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1、1,第三章,随机变量的数字特征,2,2.1 数学期望,引例,3.1.1 数学期望的定义,某射击运动员射击结果如下：,10 10 9 9 9 8 8 8 8 8,则他的平均命中的环数为,3,若用X 表示他射击时命中的环数，则X 是一个随机变量，其分布律可表示为,上面的 可理解为以概率为权数的“加权”平均值,我们称之为随机变量的“数学期望”或“均值”。,4,定义1 离散型随机变量的数学期望,5,关于定义的几点说明,(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.,(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正平均值,也称均
2、值.,(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,6,试问哪个射手技术较好?,例1 谁的技术比较好?,甲射手,乙射手,7,故乙射手的技术比较好.,解,8,例2 泊松分布,则有,9,例3 袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出第一个合格品之前已取出的废品数为随机变量X,求E(X).,X 的可能取值为0，1，2，3.为求X 的分布律，先求取前面这些可能值的概率，易知,解,10,于是，得到 X 的分布律为：,则有:,1
3、1,连续型随机变量数学期望的定义,定义2,数学期望简称期望，又称为均值。,12,例4 均匀分布,则,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,13,例5 指数分布,则,某电子元件的寿命X 服从参数为 的指数分布(单位：小时),求这类电子元件的平均寿命.,由已知,X 的分布密度为,解:,14,即这类电子元件的平均寿命为1000小时.,由 得：,指数分布是常用的“寿命分布”之一，由上述计算可知，若一个电子元件的寿命服从参数为 的指数分布，则它的平均寿命为.,15,解,例6 设(X,Y)的联合分布律为,16,事实上，我们不需要先求关于X 和Y 的边缘分布律，可以直接由的联合分布律求X 和Y 的数学期
4、望。,17,1o当二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 时,2o当二维连续型随机变量(X,Y)的概率函数为 时,18,例7 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为,求 和,解,19,问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？,3.1.2 随机变量函数的数学期望,20,如何计算随机变量函数的数学期望?,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来.,使用这种方法必须先求出随机变量函数
5、g(X)的分布，一般是比较复杂的.,21,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,下面的基本公式指出，答案是肯定的.,类似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式:,22,定理1:设X是一个随机变量，Y=g(X)，则,当X为离散型时,P(X=xk)=pk;当X为连续型时,X的密度函数为 f(x).,推广到两个以上r.v的基本公式，见教材.,23,该公式的重要性在于:当我们求Eg(X)时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,24,例8 设随机变量X 的分布律为,，,解:利用定理1计算得：,同理，,25,例9 设
6、随机变量X 的分布密度为,求:(1);(2)的数学期望.,解:(1),(2),26,例11 设(X,Y)服从以点 为顶点的三角形区域 A上的均匀分布,试求函数 的数学期望.,解 三角形区域 A 如图3-1,易知 A 的面积为1，故,27,于是,28,1.设C 为常数,则有,证,2.设 X 是一个随机变量，k,b 是常数,则有,3.1.3 数学期望的性质,证 设X 的分布密度为，则,29,3.设 X、Y 是任意两个随机变量，则,证 设 的联合密度函数为,边缘概率密度分别为 和,则,30,4.设 X、Y 是相互独立的随机变量,则有,推广,推广 若 为相互独立的随机变量，则有,31,例12 设随机变
7、量 的分布密度分别为,(1)求,(2)若设 相互独立，求,解(1),32,(2),33,(3)由 相互独立，易得,小 结,数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.,34,2.数学期望的性质,35,常见离散型随机变量的数学期望,36,常见连续型随机变量的数学期望,37,3.2方 差,一、方差的定义,38,方差是一个非负值，常用来体现随机变量X取值的分散程度.如果D(X)值大,表示X 取值越分散,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X 的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.,说 明,39,由方差
8、的定义，我们不难发现方差实际上就是随机变量的函数 的数学期望，于是,离散型随机变量X 的方差,连续型随机变量X 的方差,其中 为X 的分布密度,40,证明,利用数学期望的性质，可得到计算方差的一个简便公式：,41,例1 甲、乙两人射击结果分别用X、Y 表示（单位：分）。经统计得X 和Y 的分布律如下：,试问二人谁更稳定些？,解 由 得,由 得,可见，二人平均水平相当，但甲更稳定些。,42,例2 设X 服从区间上 的均匀分布，求.,解 在上一节例3中已求得，而,于是,43,进而,例3 设随机变量X 服从参数为 的指数分布,求.,解 X 的分布密度为,44,证明,二、方差的性质,1、设 C 是常数
