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1、电路,第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7-1-7-8,第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析,本章重点,第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析,内容提要本章讨论用微分方程描述电路,主要是RC和RL电路。介绍一阶电路经典法,及一阶电路时间常数概念。在一阶电路基础上用经典法分析二阶电路。还介绍下列重要概念:零输入响应 零状态响应 全响应 瞬态分量 稳态分量 阶跃响应 冲激响应,7-1 动态电路的方程及其初始条件,动态电路:含动态元件电容和电感电路。动态电路方程:以电流和电压为变量的微分方程或微分-积分方程。一阶电路:电路仅一个动态元件,可把动态元件以外电阻电路用戴维宁或诺顿定理置换,建立一阶常微分方
2、程。含2或n个动态元件,方程为2或n阶微分方程。动态电路一个特征是当电路结构或元件参数发生变化时(如电路中电源或无源元件断开或接入,信号突然注入等),可能使电路改变原来工作状态,转变到另一工作状态,需经历一个过程,工程上称过渡过程。电路结构或参数变化统称“换路”,t=0时刻进行。换路前最终时刻记为t=0-,换路后最初时刻记为t=0+,换路经历时间为0-到0+。,经典法,分析动态电路过渡过程方法之一:根据KCL、KVL和支路VCR建立描述电路方程,以时间为自变量的线性常微分方程,求解常微分方程,得电路所求变量(电压或电流)。称经典法,是一种在时间域进行的分析方法。经典法求解常微分方程时,必须根据
3、电路初始条件确定解答中的积分常数。设描述电路动态过程的微分方程为n阶,初始条件指电路中变量(电压或电流)及其(n-1)阶导数在t=0+时的值,也称初始值。电容uc和电感iL初始值,即uc(0+)和iL(0+)称独立初始条件,其余称非独立初始条件。,7-1动态电路方程及初始条件,线性电容换路瞬间情况,线性电容在任意时刻t,其电荷、电压与电流关系:q、uc和ic分别为电容电荷、电压和电流。令t00-,t=0+得:从上2式可见,换路前后,即0-到0+瞬间,电流ic(t)为有限值,则式2式右方积分项为零,电容上电荷和电压不发生跃变,即:q(0+)q(0-)(7-2a)uc(0+)uc(0-)(7-2b
4、)一个在t0-储存电荷为q(0-),电压uc(0-)U0电容,换路瞬间不发生跃变,有uc(0+)=uc(0-)=U0,可见在换路瞬间,电容可视为电压值为U0电压源。一个在t=0-不带电荷电容,换路瞬间不发生跃变,有uc(0+)=uc(0-)=0,换路瞬间电容相当于短路。,7-1动态电路方程及初始条件,线性电感换路瞬间情况,线性电感磁通链与电流关系:令t00-,t0+有:从0-到0+瞬间,电压uL(t)为有限值,式中右方积分项将为零,电感中磁通链和电流不发生跃变,即:L(0+)L(0-)(7-4a)iL(0+)iL(0-)(7-4b)对t0-时电流为I0电感,换路瞬间不发生跃变,有iL(0+)i
5、L(0-)I0,在换路瞬间可视为I0电流源。对t0-时电流为零电感,换路瞬间不发生跃变有iL(0+)iL(0-)0,在换路瞬间相当于开路。,7-1动态电路方程及初始条件,初始条件,q(0+)q(0-)(6-2a)uc(0+)uc(0-)(6-2b)L(0+)L(0-)(6-4a)iL(0+)iL(0-)(6-4b)分别说明换路前后电容电流和电感电压为有限值条件下,换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变。称换路定则。动态电路独立初始条件:电容uc(0+)和电感iL(0+),一般可根据在t=0-时值(即电路发生换路前状态)uc(0-)和iL(0-)确定。该电路非独立初始条件,即电阻电压或电流、电容
