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1、HUN-理科,数学,数学,数学,数学,决胜高考,专案突破,名师诊断,对点集训,【考情报告】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【考向预测】,数列一直是高考的重点与热点.由于它既具有函数特征,又能构成独特的递推关系,使得它既与中学数学其他部分知识,如:函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系,又有自己鲜明的特征,因此在高考中占有极其重要的地位.以考查数列的通项公式,前n项和及数列的基本性质为主要内容,在试卷中约占12分或17分,一个解答题和一个填空题,或单独一道解答题;小题一般为概念性问题,常用等差数列、等比数列的概念和性质来解决,属于中低档题;而大题的综合性较强,常从数列
2、的递推关系入手,再转化为等差数列和等比数列中的求通项或求和.考查学生数学思维能力和分析、建模,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.复习时仍应当以基础知识为主,不要片面追求难度.数列可视为一种特殊的函数,因此可以用函数的观点来解决数列问题.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,1.已知数列an中,a1=1,a2=2,2an+1=2an+3(n2,nN*),判断an是否为等差数列.,【解析】a2-a1=1,a3-a2=,an不是等差数列.,【知能诊断】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,2.(黑龙江省哈六中201
3、2届高三第三次模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且an+1=5Sn-3,a1=1,则an的通项公式是.,【解析】由an+1=5Sn-3,得an=5Sn-1-3(n2),两式相减得an+1-an=5an,即=6(n2),由a1=1,得a2=2,6,故an=,【答案】an=,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,3.(2012年3月北京市丰台区高三一模)设Sn为等比数列an的前n项和,若a1=1,且2a2,S3,a4+2成等差数列,则数列的前5项和为(),(A)341.(B).(C)1023.(D)1024.,【解析】由2S3=2a2+a4+2,得q=2,则的公比为4,S5=341.,【答案】
4、A,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,4.在公差不为0的等差数列an中,a1,a3,a7成等比数列,S7=35,求数列通项an.,【解析】由S7=35,得=35,即2a1+6d=10,a4=5;,又=a1a7,即(a4-d)2=(a4-3d)(a4+3d),得d=1,故an=a4+(n-4)d=n+1.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,5.(陕西省西安市八校2012届高三年级数学试题)在公差不为0的等差数列an中,a1=-12,且a8,a9,a11成等比数列.,(1)求数列an的公差;,(2)设Sn为数列an的前n项和,求Sn的最小值,并求出此时n的值.,【解析】(1)由a8,a
5、9,a11成等比数列知(a1+8d)2=(a1+7d)(a1+10d),即16a1d+64d2=17a1d+70d2,整理得a1d+6d2=0.,因为d0,所以a1=-6d.从而d=2,即数列an的公差为2.,(2)(法一)由(1)可知Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,因为n2-13n=(n-)2-,且nN+,所以当n=6或7时,n2-13n有最小值-42,因此,Sn的最小值为-42,此时的n为6或7.,(法二)由(1)可知数列an的通项公式为an=2n-14,令an0,得n7.,据数列an单调递增可知,其前6项均为负项,第7项为0,从第8项
6、开始均为正项,所以S6=S7,且均为Sn的最小值,最小值为-42,此时的n为6或7.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,6.已知数列an是首项a1=的等比数列,其前n项和Sn中S3=,求数列an的通项公式.,【解析】若q=1,则S3=不符合题意,q1.,当q1时,由得,an=(-)n-1=(-)n+1.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,7.(东北四校2012届高三第一次高考模拟)已知an为等比数列,a1=1,a6=243,Sn为等差数列bn的前n项和,b1=3,S5=35.,(1)求an和bn的通项公式;,(2)设Tn=a1b1+a2b2+anbn,求Tn.,【解析】(1)a6=