9、,则有,2、设 X 是一个随机变量,C 是常数,则有,证明,45,4、设X和Y是两个随机变量，则,特别地，若 X,Y 相互独立,则有,证明,46,X,Y 相互独立时,从而有，X,Y 相互独立时,事实上，“相互独立的随机变量其各自的函数间，仍然相互独立”.这是一个很有用的结论.,47,推广,48,解 利用数学期望和方差的性质得,49,我们称数学期望为0，方差为1的变量为标准化变量，且称 为随机变量的标准化。由于标准化变量是无量纲的，所以可用于不同单位的量的比较，因而在统计分析中有着广泛的应用。,50,3.3 协方差与相关系数,3.3.1 协方差,问题的提出,51,定义,设(X,Y)为二维随机变量
10、，若,存在，则称它为随机变量X 与Y 的协方差，,记作 或，即,52,由协方差的定义易知协方差具有下列性质:,1、,2、,5、若X 和Y 相互独立，则,7、,6、,3、,4、,常用作协方差的计算公式,53,例1 设二维随机变量 的联合分布律为,解 由已知易得X,Y 以及XY 的分布律分别为,54,进一步有,于是,55,例2 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为,求，.,解 因为,56,所以,又,利用对称性易得，,所以,57,3.3.2 相关系数,协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y 相互间的关系，但它还受 X 与Y 本身度量单位的影响.例如,Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y),为
11、了消除量纲的影响，我们可将随机变量标准化.,可以验证，,标准化随机变量消除了量纲的影响。,58,定义,设 D(X)0,D(Y)0,计算公式：,特别地，当 时，称 X 与Y 不相关.,59,思考 随机变量的不相关与相互独立之间存在怎样的联系呢？,不难看到，若X 与Y 相互独立，那么协方差为0，即X 与Y 相互独立时，X 与Y 一定不相关.那么反之是否成立呢？看下面例题。,例3 若，且，问X 与Y 是否不相关？是否独立？,60,解 因为X 分布密度为偶函数，所以,于是,进一步，有,这说明与是不相关的。,61,相关系数的性质：,性质1,证,性质2,证,62,性质2,证,63,相关系数是随机变量之间线
12、性关系强弱的一个度量(参见如下的示意图).,|的值越接近于1,Y与X 的线性相关程度越高;,|的值越接近于0,Y与X 的线性相关程度越弱.,64,我们已知道如下命题：,注意：,以上逆命题一般不成立,即X与Y 不相关时,不一定独立.然而，在正态分布的场合,独立性与不相关性是一致的。,若X与Y 相互独立，则X与Y 不相关。,65,二维正态分布,由前面章节讨论可知,66,67,68,结论,69,3.3.3 矩,其中 k 是正整数.,协方差Cov(X,Y)是X 和Y 的二阶混合中心矩.,称它为X和Y 的k+l 阶混合(原点)矩.,称它为X和Y的k+l 阶混合中心矩.,设X和Y是随机变量，若,70,在数
13、学中大家都注意到这样的现象：有时候一个有限的和很难求,但一经取极限由有限过渡到无限,则问题反而好办.例如,若对某一 x,要计算和,而一经取极限，则有,简单的结果,3.4大数定律与中心极限定理,71,事实证明这是可能的，而且在一般情况下和的极限分布就是正态分布，由此可见正态分布的重要性。对和的分布收敛于正态分布的这一类极限定理的研究，在长达两个世纪的时期内成了概率论研究的中心课题，因此得到了“中心极限定理”的名称。本章将列述这类定理中最简单，然而也是最重要的情况。,72,73,3.4.1 切比雪夫不等式,或,74,3.4.2 大数定律,定理1（切比雪夫大数定律）,设 X1,X2,是相互独立的随机
14、变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi)K，i=1,2,，,切比雪夫,则对任意的 有,或,75,证,两边夹,即得结论.,76,解释:,取值接近于其数学期望的概率接近于1.,77,推论（伯努利大数定律）,或,伯努利,下面给出的伯努利大数定律,是定理1的一种特例.,设nA是n重伯努利试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的,有,78,引入,i=1,2,n,则,而,由切比雪夫大数定律，,79,是事件A发生的频率，,伯努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.,这就是频率稳定性的理论解释。,历史上
15、，伯努利第一个研究了这种类型的极限定理，在1713年发表的论文中(这是概率论的第一篇论文!),他建立了以上定理。所以有人认为，概率论的真正历史应从出现伯努利大数定律的时刻算起。,80,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.,设随机变量序列X1,X2,独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=,i=1,2,，,补充定理（辛钦大数定律）,辛钦,辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.,81,例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n 块.计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.,82,中心极限定理的客观背
16、景,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.,3.4.3 中心极限定理,83,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.,84,中心极限定理，正是从理论上证明，对于大量的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总和中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量的分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是未知，而它们的和的分