6、电流、电感电压等需通过已知独立初始条件求得。,7-1动态电路方程及初始条件,例 7-1,图6-1直流电压源U0。电压和电流恒定时打开S。求uc(0+)、iL(0+)、ic(0+)、uL(0+)和uR2(0+)。解 根据t0-计算uc(0-)和uL(0-)。开关打开前,电压和电流恒定不变,有:电容电流和电感电压均为零(icCduc/dt,uLLdiL/dt),即电容相当于开路,电感相当于短路:换路时,iL和uc不会跃变,uc(0+)=uc(0-),iL(0+)=iL(0-)。为求t=0+其他初始值,把已知uc(0+)和iL(0-)分别以电压源和电流源替代,得t=0+时等效电路图7-1b。求出:,
7、7-1动态电路方程及初始条件,确定初始值的步骤:,(1)由换路前电路(稳定状态)求uC(0)和iL(0);(2)由换路定律得 uC(0+)和 iL(0+)。(3)画0+等效电路(初始值等效电路):换路后,电容用电压源、电感用电流源替代。激励用us(0+)、is(0+)的直流源替代。由0+电路求所需各变量的0+值。,7-1动态电路方程及初始条件,-一阶电路的零输入响应,零输入响应:动态电路在没有外施激励时,由电路中动态元件初始储能引起的响应。,RC电路零输入响应-,图-2,RC电路,开关S闭合前C已充电,uc=U0。S闭合后,电容储能通过电阻以热能形式释放。把S动作时刻取为计时起点(t=0)。开
8、关闭合后,即t0+时,根据KVL得 uR-uc=0而uR=Ri,将 代入,有一阶齐次微分方程,初始条件uc(0+)=uc(0-)=U0,令通解uc=Aept,代入有(RCp+1)Aept=0相应特征方程:RCp+1=0 特征根:uc(0+)=uc(0-)=U0代入uc=Aept,积分常数 A=uc(0+)=U0求得满足初始值微分方程的解为放电过程中电容电压uc表达式。,7-2一阶电路的零输入响应,RC电路零输入响应-2,电路中电流电阻上电压从上式可见,电压uc、uR及电流i按同样指数规律衰减。衰减快慢取决于指数中 大小。由于 是电路特征方程的特征根,仅取决于电路结构和元件参数。当电阻为,电容为
9、F时,乘积RC单位为s,称RC电路时间常数,用表示。引入,电容uc和电流i分别表示为:大小反映一阶电路过渡过程进展速度,是反映过渡过程特性的一个重要量。可计算得:t0时,uc(0)U0e0U0 t=时,uc()=U0e-10.368U0,7-2一阶电路的零输入响应,RC电路零输入响应-3,零输入响应在任一时刻t0值,经一个可表示为即经过一个时间常数后,衰减了63.8,或为原值36.8。t=2,t3,t4,时刻电容电压值列于表7-1。从表可见,理论上要经无限长时间uc才衰减为零值。但工程上一般认为换路后,经过3-5时间过渡过程即告结束。,7-2一阶电路的零输入响应,uc、uR和i随时间变化曲线,
10、图7-3为uc、uR和i随时间变化曲线。时间常数,可从uc或ic曲线用几何方法求得。图7-4,取uc曲线任意一点A,过A点作切线AC,图中次切距:即在时间坐标上次切距长度等于时间常数。说明曲线上任意一点,如以该点斜率为固定变化率衰减,经过时间为零值。,7-2一阶电路的零输入响应,的几何意义,放电过程中,电容放出能量为电阻消耗;最后,原来储存在电容中的电场能量全部为电阻吸收而转换成热能。即,7-2一阶电路的零输入响应,RL电路零输入响应-1,图7-5a开关S动作前电压和电流已恒定,电感中电流I0=U0/R0=i(0-)。t=0时开关由1合到2,有初始电流I0的电感L和电阻R连接,构成闭合回路,如
11、图b。t0,根据KVL有 uR+uL=0而uR=Ri,uL=Ldi/dt,电路微分方程:一阶齐次微分方程。令iAept,得相应特征方程:Lp+R0特征根:电流为:根据i(0+)i(0-)I0,代入上式可求得Ai(0+)I0,有,7-2一阶电路的零输入响应,RL电路零输入响应-2,电阻和电感电压分别为:与RC电路类似,令 称RL电路时间常数,上述各式写为:图7-6分别为i、uL和uR随时间变化曲线。,7-2一阶电路的零输入响应,例 7-2-1,图7-7一台300kW汽轮发电机励磁回路。已知励磁绕组电阻R=0.189,电感L0.398H,直流电压U35V。电压表量程为50V,内阻Rv5k。开关未断
