布有关；,（2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；,
25、惯性大小的量度；,转动惯量是转动,（1）M 一定，J,定轴转动定律,例题、一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m，半径为r，所受的摩擦阻力矩为。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。,解:滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到阻力矩的作用，两边的张力不再相等，设物体1这边绳的张力为T1、T1(T1=T1)，,物体2这边的张力为,T2、T2(T2=T2),因m2m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程,式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上
26、的切向加速度和物体的加速度相等，即,从以上各式即可解得,而,当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有,上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、m2、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能较精确地测出a来。,3-6 刚体角动量和角动量守恒定律,1.定轴转动刚体的角动量定理,刚体定轴转动定理：,则该系统对该轴的角动量为：,由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为、，,对于该系统还有,为 时间内力矩M 对给定轴的冲量
27、矩。,角动量定理的微分形式：,则由,得,定轴转动刚体的角动量定理,2.定轴转动刚体的角动量守恒定律,角动量守恒定律：若一个系统一段时间内所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角动量L 为一恒量。,恒量,讨论：,a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变，当合外力矩为零时，其角速度恒定。,=恒量,=恒量,b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 统的角动量依然守恒。J 大 小,J 小 大。,c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。,定轴转动刚体的角动量守恒定律,直线运动与定轴转动规律对照,质点的直线运动,刚体的定轴转动,定轴转动刚体的角
28、动量守恒定律,例 一长为l、质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴O 在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹水平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到q=300，求子弹的初速v0。,解：分两个阶段进行考虑,其中,(1)子弹射入细杆,使细杆获得初速度。因这一过程进行得很快,细杆发生偏转极小,可认为杆仍处于竖直状态。子弹和细杆组成待分析的系统,无外力矩,满足角动量守恒条件。子弹射入细杆前、后的一瞬间,系统角动量分别为,定轴转动刚体的角动量守恒定律,(2)子弹随杆一起绕轴O 转动。以子弹、细杆及地球构成一系统，只有保守内力作功，机械能守恒。选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为重力势
29、能零点，系统在始末状态的机械能为：,由角动量守恒，得：,(1),定轴转动刚体的角动量守恒定律,由机械能守恒，E=E0,代入q=300，得：,将上式与 联立，并代入J 值，得,定轴转动刚体的角动量守恒定律,一.牛顿运动定律,任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。,牛顿第一定律提出两个力学基本概念：惯性和力,1.牛顿第一定律,小结：,2.牛顿第二定律,3.牛顿第三定律,二.常见的几种力,1.万有引力,2.弹性力,3.摩擦力,三.惯性参考系,四.力学相对性原理,五.功,六.质点动能和动能定理,合外力对质点做的功等于质点动能增量,六.保守力与非保守力 势能,七.质点
30、系的动能定理,八.功能原理与机械能守恒,或,九.冲量 质点的动量定理,十.质点系的动量定理,十一.动量守恒定律,当,这就是动量守恒定律。,十二.质心运动定理,第 1、2章,三个定律,牛顿第一定律牛顿第二定律牛顿第三定律,动量定理角动量定理动能定理,三个守恒定律,动量守恒定律角动量守恒定律机械能守恒定律,三个定理,时间累积效应,空间累积效应,牛二律，瞬时效应,33,动量定理,角动量定理,动能定理,范围：惯性系、宏观低速运动（只有动量守恒、角动量守恒、能量守恒对宏观、微观都适用）。,10 各定理、定律的表达式，适用条件，适用范围。,20 由牛顿第二定律推出：,动量定理,动能定理,机械能守恒定律,动量守恒定律,功能原理,角动量定理,角动量守恒定律,解决问题的思路按此顺序倒过来，首先考虑用守恒定律解决问题。若要求力的细节则必须用牛顿第二定律。,30 有些综合问题，既有重力势能，又有弹性势能，注意各势能零点的位置，不同势能零点位置可以同，也可以不同。（问：一般选哪里为势能零点？）,40 有些问题涉及临界现象（如弹簧下面的板刚好提离地面、小球刚好脱离圆形轨道、木块刚好不下滑等）。,解题时先建立运动满足的方程，再加上临界条件（往往是某些力为零或 v、a 为零等）。,50 特别注意用高等数学来解的问题。凡有极值问题要用求导的方法。,125,Thank you!,