17、布函数必然和正态分布函数很近似。这就是为什么实际中遇到的随机变量很多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态分布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位。,85,下面介绍几个常用的中心极限定理。,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,86,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化随机变量,的分布函数的极限.,87,定理3（独立同分布的中心极限定理）,88,（证略）,89,此定理说明,当n充分大时,有,或,90,上述定理也称列维一林德伯格(Levy-Lindberg)定理.,下面给出上述定理的一个重要特例。,定理4（棣莫弗-
18、拉普拉斯中心极限定理）,设随机变量 服从二项分布，记，则,91,或,即有近似计算公式,92,解,由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理,有,良种数,93,94,设在某保险公司有1万个人参加投保,每人每年付120元保险费.在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时其家属可向保险公司领得1万元,问:(1)该保险公司亏本的概率为多少?(2)该保险公司一年的利润不少于40,60,80万元的概率各是多少?,某射手打靶,得10分、9分、8分、7分、6分的概率分别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.现独立射击100次,求总分在900分与930分之间的概率.,补 充 例 题,1.将一枚硬币抛掷10000次
19、，出现正面5800次，是否有理由认为这枚硬币不均匀?,2.,3.,95,假设生产线组装每件成品的时间服从指数分布,统计资料表明每件成品的组装时间平均为10分钟.设各件产品的组装时间相互独立.,问对序列Xk,能否应用大数定律？,(1)设,k=1,2,在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球,从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.,4.,5.,(1)试求组装100件成品需要15到20小时的概率；,(2)以95%的概率在16小时内最多可以组装多少件成品?,96,(2)至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在之间的概率至少是0.95?,(3)用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“
20、0”出现次数在7和13之间的概率.,97,将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，是否有理由认为这枚硬币不均匀?,解 设X为10000次试验中出现正面的次数，,若硬币是均匀的,则,XB(10000,0.5),1.,由D-L定理,此概率接近于0，故认为这枚硬币不均匀是合理的.,98,某射手打靶,得10分、9分、8分、7分、6分的概率分别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.现独立射击100次,求总分在900分与930分之间的概率.,2.,解,由中心极限定理，,99,100,3.,设在某保险公司有1万个人参加投保,每人每年付120元保险费.在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡
21、时其家属可向保险公司领得1万元,问:(1)该保险公司亏本的概率为多少?(2)该保险公司一年的利润不少于40,60,80万元的概率各是多少?,解,设一年内死亡的人数为X,则,由D-L中心极限定理,即保险公司亏本的概率几乎为0.,101,102,假设生产线组装每件成品的时间服从指数分布,统计资料表明每件成品的组装时间平均为10分钟.设各件产品的组装时间相互独立.,4.,(1)试求组装100件成品需要15到20小时的概率；,(2)以95%的概率在16小时内最多可以组装多少件成品?,解,设第i件组装的时间为Xi分钟,i=1,100.,利用独立同分布中心极限定理.,(1),103,(2),查表得,解得,
22、故最多可组装81件成品。,104,诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律,解,在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球,从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.,5.,问对序列Xk,能否应用大数定律？,105,(2)至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在之间的概率至少是0.95?,设应取球n次，0出现频率为,由中心极限定理,解,106,查表得,107,(3)用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率.,在100次抽取中,数码“0”出现次数为,由中心极限定理,即,E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09,解,108,即在100次抽取中，数码“0”出现次数在7和13之间的概率为0.6826.,