12、时,电路中电流已恒定不变。t0断开开关。求:(1)电阻、电感回路时间常数;(2)电流i的初始值和开关断开后电流i的最终值;(3)电流i和电压表处的电压uv;(4)开关刚断开时,电压表处的电压。,7-2一阶电路的零输入响应,例 7-2-2,解(1)时间常数(2)开关断开前,电流恒定不变,电感L两端电压为零,故 电感中电流不能跃变,电流初始值i(0+)i(0-)185.2A。(3)按 可得 i185.2e-12560t A 电压表处的电压 uv-Rvi-5103185.2e-12560t V=-926e-12560t kV(4)开关刚断开时,电压表处的电压 uv(0+)-926 kV此时电压表要承
13、受很高电压,绝对值将远大于直流电源电压U,且初始瞬间电流很大,可能损坏电压表。可见,切断电感电流时必须考虑释放磁场能量。如磁场能量较大,而又必须在短时间内完成切断电流,则必须考虑如何熄灭电弧(一般出现在开关处)问题。,7-2一阶电路的零输入响应,例7-3-1,图7-8a开关S原在位置1电路已稳态。t=0时开关由1合向2,求t0+时电流i(t)。解 S位置1得uc(0-)=uc(0+)=6V等效电阻Req用外施电源法求,图b。u=6i2+2ii2代入u=6i2+2i得:时间常数所以:,7-2一阶电路的零输入响应,求i(t)另一方法略,习 题,P 191 题7-4,7-2一阶电路的零输入响应,7-
14、3 一阶电路的零状态响应,零状态响应:电路在零初始状态下(动态元件初始储能为零)由外施激励引起的响应。图7-10,RC串联,S闭合前电路处于零初始状态,uc(0-)=0。t=0时刻,S闭合,接入直流电压源Us。根据KVL有 uR+ucUsuRRi,代入,得电路微分方程为一阶线性非齐次方程。,RC电路的零状态响应-1,解由两个分量组成,非齐次方程特解uc和对应齐次方程通解u”c,即 uc=uc+u”c不难求得特解 uc=Us齐次方程 通解其中=RC。因此代入初始值,得 A-Us而:uc和i波形如图7-11。电压uc两 个分量uc和uc”示于该图。,7-3一阶电路的零状态响应,RC电路的零状态响应
15、-2,uc以指数形式趋近于最终恒定值Us,到该值后,电压和电流不再变化,电容相当于开路,电流为零。电路达稳定状态(简称稳态),在这种情况下,特解uc(=Us)称稳态分量。同时可看出uc与外施激励变化规律有关,又称强制分量。非齐次方程通解uc”由于变化规律取决于特征根而与外施激励无关,称自由分量。自由分量按指数规律衰减,最终趋于零,所以又称瞬态分量。对电流i可作类似解释。,7-3一阶电路的零状态响应,对电容充电过程,RC电路接通直流电压源过程即是电源通过电阻对电容充电过程。在充电过程中,电源供给能量一部分转换成电场能量储存于电容中,一部分被电阻转变为热能消耗,电阻消耗电能为从上式可见,不论电路中
16、电容C和电阻R数值为多少,充电过程中,电源提供能量只有一半转变成电场能量储存于电容中,另一半为电阻所消耗,就是说,充电效率只有50。,7-3一阶电路的零状态响应,RL电路的零状态响应,图7-12为RL电路,直流电流源电流Is,开关打开前电感电流为零。开关打开后iL(0+)=iL(0-)=0,电路的响应为零状态响应。换路后电路微分方程为初始条件iL(0+)=0。电流iL的 通解为 为时间常数。特解iL=Is,积分常数A=-iL(0+)-Is。所以,7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-1,以RL电路为例,讨论正弦电压激励下零状态响应。图7-13a,RL串联电路,外施激励为正弦电压us
