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1、,3.正态分布(normal distribution),正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,平时，我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性，人们可能不相信它是有规律的。一旦试验次数增多并且注意观察的话，你就会发现，最后得出的竟是一条优美的曲线。,高尔顿钉板试验,这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。,正态分布的定义是什么呢？,对于连续型随机变量，一般是给出它的概率密度函数。,一、正态分布的定义,若r.v X的概率密度为,记作,f(x
2、)所确定的曲线叫作正态曲线.,其中 和 都是常数，任意，0，则称X服从参数为 和 的正态分布.,正态分布有些什么性质呢？,由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点。,二、正态分布 的图形特点,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.,特点是“两头小，中间大，左右对称”.,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？,容易看到，f(x)0,即整个概率密度曲线都在x轴的上方;,故f(x)以为对称轴，并在x=处达到最大值:,令x=+c,x=-c(c0),分别代入f(x)
3、,可得,f(+c)=f(-c),且 f(+c)f(),f(-c)f(),这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。,当x 时，f(x)0,用求导的方法可以证明，,为f(x)的两个拐点的横坐标。,x=,这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。,正态概率密度函数的几何特征总结,下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。,人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。,请同学们想一想
4、，实际生活中具有这种特点的随机变量还有那些呢？,除了我们在前面的身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.,服从正态分布 的随机变量X的概率密度是,X的分布函数P(Xx)是怎样的呢？,正态分布由它的两个参数和唯一确定，当和不同时，是不同的正态分布。,标准正态分布standard normal distribution,下面我们介绍一种最重要的正态分布,三、标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,它的依据是下面的定理：
5、,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,Theorem1,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.,四、正态分布表,表中给的是x0时,(x)的值.,当-x0时,若,N(0,1),若 XN(0,1),由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X|1)=2(1)-1=0.6826,P(|X|2)=2(2)-1=0.954
6、4,P(|X|3)=2(3)-1=0.9974,五、3 准则,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,这在统计学上称作“3 准则”（三倍标准差原则）.,例4 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,解:设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h)0.01,或 P(X h)0.99，,下面我们来求满足上式的最小的 h.,看一个应用正态分布的例子:,因为XN(170,62),查表得(2.33)=0.99010.99,所以=2.33,即 h=170+13.98 184,设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机
7、会不超过0.01.,(1)所求概率为,解,例5,这一讲，我们介绍了正态分布，它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道.,后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布.,练习,毕达哥拉斯悖论（希帕索斯）与第一次数学危机（公元前5世纪）,希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作周髀算经中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股
8、定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。,在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥
9、拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。,毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2 的诞生。小小2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。希帕索斯因此被处以绞刑。,一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。,
