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1、高等数学下（B）复习课,2012-5-18,第一部分 多元函数微分学,考点概览：1、二元函数（定义域、函数关系）2、二元函数偏导数3、二元函数的全微分求法4、二元函数的二阶偏导数5、二元函数的全微分6、多元复合函数的求导法则7、隐函数的偏导数和全微分8、几个重要关系 9、二元函数极值,（1）定义域,例1：,（2）函数关系,例2：,解：直接代入法,（2）函数关系,例3：,解：,解,练习1：,7,（2）函数关系,练习2：,解：换元法,8,2、二元函数的偏导数,3、二元函数的偏导数的求法,附：一元函数的求导公式（须熟记）：,小结：函数表达式比较复杂，求具体点的偏导数，化成一元函数的求导.,例,例,例
2、,求偏导函数,4、二元函数的二阶偏导数,例,5、二元函数的全微分,例,例,6、多元复合函数的求导法则,回忆：一元复合函数的求导法则链式法则,推广?,变量树图,解,例,解,例,u,v,练习：,练习：,答案：,答案：,7、隐函数的偏导数和全微分,-,解：,例,8、几个重要关系,偏导数存在,9、二元函数极值,的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:,(1),有极值,有极大值,有极小值;,(2),没有极值;,(3),可能有极值,也可能无极值.,求函数 极值的一般步骤:,第一步,解方程组,求出实数解,得驻点.,第二步,对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值,第三步,定出,的符号,再
3、判定是否是极值.,例 求函数,的极值。,解,求解方程组：,得驻点,因此，驻点,因此，驻点,因此，驻点,第二部分 二重积分,考点概览：1、二重积分的概念几何意义2、二重积分的简单性质3、二重积分的定限4、直角坐标系下交换积分次序5、在直角坐标系下计算二重积分6、在极坐标系下计算二重积分,曲顶柱体体积=,引例曲顶柱体的体积,曲顶柱体,以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以,顶是曲面,且在D上连续).,?,1、二重积分的概念及几何意义,二重积分的几何意义,性质 线性,(二重积分与定积分有类似的性质),2.二重积分的性质,性质2,对积分区域的可加性质.,性质3,若
4、 为D的面积,例：设D由直线,解：,练习：P4 四、2,设区域D关于x轴对称,如果函数 f(x,y)关于坐标y为偶函数.,性质4,则,D1为D在第 一象,限中的部分,坐标y为奇函数,则,设区域D关于x轴对称,如果函数 f(x,y)关于,如果函数 f(x,y)关于坐标x为奇函数,如果函数 f(x,y)关于坐标x,则,为偶函数,则,类似地,设区域D关于y轴对称,且D1为D在,第一象限中的部分,设D为圆域(如图),0,0,D1为上半圆域,D2为右半圆域,?,练习：P4 四、3，4,性质5(比较性质),设,则,C,练习：P5 四、6，7,(1)积分区域为：,其中函数,在区间 上连续.,3.利用直角坐标
5、系计算二重积分,先对y后对x的二次积分,称为,累次积分.,(2)积分区域为：,先对x后对y的二次积分,也即,其中函数,在区间,上连续.,练习：熟练掌握练习册上相应习题,在直角坐标系下计算二重积分（1个解答题）,注：,4.交换积分次序的步骤,(1)将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.,并画出草图;,例,交换积分次序：,解,原式=,练,例,4、利用极坐标系计算二重积分,53,（1）极坐标系下的积分定限,（2）极坐标系下计算二重积分,例,第三部分 微分方程,考点概览：1、微分方程的基本概念 阶数（判断题）；会判断三种一阶方程的类型（判断题，选择题
6、）2、求简单微分方程的通解、特解或积分曲线（选择、填空题）3、会求解可分离变量方程和一阶线性方程（2个解答题：2个可分离变量方程或1个可分离变量方程1个一阶线性方程）,1、微分方程的基本概念,如,未知函数是一元函数的方程为,方程中所出现的导数(或微分)的最高阶数称,微分方程:,常微分方程(ODE);,微分方程的阶.,一阶,一阶,二阶,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数,微分方程的解:,微分方程的解的分类,(1)通解,微分方程的解中含有任意常数,且任意,常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解,确定了通解中任意常数以后的解.,如方程,通解,特解,通常,用来确定任意常数的条件为：,初值条件,解的图象,通解的图象,微分方程的积分曲线.,积分曲线族.,是过定点的积分曲线;,一阶,几何意义,例,2、一阶微分方程,考点：辨别三类一阶微分方程,可分离变量的方程,或,如果可以写成如下形式,或,（1）可分离变量方程,一阶线性微分方程的标准形式,上面方程称为,上面方程称为,如,线性的;,齐次的;,非齐次的.,一阶,（2）一阶线性微分方程,非线性的;,（3）齐次方程,如果一阶微分方程可以写成如下形式,齐次方程.,则称之为,微分方程,是变量可分离微分方程.,【答案：正确】,3、三类一阶微分方程的解法,解微分方程：,