17、=Umcos(t+u),其中u为接通电路时外施电压初相角,又称接入相位角或合闸角。接通后电路方程通解ii+i”,自由分量 为时间常数。i应为特解,设特解为 iImcos(t+)代入上列微分方程,有 RImcos(t+)-LImsin(t+)=Umcos(t+u),7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-2,用待定系数法确定Im和。引入 有:再令 上式左方可写为得 Im|Z|cos(t+)Umcos(t+u)因此可求得待定常数:Im|Z|Um+u或,7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-3,特解i方程通解代入初始条件,i(0+)i(0-)0,有于是电流i电阻上电压电感上电压
18、,7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-4,由上可见,方程特解或强制分量与外施正弦激励按同频率正弦规律变化,自由分量随时间增长趋于零。最终只剩下强制分量。这种电路需经一个过渡过程,然后达稳定状态。自由分量与开关闭合时刻有关。开关闭合时,若有 则所以:故开关闭合后,电路中不 发生过渡过程而立即进入 稳定状态,i波形图7-13b。,7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-5,如开关闭合时,则有即:电流i波形图7-13c。从上式和波形图中看出,当电路时间常数很大,则i”衰减极其缓慢。接通电路后,约经半个周期时间,电流最大瞬时值的绝对值将接近稳态电流振幅的两倍。日光灯原理,7-3
19、一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RC电路,分析方法相同:换路后无过渡过程,立即进入稳定状态。换路后约经半个周期,电容电压最大瞬时值的绝对值将接近稳态电压振幅的两倍。可见,RC或RL串联电路与正弦电压接通后,在初始值一定条件下,电路过渡过程与开关动作时刻有关。,7-3一阶电路的零状态响应,7-4 一阶电路的全响应,非零初始状态一阶电路受到激励时,响应称全响应。图7-14已充电电容经电阻接直流Us。设电容原有电压U0,开关S闭合后,根据KVL有初始条件 uc(0+)=uc(0-)=U0方程通解 uc=uc+uc”换路后稳定状态电容电压为特解:uc=Us uc为方程对应齐次方程通解=RC为电路时间
20、常数,有根据初始条件uc(0+)=uc(0-)=U0,得积分常数 A=U0-Us电容电压是电容压在t0时全响应。,三要素法-1,式(7-5)改写成右边第一项电路零输入响应,右边第二项电路零状态响应,说明一阶电路中,全响应是零输入响应和零状态响应的叠加:全响应(零输入响应)+(零状态响应)式(7-5)又可见,右边第一项是特解,与激励相同,称强制分量,第二项是通解,变化规律取决于电路参数,称自由分量。全响应(强制分量)+(自由分量)直流或正弦激励一阶电路,换路后稳态作特解,自由分量随时间增长按指数规律逐渐衰减为零。又可以表示为 全响应(稳态分量)+(瞬态分量),7-4一阶电路的全响应,三要素法-2
21、,上述分法不同,但全响应是由初始值、特解和时间常数三个要素决定。在直流电源激励下,若初始值为f(0+),特解为稳态解f(),时间常数为,则全响应f(t)可写为只要知道f(0+)、f()和这三个要素,就可根据式(7-6)直接写出直流激励下一阶电路的全响应,称三要素法。,7-4一阶电路的全响应,一阶电路在正弦电源激励下的响应,一阶电路在正弦电源激励下,电路特解f(t)是时间的正弦函数,上述公式可写为 其中f(t)是特解为稳态响应,f(0+)是t0+时稳态响应初始值,f(0+)与的含义与前述相同。如电路仅含一个储能元件(L或C),其他部分由电阻和独立电源或受控源连接,仍是一阶电路。求解时,把储能元件
