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1、,第二章 内容回顾,分布函数的性质,F(x)单调不减，即,且,F(x)右连续，即,用分布函数表示概率,a,b,p.d.f.连续随机变量密度函数f(x)的性质,1,2,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 d.f.,3,在 f(x)的连续点处，,f(x)描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率,数学期望的性质,(1)E(c)=c,(2)E(aX)=aE(X),(3)E(g1(X)+g2(X)=E(g1(X)+E(g2(X),方差的性质,(1)Var(c)=0.性质,(2)Var(aX+b)=a2 Var(X).性质,(3)Var(X)=E(X2)E(X)2.性质,2.3
2、.3 切比雪夫不等式,切比雪夫不等式,易知 越大的取值越分散,切比雪夫,定理(泊松定理)在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验次数n有关),如果n时,npn(0为常数).则对于任意给定的k,有,超几何、二项、泊松分布之间的近似关系,定理 超几何分布的极限分布是二项分布,即，在超几何分布中对于固定的 n，k，如果 lim N+=p 则有极限关系：lim N+=Cnk pk(1 p)n k 对所有的 0 k n 都成立。,一般当 n 0.1 N 时可以用这个近似的计算公式,M N,CMk CN M n k CNn,常用离散分布的数学期望,几何分布Ge(p)的数学期望=
3、1/p,0-1 分布的数学期望=p,二项分布 b(n,p)的数学期望=np,泊松分布 P()的数学期望=,常用离散分布的方差,0-1 分布的方差=p(1p),二项分布 b(n,p)的方差=np(1p),泊松分布 P()的方差=,几何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2,P(X m+n|X m)=P(X n),几何分布的无记忆性,指数分布的无记忆性,常用连续分布的数学期望,均匀分布 U(a,b):E(X)=(a+b)/2,指数分布 Exp():E(X)=1/,正态分布 N(,2):E(X)=,伽玛分布 Ga(,):E(X)=/,贝塔分布 Be(a,b):E(X)=a/(a+b),常用连续分布的方
4、差,均匀分布 U(a,b)的方差=(b a)2/12,指数分布 Exp()的方差=1/2,正态分布 N(,2)的方差=2,伽玛分布 Ga(,):Var(X)=/2,贝塔分布 Be(a,b):Var(X)=ab/(a+b)2(a+b+1),(x)的计算,(1)x 0 时,查标准正态分布函数表.,(2)x 0时,用,若 X N(0,1),则(1)P(X a)=(a);(2)P(Xa)=1(a);(3)P(aXb)=(b)(a);(4)若a 0,则 P(|X|a)=P(aXa)=(a)(a)=(a)1(a)=2(a)1,一般正态分布的标准化,定理 设 X N(,2),则 Y N(0,1).,推论:,
5、若 X N(,2),则,正态变量的线性不变性,定理 设 X N(,2)，则当a 0 时，Y=aX+b N(a+b,a22).,由此得：若 X N(,2)，则 Y=(X)/N(0,1).,正态分布的 3 原则,设 X N(,2),则,P(|X|)=0.6828.,P(|X|2)=0.9545.,P(|X|3)=0.9973.,2.6.2 连续随机变量函数的分布,定理 设 X pX(x)，y=g(x)是 x 的严格 单调函数，记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数,且h(y)连续可导，则Y=g(X)的密度函数为:,伽玛分布的有用结论,定理 设 X Ga(,)，则当k 0 时，Y=kX Ga(,/
6、k).,定理 设 X FX(x)，若FX(x)为严格单调增的连 续函数，则Y=FX(X)U(0,1).,均匀分布的有用结论,分布从哪里来？,为什么事件发生的次数常使用泊松分布？伽马、贝塔、威布尔分布看起来冗长难懂，又会有什么作用？分布来源于问题的提出。心理学家认为:一个正常人,在整个睡眠时间中,异相睡眠所占的比例服从B(12,48)非寿险精算：常用的损失分布为对数正态、伽马分布、贝塔分布、帕累托分布索赔次数分布：泊松分布、二项分布、负二项分布,可靠性问题,可靠度：测量仪器在规定的条件下，在规定的时间内完成规定功能的概率。它是时间的函数，记作R(t)。R(t)=p(T t)式中：T 为测量仪器寿
7、命，t为规定时间，当t=0 时，R(0)=1；当t=时，R()=0,0,t,N,n(t),失效分布函数,0,t,N,n(t),t+t,n(t),产品工作到时间t时刻后，每单位时间内发生失效的频率为：,威布尔分布,环断裂概率,n,t,t,收益问题,统计数据表明，一位40岁的健康者在5年内仍然活着或自杀的概率为p，在五年内死亡(非自杀)的概率为1-p，保险公司开办5年人寿保险，条件为参保者缴纳保费a元，若5年内死亡，公司赔偿b元，问b的取值应为多少保险公司才能获益？,虫卵发育问题,设一只昆虫所生的虫卵数为X，服从参数为的泊松分布，每个虫卵发育为幼虫的概率为p，各虫卵是否发育为幼虫相互独立，求一只昆
8、虫所生幼虫数Y的数学期望与方差。,数学期望问题1,设随机变量X的概率密度为：求E(min|X|,1),数学期望问题2,对圆的直径进行测量，其值X均匀的分布在区间(a,b)内，求圆面积的数学期望。,银行等待问题,设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分布，其密度函数为：某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，就离开。该顾客一个月到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。请写出Y的分布。,离散随机变量与连续随机变量,设F(x)与G(x)都是分布函数，且a0,b0，为常数，且有a+b=1。证明H(x)=a F(x)+b G(x)为分布函数，并对H(x)的离散与连续性展开讨论,奇异
9、型随机变量,F(X),0,0.5,问题1,解：记 B=“至少出现一次双6点”，,则所求概率为,两颗骰子掷 24 次，求至少出现一次 双6点 的概率.,问题2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞.求2 张都是假钞的概率.,例2,令 A 表示“抽到2 张都是假钞”.,B表示“2 张中至少有1张假钞”,则所求概率是（而不是！）.,所以,15,5,1,15,1,5,1,2,5,1,15,2,1,5,1,15,问题3 盒中装有5个产品,其中3个一等品，2个二等品,从中不放回地取产品,每次1个,求（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;,例3,问题4,某人有2盒火柴，吸烟时从任意盒中取1根，经过若干时间，发现一盒火柴已用完，假设每盒火柴在未启用时各有n根，求另外一盒剩余r根的概率。,摸球问题,物品放入盒子问题,