7、a1q5=243,得q=3,an=3n-1;S5=35,b5=11,又b1=3,得bn=2n+1.,(2)Tn=31+53+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,3Tn=33+532+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,-得:-2Tn=3+2(3+32+3n-1)-(2n+1)3n,整理得:Tn=n3n.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,1.应用an与Sn的关系解题时,一般要分n=1和n2来讨论,要注意验证能否统一到一个式子中,当a1不符合an=Sn-Sn-1(n2)的表达式时,通项公式必须分段表示.注意隐含条件n2,nN*,要验证是不是从第一项开始.,2.等差数列求Sn最值
8、的结论为:,(1)当a10,d0时,若Sr最大,则应有,(2)当a10时,若Sr最小,则应有,仅解不等式an0是不正确的,仅解an+10也是不正确的.,【诊断参考】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,3.等差、等比数列综合时,要分清谁是等差,谁是等比.灵活运用公式:等差an=am+(n-m)d;等比an=amqn-m,使运算简便.尤其是求通项公式时,不一定求a1,可以利用已知求得am;等比数列不一定求q,求出q3或q2有时可以直接利用,减少运算量.在求等比数列前n项和时,注意分q1,q=1两种情况讨论.,4.用错位相减求和时注意:(1)写出qSn的倒数第二项,以便相减;(2)Sn-qSn
9、的第一项不要丢掉;(3)Sn-qSn的最后一项是减号;(4)用公式求和时要注意项数.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【核心知识】,一、等差、等比数列的概念、判定、公式与性质,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,二、判断或证明数列是等差(或等比)的方法,1.定义法:验证an+1-an=d(常数)或=q(常数);,2.中项公式法:验证2an=an-m+an+m或=an-man+m;,3.通项公式法:,(1)数列an为等差数列an=An+B(A,B为常数,nN*);,(2)数列an为等比数列an=cqn(c,q均是不为0的常数,nN*).,三、求
10、通项公式的常用方法,1.观察法:找到项与项数的关系,然后猜想检验,即得通项公式an;,2.利用前n项和与通项的关系:an=,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,3.公式法:利用等差(比)数列的通项公式;,4.累加法:如an+1-an=f(n),累乘法:如=f(n);,5.转化法:,(1)an+1=Aan+B(A0,A1),可以通过待定系数法an+1+=A(an+),求出,化为等比数列后,再求通项;,(2)an+1=can+rn(c0,r0),可以通过两边除以rn+1,转化为类型(1)求解.,四、数列的常用求和方法,数列求和要先研究数列的通项,根据通项选择方法,化归为基本数列,名师诊断,专案
11、突破,对点集训,决胜高考,求和.,1.公式法:用等差(比)数列的求和公式;,2.分组求和法:若cn=an+bn,则用分组求和法;,3.错位相减法:若cn=anbn,an是等差数列,bn是等比数列,则用错位相减法;,4.裂项相消法:形如cn=(其中an为等差数列);,5.倒序相加法:若cn=an,m0,n,即数列cn的通项公式是由一个组合数和等差数列通项公式组成,则一般采用“倒序相加法”.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,五、常用的结论,1.已知等差数列an的前n项和为Sn:,(1)若a10,d0,则当且仅当时,Sn取最大值;,(2)若a10,则当且仅当时,Sn取最小值;,2.常用拆项公
12、式(k,nN*),(1)=-;,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)=(-);,(3)若an是等差数列,公差为d(d0),则=(-);,(4)=(-);,(5)nn!=(n+1)!-n!.,【考点突破】,热点一:数列的概念与性质,数列的概念、性质及其基本量的关系是高考中经常考查的内容,一般出现在选择题、填空题或解答题的第一问,属于容易题或中档题,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,主要考查数列性质的灵活应用及对概念的理解.,(1)(广东省六校2012年2月高三第三次联考)等差数列an中,已知a3=5,a2+a5=12,an=29,则n为(),(A)13.(B)14.(C)15.(
13、D)16.,(2)(2012年新课标全国)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(),(A)7.(B)5.(C)-5.(D)-7.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【分析】(1)a2+a5不能用等差中项,故用基本量,又已知a3,所以a2+a5=(a3-d)+(a3+2d)=12,求得公差,结合an=29可解.(2)要看清an为等比数列,所以a5a6=a4a7,然后用基本量表示,根据韦达定理构造方程,解方程得出a4,a7的值,或是解方程组;然后求出q3即可,后面直接用q3,减少计算量.,【解析】(1)a2+a5=(a3-d)+(a3+2d)=12,得d=2,