22、以外部分,用戴维宁定理或诺顿定理进行等效变换,然后求得储能元件上电压和电流。如还要求其他支路电压和电流,按变换前原电路进行。,7-4一阶电路的全响应,例 7-4,图7-15a,Us=10V,Is=2A,R=2,L=4H。求S闭合后电路中电流iL和i。解 戴维宁等效图b,其中:Uoc=Us-RIs=(10-22)V=6V Req=R=2 iL(0+)=iL(0-)=-2 A特解:按式(7-6)得iL随时间变化曲线图c。电流i根据KCL得,7-4一阶电路的全响应,例 7-5-1,图7-16,开关闭合前达稳定状态。t=0时S闭合,求t0时uc零状态、零输入和全响应。解 求uc(0-)电路图7-17a
23、,S闭合前稳态,电容开路。换路后,用戴维宁等效 图7-17b、c。u1=0.5V uoc=3.5V,7-17(a),7-17(b),7-4一阶电路的全响应,例 7-5-2,外施电源求Req,端口加i,u1=0,受控源开路。u=4i Req=4=ReqC=(40.5)s=2s零状态响应:零输入响应:全响应:可按式7-6得:,7-4一阶电路的全响应,习 题,P192 题 7-5,7-5 二阶电路的零输入响应,二阶电路:用二阶微分方程描述的动态电路。初始条件有两个,由储能元件初始值决定;RLC串联电路和GLC并联电路是最简二阶电路。图7-18为RLC串联,设电容已充电,电压U0,电感初始电流I0。t
24、=0时S闭合,电路放电过程是二阶电路零输入响应。根据KVL得-uc+uR+uL=0代入上式,得以uc为未知量微分方程。线性常系数二阶齐次微分方程。解方程时,设uc=Aept,再确定其中p和A。,RLC串联电路零输入响应-1,将uc=Aept代入式(7-8),得特征方程 LCp2+RCp+1=0 解出特征根p有正负两个值。为兼顾这两个值,电压uc可写成其中从式(7-10)可见,特征根p1和p2仅与电路参数和结构有关,而与激励和初始储能无关。,7-5 二阶电路零输入响应,RLC串联电路零输入响应-2,初始条件为uc(0+)=uc(0-)=U0和i(0+)=i(0-)=I0。由于 有 根据初始条件和
25、式(7-9)得解式(7-11)得常数A1和A2。讨论U00而I0=0情况,即已充电C通过R、L放电。此时解得:将A1、A2代入式(7-9)得RLC串联电路零输入响应表达式。,7-5 二阶电路零输入响应,特征根的3种情况,由于电路中R、L、C参数不同,特征根可能是(a)两个不等的负实根;(b)一对实部为负的共轭复根;(c)一对相等的负实根。分3种情况讨论。,7-5 二阶电路零输入响应,1 非振荡放电过程,特征根p1和p2是两个不等负实数,电容电压为电流 上式利用 关系。电感电压,7-5 二阶电路零输入响应,非振荡放电,图7-19:uc、i、uL随时间变化曲线。uc、i始终不改变方向,且有uc0,
26、i0,表明电容整个过程中一直释放储存电能,称非振荡放电,又称过阻尼放电。t=0+时,i(0+)=0,t时放电过程结束,i()=0,放电过程中电流经从小到大再趋于零的变化。电流达最大值时刻tm由di/dt=0定ttm,电感吸收能量,建磁场;ttm,电感释放能量,磁场逐渐衰减,趋向消失。t=tm,电感电压过零点。,7-5 二阶电路零输入响应,例 7-6-1,图7-20,Us=10V,C=1F,R=4k,L=1H,S原闭合在触点1,t=0时S由1接至触点2。求:(1)uc、uR、i和uL;(2)imax。解(1)已知R=4k,而 放电过程非振荡。且uc(0+)=U0=Us 特征根,7-5 二阶电路零
27、输入响应,例 7-6-2,根据式(7-12)、(7-13)和(7-14),得电容电压 uc=(10.77e-268t-0.773e-3732t)V电流 i=2.89(e-268t-e-3732t)mA电阻电压 uRRi11.56(e-268t-e-3732t)V电感电压(2)电流最大值发生在tm时刻,即,7-5 二阶电路零输入响应,2 振荡放电过程,特征根p1和p2一对共扼复数。令:则 有:p1=-+j,p2=-j令(图7-21)有=0cos,=0sin,根据 可得:,7-5 二阶电路零输入响应,振荡放电过程,根据 或用式(7-13)可得i为而电感电压从uc、i和uL表达式可见,波形将呈衰减振
