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1、第五章 大数定律与中心极限定理,本章要解决的问题,为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？,2.为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？,答复,大数定律,中心极限定理,第一节 大数定律,一、切比雪夫Chebyshev不等式,二、几个常见的大数定律,定义1,或,不等式,成立，,则称此式为切比雪夫不等式。,存在，则对任意,证明 设 X 为连续性（离散型类似），其密度为,设随机变量X 的数学期望,一.切比雪夫Chebyshev不等式,则,注：Chebyshev不等式对随机变量在以,的一个邻域外取值的概率给出了一个上界,为中心,可见D(X)越小，事件,的概率越接近1。,X 的值密集在其
2、数学期望附近的概率越大。,例如：对未知分布X，取,例1 一电网有1万盏路灯，,晚上每盏灯开的概率为0.7.,求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少?,解 设X 为同时开的灯数。,由二项分布,用切比雪夫不等式,已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数,解 设每毫升白细胞数为X,依题意，EX=7300,DX=7002,所求为,由切比雪夫不等式,估计每毫升白细胞数在 52009400 之间的概率.,平均是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式,例2,即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9。,二.几个常见的大数定律,定理1（切比雪夫大数定律）,则,即对任意的
3、0，,设 X1,X2,是一列相互独立的随机变量序列，,它们都有相同的数学期望,证明,由切比雪夫不等式得：,所以,定理的意义,当 n 足够大时,算术平均值几乎是一常数.,具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.,近似代替,可被,定理2（辛钦定律）,证明略,辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要,独立同分布就可以了。,定理3（伯努利大数定律）,证明 引入随机变量,显然,且,又由于各次试验相互独立，所以,独立同分布,则由辛钦大数定律可得,在概率的统计定义中,事件 A 发生的频率,小概率事件,因而在 n 足够大时,可以用频率近似代替 p.这种稳定称为依概率稳
4、定.,伯努利(Bernoulli)大数定律的意义,例3 如何测量某一未知的物理量a,使得误差较小？,解 在相同的条件下测量n 次，其结果为,，它们可看成是相互独立、相同分布的,随机变量，并且有数学期望为a.于是由辛钦大数定律,可知，当,时，有,因此我们可取 n 次测量值,的算术平均值,作为a 得近似值，即,当n充分大时误差很小。,5.2,5.2 中心极限定理,定理一,林德伯格-列维中心极限定理,独立同分布的中心极限定理,定理二,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,二项分布以正态分布为极限分布,(Lindberg-levi),(De Moivre-Laplace),独立同分布的中心极限定理,设随机变量
5、序列,独立同一分布,且有期望和方差：,则对于任意实数 x,定理 1,注,即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数,记,近似,近似服从,中心极限定理的意义,在第二章曾讲过有许多随机现象服从正态分布,若联系于此随机现象的随机变量为X，,是由于许多彼次没有什么相依关,系、对随机现象谁也不能起突出影响，而,均匀地起到微小作用的随机因素共同作用,则它可被看成为许多相互独立的起微小作,用的因素Xk的总和，而这个总和服从,或近似服从正态分布.,(即这些因素的叠加)的结果.,对此现象还可举个有趣的例子,高尔顿钉板试验 加以说明.,钉子层数,高尔顿钉板,根据以往经验，某种电器元件的寿
6、命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.,由题给条件知，诸Xi 独立，,16只元件的寿命的总和为,解 设第i 只元件的寿命为Xi,i=1,2,16,E(Xi)=100,D(Xi)=10000,依题意，所求为P(Y 1920),例1,由于E(Y)=1600,D(Y)=160000,由中心极限定理,近似N(0,1),1-,定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理）De Moivre-Laplace,设随机变量 服从参数为,的二项分布,即,或,例2 报童沿街向行人兜售报纸，假设每位行人买报,的概率为0.2,且他们是否买报是相
7、互独立的。求报童,向100位行人兜售之后，卖掉1530份报纸的概率。,解 设报童卖掉报纸的份数为X，,例3 有100台车床彼此独立地工作。每台车床的实,际工作时间占全部工作时间的80，求下列事件的,概率。,1、任一时刻有7086台车床工作。,2、任一时刻有80台以上车床工作。,解 设任一时刻工作的车床台数为X。,例4 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间,要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独,立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以,上的概率保证分机用外线时不等待？,解 设有X 部分机同时使用外线，则有,设有N 条外线。由题意有,由德莫佛-拉普拉斯定理得,其中,故 N 应满足条件,例5 利用 契比雪夫不等式,中心极限定理,分别确定投掷一枚均匀硬币的次数，使得出现“正面,向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小于0.9。,解,设 X 表示正面出现的次数（n 次试验）,利用契比雪夫不等式,由契比雪夫不等式,所以,利用中心极限定理,因为,由德莫佛-拉普拉斯定理得,