14、an=a3+(n-3)d=29,得n=15.,(2)由题意并根据等比数列的性质得a5a6=a4a7=-8,又a4+a7=2,设a4,a7是方程x2-2x-8=0的两根,则解得或故q3=-2或-.当q3=-2时,a1+a10=+a7q3=-7;同理可知当q3=-时,a1+a10=-7.,故a1+a10=-7,故选D.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【答案】(1)C(2)D,【归纳拓展】关于等差、等比数列的问题,首先应抓住a1、d、q,通过列方程组来解.此方法具有极大的普遍性,需用心掌握,但有时运算,量较大,熟练运用性质或公式特征量可大幅度简化运算.运用an=am+(n-m)d和an=a
15、mqn-m可减少运算量.方程思想、分类讨论思想是解决数列的常用思想方法.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练1(1)等差数列an中,a4=10且a3,a6,a10成等比数列,则数列an前20项的和S20=.,(2)(山东省实验中学2012届高三第四次诊断考试)等差数列an中,a4+a10+a16=30,则a18-2a14的值为.,【解析】(1)由a4=10和a3,a6,a10成等比数列得:,即,解得或,故S20=200或330.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)由a4+a10+a16=30得a10=10,a18-2a14=(a10+8d)-2(a10+4d)=-a1
16、0=-10.,【答案】(1)200或330(2)-10,(1)(山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中)已知数列an的通项为an=()n-1()n-1-1,下列表述正确的是(),(A)最大项为0,最小项为-.,(B)最大项为0,最小项不存在.,(C)最大项不存在,最小项为-.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(D)最大项为0,最小项为a4.,(2)设等差数列an的前n项和为Sn,若S410,S515,则a4的最大值为.,【分析】(1)先求出数列的前四项,然后计算an+1-an的符号,从而确定数列的单调性,即可求出数列的最大项和最小项.(2)根据S410,S515转化为基本量,减少
17、参数,用一个参数的范围来求a4的范围.,【解析】(1)a1=0,当n1时,0()n-11,()n-1-10,an最大项为a1=0;,a2=()2-1()2-1-1=-;a3=()3-1()3-1-1=-;,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,a4=()4-1()4-1-1=-,an+1-an=()n()n-1-()n-1()n-1-1=()n-1.,当n3时,an+1-an0;n3时,an+1-an0,最小项为a3=-.故选A.,(2)等差数列an的前n项和为Sn,且S410,S515.,即,a13-2d,3-2d,d1.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,a4=(a1+2d)+d3
18、+d3+1=4.,故a4的最大值为4.,【答案】(1)A(2)4,【归纳拓展】(1)本题主要考查了数列的函数特性,同时考查了计算能力,属于中档题.求数列的最大、最小项,一般可以先研究数列的单调性,可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合.(2)由已知得出不等式,利用消元思想确定d或a1的范围是解题的关键;若题干中没有给出不等式,求d的范围,先要列出a1,d的等量关系,然后应用判别式法或配方法产生不等式.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练2(1)(山东省烟台市2012届高三期末检测)已知数列an满足a1=a,an=an+1+2,定义数列bn,使得bn=(nN*).若4a6,
19、则数列bn的最大项为(),(A)b2.(B)b3.(C)b4.(D)b5.,(2)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.若S5=5,求S6及a1;求d的取值范围.,【解析】(1)an=a+(n-1)(-2)=-2n+a+2,bn=,解得a=+2n-2,4a6,解得6-2n8-2n,由此可知b3最大,当n4时,bn0.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)由题意知S6=-3,a6=-8,解得a1=7,S6=-3,a1=7.,S5S6+15=0,2+9a1d+10d2+1=0,(4a1+9d)2=d2-8,d28,故d的取值范围为d