28、荡状态,整个过程中,周期性改变方向,储能元件也周期性交换能量。,7-5 二阶电路零输入响应,元件之间能量转换、吸收概况,根据上述各式,还可得出:1 t=k,k=0,1,2,3为电流i过零点,即uc极值点;2 t=k+,k=O,1,2,3为电感电压uL过零点,即电流i极值点;3 t=k-,k=O,1,2,3为电容电压uc过零点。根据上述零点划分时域可看出元件间能量转换、吸收概况,见表7-2。,7-5 二阶电路零输入响应,例 7-2,在受控热核研究中,需强大脉冲磁场,靠强大脉冲电流产生,由RLC放电电路产生。已知U0=15kV,C=1700 F,R=610-4,L=610-9H,问:(1)i(t)
29、为多少?(2)i(t)何时达极大值?求imax。解 根据参数:即特征根为共轭复数,属振荡放电。(1)电流i为(2)当t=,即t=/=4.56s时电流i达极大值最大放电电流达6.36106A,比较可观数值。,7-5 二阶电路零输入响应,等幅振荡放电过程,R=0时,=0,则 uc、i、uL表达式为:uc、i、uL诸量都是正弦函数,振幅不衰减,是等幅振荡放电过程。尽管实际振荡电路都有损耗,但若仅关心在很短时间间隔内发生过程时,按等幅振荡处理不会带来显著误差。,7-5 二阶电路零输入响应,例 7-8-1,为试验油开关熄灭电弧能力,需在开关中通以数十千安,频率50Hz正弦电流。工程中采用LC放电电路作试
30、验电源,图7-23。工作情况:先打开S2,接通S1,使电容器充电至U0;然后打开S1,接通S2,电容器对电感线圈放电。选择L和C大小及U0数值,可得试验所需正弦电流。在开关闭合后适当时间,借助于自动装置把被试开关触头A拉开,便可以试验高压开关灭弧能力。本例中,C=3800F,U0=14.14kV,若线圈用很粗导线绕制,在近似估算中可忽略其电阻,求:(1)为产生试验所需50Hz电流,线圈电感L等于多少?(2)振荡电路电流i(t)及电容电压uc(t)。,7-5 二阶电路零输入响应,例 7-8-2,解(1)试验所需电流频率为50Hz,即0=2f=314rad/s,根据 可求出电感L大小(2)根据可得
31、电流i(t)为 i(t)16.9103sin(314t)A 可见,放电电流峰值可达16.9kA。电容电压为,7-5 二阶电路零输入响应,3 临界情况,在 条件下,特征方程具有重根微分方程式(7-8)通解 uc=(A1+A2t)e-t根据初始条件得:A1=U0 A2=U0 所以:从以上诸式可看出uc、i、uL有非振荡性质,波形与图7-19相似。是振荡与非振荡分界线,过渡过程称临界非振荡过程,电阻称临界电阻,并称电阻大于临界电阻电路过阻尼电路,小于临界电阻电路欠阻尼电路。临界情况下过渡过程计算公式,可通过前两种非临界情况下公式取极限导出。,7-5 二阶电路零输入响应,7-6 二阶电路的零状态响应和
32、全响应,二阶电路初始储能为零,即uC(0-)=0,iL(0_)=0,仅由外施激励引起响应称二阶电路零状态响应。图7-24为GCL并联,uC(0-)=0,iL(0-)=0,t=0时S打开。根据KVL有 iC+iG+iL=iS以iL为待求量,可得,二阶线性非齐次方程,由特解和对应奇次方程通解组成,即 iL=iL+iL”取稳态解i为特解,通解i”与零输入响应形式相同,再根据初始条件确定积分常数,得全解。如二阶电路具有初始储能,又接外施激励,电路响应称全响应。全响应:零输入响应和零状态响应的叠加。可通过求解二阶非齐次方程方法求得。,7-6二阶电路零状态和全响应响应,例7-9-1,图7-24,uC(0-
33、)=0,iL(0-)=0,G=210-3S,C=1F,L=1H,iS=1A,t=0时S打开,求iL、uC和iC。解 S动作后电路微分方程:特征方程:代入数值求特征根:p1=p2=p=-103,7-6二阶电路零状态和全响应响应,例7-9-2,因p1、p2是重根,临界阻尼,解为:iL=iL+iL”iL为特解(强制分量):iL=1AiL”为对应齐次方程解:iL”=(A1+A2t)ept A通解:t=0+时初始值:iL(0+)=iL(0-)=0代入初始条件得:1+A1+0=0;-103A1+A2=0解得:A1=-1,A2=-103,7-6二阶电路零状态和全响应响应,例7-9-3,求得零状态响应:过渡过
