《解析几何-向量的线性关系与向量的分解PPT.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解析几何-向量的线性关系与向量的分解PPT.ppt（31页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第一章 向量与坐标,1.1 向量的概念,1.2 向量的加法,1.3 数量乘向量,1.4 向量的线性 关系与分解,1.5 标架与坐标,1.6 向量在轴上的射影,1.7 两向量的数量积,1.8 两向量的向量积,1.9 三向量的混合积,1.10 三向量的双重向量积,1.4 向量的线性关系与向量的分解,定义1.4.1 由 与实数 所组成的向量 叫做 的线性组合.(也称向量 可以用向量 线性表示,或 可以分解成 的线性组合.),定理1.4.1 如果向量,则 与 共线的充分必要条件是 可以用向量 线性表示,或者说 是 的线性组合,即 并且系数 被 惟一确定.这时 称为用线性组合来表示共线向量的基底.,必要
2、性 若 与 共线,当 同向时,取;当 反向时,取,则有,下证 惟一.如果,则,即,但,则.即,证明:充分性 若,则由数乘的定义可知 与 共线.,定理1.4.2 如果向量 不共线,则向量 与 共面的充分必要条件是 可以用向量 线性表示,即并且系数 被 唯一确定.这时 叫做平面上向量的基底.,证明:因为 不共线,所以.,共线,则有(或).,只要取(或,),则有.,若 与 都不共线,把 归结到共同始点,并设,过点 作,分别交,所在直线于 两点.,必要性 若 与 共面,若 与(或),充分性 若,当 时,例如,则有 与 共线,所以 共面.,当 时,则,即 平行 确定之平面.而,所以 共面.,由于 与 共
3、线,与 共线,则由定理1.4.1有,下证 惟一.如果,则.若,则有由定理1.4.1可知 共线,矛盾.同理有.,定理1.4.3 如果向量 不共面,那么空间任意向量 可以由向量 线性表示,或说空间任意向量 可以分解成向量 的线性组合，即并且其中系数 被 唯一确定.这时 叫做空间向量的基底.,证明:因为 不共面,则由定义1.1.5知,且它们彼此不共线.,如果 和 之中的两个向量共面,例如,则由定理1.4.2有,则结论成立.,如果 和 中任意两个都不共面.将 归结为到共同始点,并设,所以有,再由定理1.4.1,有,则有,下证 被 唯一确定.若则.如果,则则由定理1.4.2可知 共面,故.同理可得,例1
4、 已知,分别是两边 上的点,且有,.设 与 交于,如图.试把向量 分解成 的线性组合.,解:因为,而,因为 不共线,由定理1.4.2,有,即,例2 证明四面体对边中点的连线交于一点,且互相平分.,解:设四面体 一组对边 的中点 的连线为,它的中点为,其余两组对边中点分别为,下只需证三点重合就可以了.,取不共面的三向量,下证 重合.,又 为 中点,则有,连接,由于 为 的中点,则有,而,所以,同理可得,所以,重合.,定义1.4.2 对于 个向量,如果存在不全为零的 个数 使得那么 个向量 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫做线性无关.即线性无关就指:只有当 时,上式成立.,推论 一个向量 线性相
5、关,定理1.4.4 在 时,向量 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.,证明:必要性 设 线性相关,则,存在不全为0的,使得,因为 不全为0,不妨设,则,充分性 设 中有一个向量是其,设这个向量为,即,因为,所以 线性相关.,则,余向量的线性组合.,定理 如果一组向量中的一部分向量线性相关那么这一组向量就线性相关.,证明:设有一组向量,其中一部分,如 线性相关,即存在不全为0的,使得则,其中 不全为0,所以 线性相关.,定理1.4.6 两向量共线 它们线性相关.,证明:充分性 设 线性相关,则存在不,全为0的,使得.,不妨设,推论 一组向量如果含有零向量,那么这组向量必线性
6、相关.,则.如果,由定理1.4.1知,共线.若,则 共线.,必要性 设 共线,若,则任取,有,即 线性相关.若,由定理1.4.1,存在,使,即,所以 线性相关.,定理1.4.7 三个向量共面 它们线性相关.,证明:必要性 设 共面,由定理1.4.2,存在,使得,即.,以 线性相关.,充分性 设 线性相关,则存在不全为0,不全为0,不妨设,则有.,由定理1.4.2知 共面.,所,的,使得.,由于,定理 空间任何四个向量总线性相关.,证明:设空间任意四向量,若,共面,由定理1.4.7知 线性相关,理1.4.5知 线性相关.,若 不共面,由定理1.4.3可设,1.4.4知 线性相关.,推论 空间四个以上向量总是线性相关.,再由定,再由定理,例3 设,试证三点 共线的充要条件是存在不全为0的实数 使得 且,证明:必要性 设 共线,则 共线,由定理1.4.6知 线性相关,即存在不全为0的,使得,即.可得,令,即有 不全,为0,使 且.,不妨设,代入整理得,充分性 设有不全为0的,使,即.,可知 不全为0,共线,即 共线.,所以,由,且,例4 设 为两不共线向量,证明 共线的充要条件是,证明:由定理1.4.6,共线 存在不全为0的数,使得,即,又 不共线,即 线性无关,而 不全为0,