20、-2或d2.,【答案】(1)B(2)S6=-3,a1=7d-2或d2,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,热点二:数列的通项与求和,数列的通项与求和是高考的热点,主要运用转化思想转化为等差、等比数列问题.其中求数列通项公式是核心,而求通项公式的常用方法有:定义法、公式法、累加法、累乘法、转化法等.主要考查性质的灵活运用及对概念的理解,考查基本技巧与基本思想方法.在求和问题中,既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律,又要注意项数.,(1)(湖北省荆门、天门等八市2012年3月高三联考)如果数列a1,是首项为1,公比为-的等比数列,则a5等于,(),名师诊断,专案突破,对点集训,决胜
21、高考,(A)32.(B)64.(C)-32.(D)-64.,(2)(2012年新课标全国)数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为.,【分析】(1)先分析通项,=(-)n-1,用累乘法;(2)列出前几项,观察规律.,【解析】(1)a5=a1=a1q1+2+3+4=(-)10=32.,(2)由an+1+(-1)nan=2n-1得an+2=(-1)nan+1+2n+1=(-1)n(-1)n-1an+2n-1+2n+1=-an+(-1)n(2n-1)+2n+1,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,即an+2+an=(-1)n(2n-1)+2n+1,也有an+3+an+
22、1=-(-1)n(2n+1)+2n+3,两式相加得an+an+1+an+2+an+3=-2(-1)n+4n+4,设k为整数,则a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4,=-2(-1)4k+1+4(4k+1)+4=16k+10,于是S60=(a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4)=(16k+10)=1830.,【答案】(1)A(2)1830,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【归纳拓展】形如an+1-an=f(n),=f(n),an+1=Aan+B(A0,A1)等,可通过累加法,累乘法,待定系数法转化为等差或等比数列求通项.由递推公式求通项公式,关键是数学式的变形,结合待定
23、系数法进行适当的构造,或组合转化为等差数列或等比数列解决问题.通项公式是数列的灵魂,只有抓住它的特征,再去联想常用数列的求和方法,才能快速解题.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练3求满足下列条件的数列的通项公式:,(1)a1=1,an=+an-1(n2,nN*);,(2)a1=1,an+1=3an+2.,【解析】(1)由已知得an-an-1=,用累加法得an-a1=+=1-()n-1,得an=2-()n-1.,(2)an+1=3an+2,an+1+1=3(an+1),=3,an+1为等比数列,公比为3,an+1=(a1+1)3n-1,an=23n-1-1.,名师诊断,专案突破,
24、对点集训,决胜高考,(2012烟台一模)已知数列an是公差为2的等差数列,且a1+1,a3+1,a7+1成等比数列.,(1)求an的通项公式;,(2)令bn=(nN*),记数列bn的前n项和为Tn,求证:Tn.,【分析】(1)利用等比中项列式,转化为求基本量,可求通项;(2)由(1)求得an,看bn=的形式,可用裂项相消法求和.,【解析】(1)数列an是公差为2的等差数列,a1+1,a3+1,a7+1成等比数列,a3=a1+4,a7=a1+12.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,所以由(a3+1)2=(a1+1)(a7+1)得(a1+5)2=(a1+1)(a1+13),解之得a1=3,
25、所以an=3+2(n-1),即an=2n+1.,(2)由(1)得an=2n+1,bn=(-).,Tn=(1-+-+-),=(1-)=-.,【归纳拓展】解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,等差中项、等比中项是常考的考点;若cn=,数列cn的通项公式是一个分式结构,一般采用“裂项相消法”,通项,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,拆成两项之差求和,正负项相消剩下首尾若干项(注意:一般情况下剩下正负项的个数相同).,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练4(北京市东城区2012年1月高三考试)在等差数列an中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列bn的各项均为