34、程是临界阻尼情况,非振荡性质,波形见图7-25。,7-6二阶电路零状态和全响应响应,例7-10-1,图7-26,开关t=0时闭合,uc(0-)=0,iL(0-)=2A,求开关闭合后iL(t)。解 原有iL(0-)=2A,又接电压源,为全响应。(1)列微分方程,对结点1用KCL:整理:代入已知数:设全响应为 iL=iL+iL”,7-6二阶电路零状态和全响应响应,例7-10-2,(2)特解(3)求通解,二阶微分方程特征方程 p2+200p+20000=0特征根 p=-100j100 共轭复根,欠阻尼性质,即 i”L=Ae-100tsin(100t+)全响应:iL(t)=iL+i”L=1+Ae-10
35、0tsin(100t+)初始条件:iL(0+)=iL(0-)=2A有:1+Asin=2 100Acos-100Asin=0 解得:iL的全响应:,7-6二阶电路零状态和全响应响应,7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应,单位阶跃响应:对单位阶跃函数输入的零状态响应。单位阶跃函数:奇异函数图6-27a,定义:t=0不连续,可描述图b开关动作,t=0时把电路接到单位直流电压。阶跃函数可作开关数学模型,称开关函数。定义任一时刻t0起始阶跃函数为(t-t0)可看作把(t)在时间轴移动t0,图7-28,延迟单位阶跃函数。假设把电路在t=t0时接通到电流为2A的直流电流源,则外施电流可写为2(t-t0)A。
36、,单位阶跃函数“起始”任意一个f(t),设f(t)对所有t有定义的任意函数,则 波形图7-29。对图7-30a幅度为1矩形脉冲,看作由两个阶跃函数组成,图7-30b,即 f(t)(t)-(t-t0)同理,对图7-30c矩形脉冲,可写为 f(t)(t-1)-(t-2),7-7一阶和二阶电路阶跃响应,当电路激励为单位阶跃(t)V或(t)A时,相当于将电路在t=0时接通电压值为1V的直流电压源或电流值为1A的直流电流源。单位阶跃响应与直流激励响应相同。用s(t)表示单位阶跃响应。已知电路s(t),如果该电路恒定激励为us(t)=U0(t)或is(t)=I0(t),则电路零状态响应为U0s(t)或I0
37、s(t)。,7-7一阶和二阶电路阶跃响应,例7-11-1,图7-31,S位置1时电路达稳定状态。t=0时,开关由1合向位置2,在t=RC时又由2合向位置1,求t0时电容电压uc(t)。解 可用两种方法求解。(1)将电路工作过程分段求解 0t区间RC电路零状态响应:uc(0+)=uc(0-)=0 t区间为RC电路的零输入响应:,7-7一阶和二阶电路阶跃响应,例7-11-2,(2)用阶跃函数表示激励,求阶跃响应根据开关动作,激励us(t)图7-32a矩形脉冲表示,按图b写为 us(t)=Us(t)-Us(t-)RC电路单位阶跃响应为故其中第一项为阶跃响应,第二项为延迟阶跃响应。uc(t)波形图c。
38、,7-7一阶和二阶电路阶跃响应,例7-12-1,图7-33,uc(0-)=0,iL(0-)=0,R=0.2,L=0.25H,C=2F,is(t)=(t)A,求单位阶跃响应iL(t)。解 列KCL方程 iR+iC+iL-0.5iC=iS iR+0.5iC+iL=(t)其中代入数据得即二阶线性非齐次方程,解为 iL=i+i”,7-7一阶和二阶电路阶跃响应,例7-12-2,特解 i=1通解特征方程 p2+5p+4=0特征根 p1=-1,p2=-4iL=1+A1e-t+A2e-4t初始条件iL(0+)=iL(0-)=0,uc(0+)=uc(0-)=0代入1+A1+A2=0-A1-4A2=0解得阶跃响应
