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第三节 一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式:,称为一阶线性齐次微分方程.,称为一阶线性非齐次微分方程.,例如,线性的;,非线性的.,关于未知函数 y 及其导数 y 是一次的.,齐次方程的通解为,1、齐次线性微分方程,一阶线性微分方程的解法:,(使用分离变量法),对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程一个特解,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,2、解非齐次方程,解,例1,解,例2,利用公式求解一阶线性非齐次微分方程应注意:,1.方程应化为标准型：,正确选择 P(x)和 Q(x).,2.公式中的不定积分不再加C.,3.e lnf(x),e lnf(x)等要化简为 f(x)或,解,例3,例4,解,解,例5,两边求导得,解,例6 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,所求曲线为,小结,1.齐次线性微分方程,2.非齐次线性微分方程,(1)公式,1、判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,线性方程,线性方程,思考与练习,2、求一连续可导函数 f(x)使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,3、求微分方程 的通解.,解,练 习 题,练习题答案,一阶线性微分方程的初值问题:,的解为,