26、正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,q=.,(1)求an与bn;,(2)数列cn满足cn=,求cn的前n项和Tn.,【解析】(1)设an的公差为d,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,解得q=3或q=-4(舍),d=3.故an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.,(2)Sn=,cn=(-),Tn=(1-)+(-)+(-)=(1-)=.,(广东省惠州市2012届高三一模)已知数列an满足:a1=1,a2=,且3+(-1)nan+2-2an+2(-1)n-1=0,nN*.,(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列an的通项公式;,(2)设bn=a2n-1a2n,求数列bn的前n
27、项和Sn.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【分析】(1)由于有(-1)n,可按奇数,偶数进行分类;(2)由bn=a2n-1a2n的形式,可以看出用错位相减,通项bn的求法是关键.,【解析】(1)经计算a3=3,a4=,a5=5,a6=.,当n为奇数时,an+2=an+2,即数列an的奇数项成等差数列,a2n-1=a1+(n-1)2=2n-1;,当n为偶数时,an+2=an,即数列an的偶数项成等比数列,a2n=a2()n-1=()n.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,因此,数列an的通项公式为an=,(2)bn=(2n-1)()n,Sn=1+3()2+5()3+(2n-3)(
28、)n-1+(2n-1)()n,Sn=1()2+3()3+5()4+(2n-3)()n+(2n-1)()n+1.,-得:Sn=1+2()2+()3+()n-(2n-1)()n+1,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,=+-(2n-1)()n+1=-(2n+3)()n+1.,Sn=3-(2n+3)()n.,【归纳拓展】数列是一种特殊的函数,像分段函数一样数列通项可以分段表示,主要考查等差数列、等比数列的概念.用转化思想把递推关系式转化为等差、等比数列问题是解题的常用方法;若cn=anbn,an是等差数列,是等比数列,则主要用错位相减法求和.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练5数
29、列an满足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2)an+sin2,n=1,2,3,.,(1)求a3,a4,并求数列an的通项公式;,(2)设bn=,求数列bn的前n项和Sn.,【解析】(1)因为a1=1,a2=2,所以a3=(1+cos2)a1+sin2=a1+1=2,a4=(1+cos2)a2+sin2=2a2=4.,一般地,当n=2k-1(kN*)时,a2k+1=1+cos2a2k-1+sin2=a2k-1+1,即a2k+1-a2k-1=1.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,所以数列a2k-1是首项为1、公差为1的等差数列,因此a2k-1=k.,当n=2k(kN*)时,a2k
30、+2=(1+cos2)a2k+sin2=2a2k.,所以数列a2k是首项为2、公比为2的等比数列,因此a2k=2k.,故数列an的通项公式为an=,(2)由(1)知,bn=,Sn=+,Sn=+.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,-得:Sn=+-=-=1-.,所以Sn=2-=2-.,(天津市六校2012届高三第三次联考)已知数列an、bn满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1,数列bn的前n项和为Sn.,(1)求证:数列为等差数列;,【分析】(1)用定义证明等差数列是常用方法.此题不容易凑成bn=an-1的形式,所以考虑把an=bn+1代入an-1=an(an+1-
31、1),两边同时除以bnbn+1,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,整理成的形式可得等差数列.(2)先求Tn,数列与不等式综合,证明不等式可以考虑作差法.,【解析】(1)由bn=an-1得an=bn+1,代入an-1=an(an+1-1)得bn=(bn+1)bn+1,整理得bn-bn+1=bnbn+1.,bn0,否则an=1,与a1=2矛盾,从而得-=1,b1=a1-1=1 数列是首项为1,公差为1的等差数列.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)=n,则bn=,Sn=1+.,Tn=S2n-Sn=1+-(1+)=+.,(法一)Tn+1-Tn=+-(+),=+-=-=0,Tn+1T
32、n.,(法二)2n+1,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,Tn+1-Tn+-=0,Tn+1Tn.,【归纳拓展】在解数列问题时,除常用数学思想方法的运用外,还要特别注意,在解题中一定要有“目标意识”.此题为了出现目标,两边同时除以bnbn+1是常用的方法.求证等差数列,可从两个方面出发,一是等差数列的定义,即证 an+1-an=d;二是等差中项2an=an-m+an+m;数列与不等式综合,主要应用不等式的证明方法:作差法,放缩法,或转化为函数的最值问题.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练6(2012届广东省中山市四校12月联考)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn
33、+1=2Sn+n+1(nN*).,(1)求证:数列an+1为等比数列;,(2)若bn=,数列bn的前n项和为Tn,nN*,证明:Tn2.,【解析】(1)Sn+1=2Sn+n+1,当n2时,Sn=2Sn-1+n,两式相减得:an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1),即=2.,又S2=2S1+2,a1=S1=1,a2=3,=2;,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,所以+是公比为2的等比数列.,(2)由(1)知an=2n-1,bn=.,Tn=+,Tn=+.,Tn=2(+-)=2-2.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,热点三:数列的综合应用,数列与其他分支知识的综合应用,一般是
34、以数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合应用为主.解决此类综合问题,首先要分析出在每个分支中各是什么问题;其次,要把整个大题分解成若干个小题或“步骤”,使它们成为在各自分支中的基本问题;最后,分别求解这些小题或步骤,从而得到整个问题的结论.,已知数列an中,a1=2,an-an-1-2n=0(n2,nN*).,(1)写出a2、a3的值(只写结果),并求出数列an的通项公式;,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)设bn=+,若对任意的正整数n,当m-1,1时,不等式t2-2mt+bn恒成立,求实数t的取值范围.,【分析】(1)由递推关系式可知用累加法求通项;(2)对于bn
35、的求法,由于是分式形式,可以考虑用裂项相消;对于恒成立问题,可以转化为函数的最值,先判断函数的单调性.,【解析】(1)a1=2,an-an-1-2n=0(n2,nN*),a2=6,a3=12.,当n2时,an-an-1=2n,an-1-an-2=2(n-1),a3-a2=23,a2-a1=22,an-a1=2n+(n-1)+3+2,an=2n+(n-1)+3+2+1=n(n+1).,当n=1时,a1=1(1+1)=2也满足上式,数列an的通项公式为an=n(n+1).,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)bn=+=+,=-+-+-=-=.,令f(x)=2x+(x1),则f(x)=2-
36、,当x1时,f(x)0恒成立,f(x)在x1,+)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max=.要使对任意的正整数n,当m-1,1时,不等式t2-2mt+bn恒成立,则须使t2-2mt+(bn)max=,即t2-2mt0,对m-1,1恒成立,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,解得,t2或t-2,实数t的取值范围为(-,-2)(2,+).,另解:bn+1-bn=-+,=+-(+),=-0.,数列bn是单调递减数列,(bn)max=b1=.,要使对任意的正整数n,当m-1,1时,不等式t2-2mt+bn恒成立,则须使t2-2mt+(bn)max=,即
37、t2-2mt0,对m-1,1恒成立,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,解得,t2或t-2,实数t的取值范围为(-,-2)(2,+).,【归纳拓展】数列是一种特殊的函数,要注意其特殊性:(1)若用导数研究数列的单调性、最值等,要构造辅助函数,因为导数是对连续函数定义的;(2)辅助函数的单调性与数列的单调性的联系与区别.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练7(2012南昌期末)已知各项均为正数的数列an满足=2+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中nN*.,(1)求数列an的通项公式;,(2)令cn=1+,记数列cn的前n项积为Tn,其中nN*,试比较Tn与9的大小,并
38、加以证明.,【解析】(1)因为=2+anan+1,即(an+1+an)(2an-an+1)=0.,又an0,所以有2an-an+1=0,所以2an=an+1.,所以数列an是公比为2的等比数列.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2,故数列an的通项公式为an=2n(nN*).,(2)构造函数f(x)=ln(1+x)-x(x0),则f(x)=-1=-,当x0时,f(x)0,即f(x)在(0,+)上单调递减,所以f(x)f(0)=0,ln(1+x)-x0,所以ln cn=ln(1+)=ln(1+),所以ln Tn+,记An=+