39、为动态过程是过阻尼性质。,7-7一阶和二阶电路阶跃响应,7-8一阶电路和二阶电路的冲激响应,单位冲激响应:对单位冲激函数激励的零状态响应。单位冲激函数是奇异函数:又称函数。在t0处为零,在t=0处为奇异。(t)可看作单位脉冲函数极限情况。图7-34a为单位矩形脉冲函数p(t)波形。高1/,宽,保持面积1/=1不变,宽0时,高1/,就是单位冲激函数(t),记为,单位冲激函数波形图7-34b,有时箭头旁注“1”。强度为K冲激函数图7-34c,箭头旁边注K。同在时间上延迟出现单位阶跃函数一样,把发生在t=t0时单位冲激函数写为(t-t0),还可用K(t-t0)表示强度为K,发生在t0时刻冲激函数。,
40、7-8一阶和二阶电路冲激响应,冲激函数,冲激函数两个主要性质,(1)单位冲激函数(t)对时间积分等于单位阶跃函数(t),即反之,阶跃函数(t)对时间一阶导数等于冲激函数(t),即(2)单位冲激函数的“筛分性质”由于t0时,(t)=0,对任意在t=0时连续函数f(t),有 f(t)(t)f(0)(t)因此同理,对任意一个t=t0时连续函数f(t),有即冲激函数有把一个函数在某一时刻值“筛”出来的本领,称“筛分”性质,又称取样性质。,7-8一阶和二阶电路冲激响应,冲激函数作用原理,单位冲激电流i(t)(单位A)加到初始电压为零且C=1F电容,电容电压 单位冲激电流瞬时把电荷转移到电容,电容电压从零
41、跃变到1V。单位冲激电压u(t)(单位V)加到初始电流为零且L=1H电感,电感电流 单位冲激电压瞬时在电感内建立1A电流,即电感电流从零值跃变到1A。冲激函数作用于零状态一阶RC或RL电路,在t=0-到0+区间内使电容电压或电感电流发生跃变。t0+时,冲激函数为零,但uc(0+)或iL(0+)不为零,电路中将产生相当于初始状态引起的零输入响应。一阶电路冲激响应求解,在于计算在冲激函数作用下uc(0+)或iL(0+)值。,7-8一阶和二阶电路冲激响应,RC电路的冲激响应,图7-35a单位冲激电流i(t)激励下RC电路。求零状态响应。根据KCL 而uc(0-)=0。为求uc(0+),在0-与0+积
42、分左方第二个积分仅在uc为冲激函数时才不为零,应为零。从而得 Cuc(0+)-uc(0-)1 或 uc(0+)1/Ct0+时,冲激电流源相当于开路,图7-35b求t0+电容电压=RC,RC电路时间常数。,7-8一阶和二阶电路冲激响应,RL电路的冲激响应,用相同分析方法,可得图7-36RL电路在单位冲激电压u(t)激励下零状态响应=L/R为时间常数。电感电流发生了跃变,电压uL为iL、uL的波形见图7-37a、b,注意t=0-到0+的冲激和跃变情况。,7-8一阶和二阶电路冲激响应,RLC串联电路的冲激响应-1,图7-38零状态RLC串联,t=0时与冲激电压(t)接通。uC为变量,KVL:(t)在
43、t0为0,t=0时获得能量,t0+放电,有关键求uC(0+)和i(0+),上式在0-到0+积分:,7-8一阶和二阶电路冲激响应,RLC串联电路的冲激响应-2,零状态条件:u C(0-)=0,iL(0-)=0,uC不可能是阶跃函数或冲激函数,仅duC/dt可能跃变,有:即 意义:冲激电压源在t=0-到0+间隔内使电感电流跃变,跃变后i(0+)=1/L,电感中储存一定磁场能量,冲激响应是磁场能量引起变化过程。t0+时为零输入解,通解仍写为 uC=A1ep1t+A2ep2t 初始条件:uC(0+)=A1+A2=0,7-8一阶和二阶电路冲激响应,RLC串联电路的冲激响应-3,有 如,即周期振荡放电,冲激响应:,7-8一阶和二阶电路冲激响应,阶跃响应与冲激响应的关系,阶跃函数和冲激函数有式(7-15)关系,线性电路中阶跃响应与冲激响应间也有重要关系。如以s(t)表示某一电路阶跃响应,而h(t)为同一电路的冲激响应,两者间数学关系:冲激激励是阶跃激励的一阶导数,冲激响应可按阶跃响应的一阶导数求得。图7-35a、7-36a,如按阶跃响应一阶导数求冲激响应,可得与上述相同结果。,7-8一阶和二阶电路冲激响应,