39、,则An=+,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,所以有An-An=+-=1-1,即An2,所以ln Tn2,所以Tne29.,(2012北京房山区一模)在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn),对一切正整数n,点Pn位于函数y=3x+的图象上,且Pn的横坐标构成以-为首项,-1为公差的等差数列.,(1)求点Pn的坐标;,(2)设抛物线列C1,C2,C3,Cn,中的每一条的对称轴都垂直于x轴,第,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,n条抛物线Cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1),记与抛物线Cn相切于Dn的直线的斜率为kn,求+;,(3)
40、设S=,T=,等差数列an的任一项anST,其中a1是ST中的最大数,-265a10-125,求an的通项公式.,【分析】(1)求点Pn的横坐标,即求等差数列的通项公式;(2)直线与圆锥曲线相切问题可以用导数的几何意义解决,对于分式求和,用裂项相消法;(3)数列与集合综合,先求ST是入手点.,【解析】(1)xn=-+(n-1)(-1)=-n-,yn=3xn+=-3n-,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,Pn=(-n-,-3n-).,(2)Cn的对称轴垂直于x轴,且顶点为Pn,设Cn的方程为:y=a(x+)2-,把Dn(0,n2+1)代入上式,得a=1,Cn的方程为:y=x2+(2n+3)
41、x+n2+1,y=2x+2n+3.,当x=0时,kn=2n+3,=(-),+=(-)+(-)+(-),名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,=(-)=-.,(3)S=,T=y|y=-2(6n+1)-3,nN,n1ST=T,T中最大数a1=-17.,设an的公差为d,则a10=-17+9d(-265,-125),由此得-d-12,又anT,d=-12m(mN*),d=-24,an=7-24n(nN*).,【归纳拓展】数列在日常经济生活中广为应用,如增长率问题、银,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,行存款利率问题、贷款问题等,都是与等比数列有关.另外,有些实际问题,可转化为数列问题,注意是
42、求项还是求和,是解方程还是不等式问题.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练8已知数列an的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn.,(1)求数列an的通项公式;,(2)若bn=an,求数列bn的前n项和Tn;,(3)设Q=x|x=kn,nN*,R=x|x=2an,nN*,等差数列cn的任一项cnQR,其中c1是QR中的最小数,110c10115,求cn的通项公式.,【解析】(1)点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,Sn=n2+2n(nN*),当n2时,an=Sn-Sn-1
43、=2n+1.当n=1时,a1=S1=3满足上式,所以数列an的通项公式为an=2n+1.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)由f(x)=x2+2x求导可得f(x)=2x+2,过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn,kn=2n+2.,bn=an=4(2n+1)4n.,Tn=4341+4542+4743+4(2n+1)4n,由4,得4Tn=4342+4543+4744+4(2n+1)4n+1.,-得:-3Tn=434+2(42+43+4n)-(2n+1)4n+1,=434+2-(2n+1)4n+1,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,Tn=4n+2-.,(3)Q=x|x=2n+2,
44、nN*,R=x|x=4n+2,nN*,QR=R.,又cnQR,其中c1是QR中的最小数,c1=6.,cn的公差是4的倍数,c10=4m+6(mN*).,又110c10115,解得m=27.,所以c10=114,设等差数列的公差为d,则d=12,cn=6+(n-1)12=12n-6,所以cn的通项公式为cn=12n-6.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,限时训练卷(一),一、选择题,1.在等比数列an中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8等于(),(A)95.(B)100.(C)135.(D)80.,【解析】a3+a4=(a1+a2)q2=40q2=60,q2=,a7
45、+a8=(a3+a4)q4=135.,【答案】C,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,2.等比数列an中,a3=6,前三项和S3=18,则公比q的值为(),(A)1.(B)-.,(C)1或-.(D)-1或-.,【解析】S3=18,a1+a2=(1+q)=122q2-q-1=0q=1或q=-.,【答案】C,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,3.(广东省惠州市2012届高三一模)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于(),(A)18.(B)24.(C)60.(D)90.,【解析】由=a3a7得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1
46、+6d)得2a1+3d=0,再由S8=8a1+d=32得2a1+7d=8,则d=2,a1=-3,所以S10=10a1+d=60.故选C.,【答案】C,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,4.(广东省执信中学2012届高三3月测试)设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=-11,a3+a7=-6,则当Sn取最小值时,n等于(),(A)9.(B)8.(C)7.(D)6.,【解析】a3+a7=-6,a5=-3,d=2,Sn=n2-12n,当Sn取最小值时,n等于6.,【答案】D,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,5.数列an的首项为3,为等差数列,且bn=an+1-an(nN*),若b3=
47、-2,b2=12,则a8等于(),(A)0.(B)-109.(C)-181.(D)121.,【解析】d=-14,an+1-an=bn,a8-a1=b1+b2+b7=-112,则a8=-109.,【答案】B,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,6.在等差数列an中,a3+a8+a13=m,其前n项和Sn=5m,则n等于(),(A)7.(B)8.(C)15.(D)17.,【解析】a3+a8+a13=m,得a8=,S15=15a8=5m.,【答案】C,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,7.(2012北京西城区期末)设等比数列an的前n项和为Sn,若8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定
48、的是(),(A).(B).(C).(D).,【解析】=q3=-8,q=-2,=;=,数值由n来决定.,【答案】D,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,8.(北京市西城区2012年4月联考)设等比数列an的各项均为正数,公比为q,前n项和为Sn.若对nN*,有S2n3Sn,则q的取值范围是(),(A)(0,1.(B)(0,2).(C)1,2).(D)(0,).,【解析】当q1时,S2n3Sn,3,qn2.,当q1时,nnmax不成立,舍去;,当0logq2对nN*恒成立,logq2nmin,logq21,即0q2,又0q1,0q1.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,当q=1时,S2n
49、=2Sn3Sn成立,综上可得:0q1.故选A.,【答案】A,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,9.(山东省枣庄市2012届高三上学期期末)数列an中a1=a,a2=b,且满足an+1=an+an+2,则a2012的值为(),(A)b.(B)ba.(C)b.(D)a.,【解析】经验证得周期为6,a2012=a3356+2=a2=b.,【答案】A,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,10.已知an为等比数列,且a3+a6=36,a4+a7=18,若an=,则n=.,【解析】设an=a1qn-1,a3+a6=36,a4+a7=(a3+a6)q=18,解之得进而an=128()n-1,由an
50、=128()n-1=,解得n=9.,【答案】9,二、填空题,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,11.已知Sn,Tn分别是等差数列an,bn的前n项和,且=(nN+),则+=.,【解析】+=.,【答案】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,12.已知数列log2(an-1)(nN*)为等差数列,且a1=3,a3=9则数列an的通项公式为.,【解析】设等差数列log2(an-1)的公差为d,由a1=3,a3=9,得log2(a3-1)=log2(a1-1)+2d,解得d=1,所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1.,【答案】an=2n+1,名师诊断,专案突破,对
